考点专题训练（四） 四边形
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．我国建造的港珠澳大桥全长55千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是( )
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
2．下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是( )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行 D．一组对边相等
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为( )
A．45° B．60° C．75° D．135°
4．在 ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠C的度数为( )
A．60° B．70° C．100° D．110°
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，若∠C＝44°，则∠DEB＝( )
A．22° B．44° C．46° D．136°
6．如图，在周长是10 cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
7．如图，已知∠MON，点A在OM边上，点B在ON边上，且OA＝OB，点E在OB边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形AEBF，平行四边形AEBF，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线OC是∠MON的平分线，你认为他们说法正确的是( )
A．小明，小红都对
B．小明，小红都错
C．小明错误，小红正确
D．小明正确，小红错误
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2＋CF2＝2OE2，其中正确的是( )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．③④
9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG.则下列结论：①OG＝AB；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．在△ABC中，D为AC边上的点，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，作DF∥AB，与BC交于点F，连接EF.现有以下结论：①EF⊥BD；②当AB＝BC时，四边形DEFC是平行四边形；③当△ABC是正三角形时，四边形DEFC是菱形；④保持AB，BC的长度不变，改变∠ABC大小，一定可以使得点F是BC中点．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度，则点B的对应点坐标为__ __．
12．如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为__ __.
13．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为__ __．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是__ __．
15．已知：正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AD，CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为__ __.
16．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，G，M，N分别是线段AE，AF，BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是4，四边形EKND的面积是6，则△GKE的面积是__ __.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)【问题探究】如图是五四广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；第三层包括6块正方形和30块正三角形地板砖；
以此递推，第n层中含有多少块正三角形地板砖(用含n的代数式表示)
【实践操作】现打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形，150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？
18．(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DE＝4，求CE的长．
19．(本题满分14分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE，CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．
20．(本题满分14分)如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，CE＝CD，D为AB边上一点．
(1)求证：AE＝BD；
(2)若D是AB的中点，求证：四边形AECD是正方形．
考点专题训练（四） 四边形
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．我国建造的港珠澳大桥全长55千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是( B )
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
2．下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是( B )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行 D．一组对边相等
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为( A )
A．45° B．60° C．75° D．135°
4．在 ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠C的度数为( D )
A．60° B．70° C．100° D．110°
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，若∠C＝44°，则∠DEB＝( B )
A．22° B．44° C．46° D．136°
6．如图，在周长是10 cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是( D )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
7．如图，已知∠MON，点A在OM边上，点B在ON边上，且OA＝OB，点E在OB边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形AEBF，平行四边形AEBF，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线OC是∠MON的平分线，你认为他们说法正确的是( A )
A．小明，小红都对
B．小明，小红都错
C．小明错误，小红正确
D．小明正确，小红错误
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2＋CF2＝2OE2，其中正确的是( A )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．③④
9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG.则下列结论：①OG＝AB；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD.∵CD＝DE，∴AB＝DE.在△ABG和△DEG中，∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，OG∥CD，∴OG∥AB，
∴∠FOG＝∠BAC＝30°，∴①和②正确；连接AE(图略).∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∴四边形ABDE是菱形，∴④正确；∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABD＝S△BDE＝S菱形ABDE.∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△ODG，∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG，∴③正确．
10．在△ABC中，D为AC边上的点，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，作DF∥AB，与BC交于点F，连接EF.现有以下结论：①EF⊥BD；②当AB＝BC时，四边形DEFC是平行四边形；③当△ABC是正三角形时，四边形DEFC是菱形；④保持AB，BC的长度不变，改变∠ABC大小，一定可以使得点F是BC中点．其中正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠FBD＝∠EDB.∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠FBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，故①正确；由①可知EF⊥BD.∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，∴EF∥AC，即EF∥CD，DE∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形，故②正确；∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∴∠ACB＝∠DFC＝60°，∵∠ACB＋∠DFC＋∠CDF＝180°，∴∠CDF＝∠DFC＝60°，∴CD＝CF，由②可知四边形DEFC是平行四边形，∴四边形DEFC是菱形，故③正确；∵DE∥BC，∴当∠ABC＝90°时，∠BED＝∠ABC＝90°.∵由①可知四边形BEDF是菱形，∴四边形BEDF是正方形．∵当AB＝BC时，F是BC的中点，∴保持AB，BC的长度不变，改变∠ABC大小，不一定可以使得F是BC中点，故④错误，综上可知，正确的是①②③，共3个．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位长度，则点B的对应点坐标为__(3，3)__．
12．如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为__AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)__.
13．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为__60°__．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是__24__．
15．已知：正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AD，CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为__5__.
16．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，G，M，N分别是线段AE，AF，BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是4，四边形EKND的面积是6，则△GKE的面积是__1__.
过A作AQ∥BC，延长DE交AQ于Q，延长NG交AQ于P，延长MG交QE于L.∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线，∴EQ∥FA，EF∥BC，∴EF∥AQ，∴四边形AFEQ是平行四边形．∵ML∥BC，NG∥AB，∴四边形AMGP，四边形GKEL是平行四边形，∴△AFE的面积＝△AQE的面积，△AMG的面积＝△APG的面积，△KGE的面积＝△LGE的面积，∴平行四边形MFKG的面积＝平行四边形QPGL的面积＝4.∵NK＝BF，PK＝AF，AF＝BF，∴NK＝PK，∴平行四边形PKEQ的面积＝平行四边形NDEK的面积＝6，∴平行四边形GKEL的面积＝6－4＝2，∴△GKE的面积是1.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)【问题探究】如图是五四广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；第三层包括6块正方形和30块正三角形地板砖；
以此递推，第n层中含有多少块正三角形地板砖(用含n的代数式表示)
【实践操作】现打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形，150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？
【问题探究】∵第一层有6＝6×1＝6×(2×1－1)块正三角形地板砖，
第二层有18＝6×3＝6×(2×2－1)块正三角形地板砖，第三层有30＝6×5＝6×(2×3－1)块正三角形地板砖，
∴第n层有6(2n－1)块正三角形地板砖．
【实践操作】∵150÷6＝25(层)，
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层，
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为6[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝6n2，
∴6n2＝420，n2＝70，
∴n＝.
又∵8＜＜9，即8＜n＜9，
∴420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层，
∴铺设这样的图案，最多能铺8层．
18．(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DE＝4，求CE的长．
(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BO＝DO，DE⊥BC，
∴OE＝BD＝2，∴BD＝4，
∴BE＝＝＝8.
设CE＝x，则BC＝BE－CE＝8－x.
∴CD＝BC＝8－x.
在Rt△CDE中，CD2＝CE2＋DE2，
∴(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CE的长为3.
19．(本题满分14分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE，CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°.
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OC＝AC.
∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，∴OD＝OB＝2，
∴OC＝＝＝2，
∴AC＝2OC＝4，
由(1)得四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得
AE＝＝＝2，
即AE的长为2.
20．(本题满分14分)如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，CE＝CD，D为AB边上一点．
(1)求证：AE＝BD；
(2)若D是AB的中点，求证：四边形AECD是正方形．
(1)∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB.
在△ECA和△DCB中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE＝BD；
(2)∵在Rt△ACB中，D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD.
又∵AC＝CB，∴CD⊥AB.
又∵AE＝BD，
∴CD＝AD＝BD＝AE＝EC，
∴四边形AECD是菱形．
又∵CD⊥AB，
∴四边形AECD是正方形．
