章末小结(第19章)
考点1 多边形的内角和与外角和
1．(广西钦州期末)如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转n°(0＜n＜90)，再沿直线前进8米向左转相同的度数，…照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为( )
A．10 B．18 C．20 D．30
2．若正多边形的一个外角为10°，则多边形的内角和为__ _ __．
3．(广西北海月考)如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题．
…
(1)将表格补充完整．
正多边 形的边数 3 4 5 6
α的度数 60° 45° 36° 30°
(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为__ __．
(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝__ __．
考点2 平行四边形的性质与判定
4．(广西崇左期末)如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连AC，BE，DF，CE，AC分别交BE，DF于G，H，判断下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝BG；④S△BCE＝6S△AGE，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于E，F，那么阴影部分的面积是 ABCD面积的__ __．
考点3 三角形的中位线的性质
6．如图，F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( A )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
7．(广西贺州期末)如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长为__ __．
考点4 矩形的性质与判定
8．(广西百色模拟)如图，∠MON＝90°，将一张矩形纸片ABCD放置在∠MON的内部(所有线均在同一平面内)，其中顶点A，B分别在射线OM，ON上，对角线AC与BD相交于点P，移动纸片，当OP的长最大时，∠ABO的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．80°
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD＝20，则GH的长为__ __．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．
考点5 菱形的性质与判定
11．(广西北海模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是( B )
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
12．如图，Rt△AOD位于平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，－)，∠AOD＝30°，若点C是平面内任一点，在x轴正半轴上存在点B，使以A，C，B，O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为__ __．
13．(广西崇左模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长度．
考点6 正方形的性质与判定
14．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若＝，FC＝6，则AP＝( )
A．2 B．5 C．2 D．5
15．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝__ __．
16．(广西崇左期末)如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.
(1)求证：四边形DEFG是矩形．
(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
17．【知识背景】
簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下了极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
【问题1】
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一种不能是下列哪种形状的正多边形__ __(填序号).
①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形
【问题2】
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，求n的值．
18．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2).
小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF(AAS)，得到AE＝DF，BE＝CF.
设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2＋BD2＝h2＋b2＋(2a＋b)2＋h2＝4a2＋4ab＋2b2＋2h2.
在Rt△ABE中，AB2＝a2＋h2，
∴AB2＋BC2＝…
(1)请继续完成小应的证明；
【初步应用】(2)如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长；
【拓展提升】(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，CE＝2，求AB的长．
章末小结(第19章)
考点1 多边形的内角和与外角和
1．(广西钦州期末)如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转n°(0＜n＜90)，再沿直线前进8米向左转相同的度数，…照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为( B )
A．10 B．18 C．20 D．30
2．若正多边形的一个外角为10°，则多边形的内角和为__6_120°__．
3．(广西北海月考)如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题．
…
(1)将表格补充完整．
正多边 形的边数 3 4 5 6
α的度数 60° 45° 36° 30°
(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为__α＝°__．
(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝__10__．
(1)将表格补充完整如下．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数 60° 45° 36° 30°
(2)根据(1)中计算、观察，可得α的变化规律，角α与边数n的关系为α＝°.
(3)把α＝18°代入α＝°，解得n＝10.
考点2 平行四边形的性质与判定
4．(广西崇左期末)如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连AC，BE，DF，CE，AC分别交BE，DF于G，H，判断下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝BG；④S△BCE＝6S△AGE，其中正确的结论有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①∵ ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴BF∥DE，BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE＝DF.故正确；②根据平行线等分线段定理可得AG＝GH＝HC.故正确；③∵AD∥BC，AE＝AD＝BC，∴△AGE∽△CGB，∴AE∶BC＝EG∶BG＝1∶2，∴EG＝BG.故正确．④∵BG＝2EG，∴△ABG的面积＝△AGE的面积×2，∴S△ABE＝3S△AGE.又∵S△BCE＝2S△ABE，∴S△BCE＝6S△AGE，故正确．
5．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于E，F，那么阴影部分的面积是 ABCD面积的____．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO.在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴S△ABD＝S△CDB＝S平行四边形ABCD.∵BO＝OD，
∴S△BOC＝S△DOC＝S△CDB＝×S平行四边形ABCD＝S平行四边形ABCD.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴S△AEO＝S△CFO，∴阴影部分的面积S＝S△AEO＋S△BFO＝S△CFO＋S△BFO＝S△BOC＝S平行四边形ABCD.
考点3 三角形的中位线的性质
6．如图，F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( A )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
∵F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，∴FG，GH分别是三角形ABD，三角形BDC的中位线，∴GF＝AB且GF∥AB，GH＝CD且GH∥CD，∴∠FGD＝∠ABD＝30°，∠BGH＝∠BDC＝80°，∴∠HGE＝180°－80°＝100°，∴∠FGH＝130°.又∵AB＝CD，∴GF＝GH，∴∠GHF＝∠GFH＝×(180°－∠FGH)＝25°.
7．(广西贺州期末)如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长为__10__．
∵E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD.∵AD＝6，BC＝4，∴EF＝HG＝2，EH＝GF＝3，∴四边形EFGH的周长是EF＋FG＋HG＋EH＝2×(2＋3)＝10.
考点4 矩形的性质与判定
8．(广西百色模拟)如图，∠MON＝90°，将一张矩形纸片ABCD放置在∠MON的内部(所有线均在同一平面内)，其中顶点A，B分别在射线OM，ON上，对角线AC与BD相交于点P，移动纸片，当OP的长最大时，∠ABO的度数为( B )
A．30° B．45° C．60° D．80°
取AB的中点H，
连接PH，OH.
在△OPH中，OH＋HP＞OP，
∴当点H在线段OP上时，OP的长有最大值，此时，∵AP＝BP，H是AB的中点，
∴OP垂直平分AB，∴OA＝OB.
又∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD＝20，则GH的长为__5__．
如图，连接AC，EF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝20.
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC＝×20＝10.∵G，H分别是BE，BF的中点，∴GH是△BEF的中位线，∴GH＝EF＝×10＝5.
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．
(1)∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD.
∵E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG.
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10.
由(1)，得OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×10＝5.
∵E为AD的中点，∴AE＝AD＝×10＝5，
由(1)，可知四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2，
∴BO＝＝＝2.
考点5 菱形的性质与判定
11．(广西北海模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是( B )
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD.
又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝AD.∵点E是OC的中点，∴BE⊥AC，故①正确；∵E，F分别是OC，OD的中点，∴EF∥CD.EF＝CD.∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE＝AB＝AG＝BG，∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明EG＝GF，故②错误；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG(SSS)，故③正确；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF.∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形，∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°，与题意不符合，故⑤错误．
12．如图，Rt△AOD位于平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，－)，∠AOD＝30°，若点C是平面内任一点，在x轴正半轴上存在点B，使以A，C，B，O为顶点的四边形是菱形，则满足条件的点C的坐标为__(1，)或(3，－)或(－1，－)__．
当OB为对角线时，连接AC，如图1所示，
∵四边形ABCD为菱形，∴OB垂直平分AC，
∴此时点A与点C关于x轴对称．
∵点A的坐标为(1，－)，∴此时点C的坐标为(1，)；
当OB为菱形的一条边，OA为另一条边时，如图2所示．
∵△AOD为直角三角形，点A的坐标为(1，－)，
∴AD＝1，OD＝，OA＝＝2.
∵四边形OACB为菱形，∴AC＝OA＝2，∴此时点C的坐标为(3，－)；当OB为菱形的一条边，OA为对角线时，如图3所示．
∵点A的坐标为(1，－)，
∴OA＝＝2.
∵∠ADC＝90°，∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝90°－30°＝60°，
∴△AOC为等边三角形，∴AC＝OA＝2，∴此时点C的坐标为(－1，－).
13．(广西崇左模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长度．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OB＝BD＝1.
∵CE⊥AB，∴OE＝AC＝OA.
在Rt△AOB中，AO＝＝3，
∴OE＝AO＝3.
考点6 正方形的性质与判定
14．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若＝，FC＝6，则AP＝( A )
A．2 B．5 C．2 D．5
如图，延长EP交AD于G，则PG⊥AD.
∵在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，∴∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠CBD＝∠BDC＝∠ADB＝45°.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，∴四边形PFCE是矩形，四边形ABEG是矩形，四边形DFPG是矩形，∴PE＝CF＝6，PF＝CE.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴BE＝PE＝6，DF＝PF，即四边形DFPG是正方形，∴BP＝＝6.∵＝，∴PD＝PB＝4.∵PD2＝PF2＋DF2，
∴(4)2＝PF2＋PF2，解得PF＝DF＝4，
∵四边形ABEG是矩形，四边形DFPG是正方形，∴AG＝BE＝6，PG＝PF＝4，
∴AP＝＝＝＝2.
15．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝__2__．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝4，∠DAE＝60°.
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，
∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝2.
16．(广西崇左期末)如图1，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G.
(1)求证：四边形DEFG是矩形．
(2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．
(1)在 ABCD中，AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED＝∠CFB.
∵∠AFG＝∠CFB，∴∠AED＝∠AFG，∴DE∥GF.
∵DG∥AC，∴四边形DEFG是平行四边形．
∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，
∴四边形DEFG是矩形．
(2)四边形DEFG是正方形．
理由：由(1)知DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，∴DF∥BE，
∴∠AFD＝∠BEF.
∵∠DFG＝∠BEF，∴∠AFD＝∠DFG.
在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°，
∴∠DFE＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形．
17．【知识背景】
簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下了极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
【问题1】
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一种不能是下列哪种形状的正多边形__③__(填序号).
①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形
【问题2】
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，求n的值．
【问题1】①正三角形的内角是60°，60°×6＝360°，可以密铺，不符合题意；②正四边形的内角是90°，60°×3＋90°×2＝360°，可以密铺，不符合题意；③正五边形的内角是108°，60°×2＋108°×2＝336°≠360°，不能密铺，符合题意；④正六边形的内角是120°，60°×2＋120°×2＝360°，能密铺，不符合题意．
【问题2】由题意，得这n个正六边形围成的图形是一个正多边形．由图2，可知围成的这个正多边形的每个内角的度数是120°，
所以(n－2)180°＝120°n，解得n＝6.
18．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2).
小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF(AAS)，得到AE＝DF，BE＝CF.
设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2＋BD2＝h2＋b2＋(2a＋b)2＋h2＝4a2＋4ab＋2b2＋2h2.
在Rt△ABE中，AB2＝a2＋h2，
∴AB2＋BC2＝…
(1)请继续完成小应的证明；
【初步应用】(2)如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长；
【拓展提升】(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，CE＝2，求AB的长．
(1)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，∴∠AEB＝∠F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
得到AE＝DF，BE＝CF.
设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
AC2＋BD2＝h2＋b2＋(2a＋b)2＋h2＝4a2＋4ab＋2b2＋2h2，
在Rt△ABE中，AB2＝a2＋h2，∴AB2＋BC2＝a2＋h2＋(a＋b)2＝2a2＋2ab＋b2＋h2，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)；
(2)∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)，
∴AC2＝2(AB2＋BC2)－BD2＝2(42＋62)－82＝40，∴AC＝2，∴OA＝OC＝AC＝，
∴OA的长为；
(3)如图所示，以BD为对角线作平行四边形BCDF，连接EF，以AE为对角线作平行四边形ACEG，连接DG，
则CF＝2CE＝4.
∵D，E是斜边AB的三等分点，∴BD＝AB.
设AB＝3x，则BD＝2x.
由(1)可得CF2＋DB2＝2(CD2＋CB2)，
∴(4)2＋(2x)2＝2(52＋CB2)，
即CB2＝15＋2x2，
同理可得AE2＋CG2＝2(AC2＋CE2)，
∴102＋(2x)2＝2[(2)2＋AC2]，
即AC2＝2x2＋30.
又∵AC2＋BC2＝AB2＝9x2，
∴15＋2x2＋2x2＋30＝9x2，
解得x＝3或x＝－3(舍去)，
∴AB＝3x＝9，∴AB的长为9.
