第二十二章 二次函数
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
1.二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点坐标是 ( )
A. (0,1) B. (1,0) C (-1,0) D (0, -1)
2.一部售价为4000元的手机,一年内连续两次降价,如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ( )
A. y=4000(1-x) B. y=4000(1-x)2
C. y=8000(1-x) D. y=8000(1-x)2
3.某抛物线当x>2时,y随x的增大而增大,当x<2时,y随x的增大而减小,则该抛物线可能为 ( )
A. y=2(x+2)2 B. y=-2(x+2)2
C. y=2(x-2)2 D. y=-2(x-2)2
4.将抛物线y=(x+1)2-1平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是 ( )
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度
5.已知二次函数y=a(x-m)2(a>0)的图象经过点A(-1,p),B(3,q),且p
6.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=a x + c在同一坐标系中的图象可能是 ( )
7.游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目,惊险刺激,原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分,原子滑车运行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系式y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),根据上述函数模型和数据,可推断出,此原子滑车运行到最低点时,所对应的水平距离x满足 ( )
A. x
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -3 m 1 0 -3 …
有以下几个结论:①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上;②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-2;③关于x的方程ax2+bx+c=0的根为-3和-1;④当y<0时,x的取值范围是-3
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
9.已知二次函数y=-2(x-1)2+k的图象上有A(-,y1),B(2,y2),C(3,y3)三个点.用“<”连接y1,y2,y3的结果是 .
10.已知抛物线y=x2-2x+c与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标x A=-1,则点B的横坐标x B的值为 .
11.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x分钟时,小丽、小明离B地的距离分别为y1米、y2米.y1与x之间的函数表达式是y1=-180x+2250,y2与x之间的函数表达式是y2=-10x2-100x+2000.小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人最近距离是 米.
12.二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在 坐标轴上,则m的值为 .
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13.(8分)在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象.
(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;
(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.
14.(10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b ,c为常数)的顶点坐标为(2,-1).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M(t-1,y1),N(t,y2)在该抛物线上,当t<1时,比较y1与y2的大小;
(3)若点P(m ,n)在该抛物线上,求m-n的最大值.
15.(10分)景德镇瓷器举世闻名,物美价廉,在瓷博会上某商家将进货单价为40元的艺术瓷盘按50元售出时,就能卖出500个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元,其销售量就减少10个,若设艺术瓷盘每个涨价x元,请完成如下问题:
(1)用含x的代数式表示:
①每个瓷盘的实际利润是 元;②实际的销售量是 个。
(2)为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益,售价应定为多少元
(3)瓷盘售价定为多少元时,商家可获得最大利润
16.(10分)如图,抛物线y=ax2-5ax+4与直线y=4交于A,B两点,与x轴交于C,D两点,分别连接AC,AD,BC,点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上.
(1)求证:AB=AD.
(2)求a的值.
17.(14分)如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(4,0),C(0,-8),与直线y=x-4交于B,D两点.
(1)求抛物线的表达式并直接写出D点的坐标;
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点,试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)点Q是线段BD上异于B,D的动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点G,当△QDG为直角三角形时,直接写出点Q的坐标.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C C D C B C
1.B 【解析】令y=0,得x2-2x+1=0,解得x=1,则交点坐标为(1,0).
2.B 【解析】∵每次降价的百分率都是x,∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y=4000(1-x)2.
3.C 【解析】抛物线当x>2时,y随x的增大而增大,当x<2时,y随x的增大而减小,可知抛物线开口向上,对称轴为直线x=2.
4.C 【解析】∵y=x2=(x+1-1)2-1+1,∴抛物线y=x2可由y=(x+1)2-1向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度得出.
5.D 【解析】∵二次函数y=a(x-m)2(a>0),∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=m,∵图象经过点A(-1,p),B(3,q),且p
7.B 【解析】根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,2)、B(2,1)、C(4,4),则,解得,所以x=-=.∴此原子滑车运行到最低点时,所对应的水平距离x满足x1
9 10 11 12
y1
11.90 【解析】设小丽出发第x min时,两人相距s m,则s=-180x+2250-(-10x2-100x+2000),即s=10x2-80x+250,其中,0≤x≤10.当x=-=4时,s有最小值==90.也就是说,当小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m.
12.0或±2 【解析】当图象的顶点在x轴上时,∵二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在x轴上,∴二次函数的解析式为y=(x±1)2,∴m=±2.当图象的顶点在y轴上时,m=0.
三、解答题
13.解:如图:
(1)y=x2+1与y=-x2-1的相同点:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,
y=x2+1与y=-x2-1的不同点:y=x2+1开口向上,顶点坐标是(0,1),y=-x2-1开口向下,顶点坐标是(0,-1);(4分)
(2)性质的相同点:开口程度相同.
不同点:y=x2+1 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大;(6分)
y=-x2-1当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.(8分)
14.解:(1)由已知得抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,
即y=x2-4x+3;(3分)
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2,而t<1,
∴点M(t-1,y1),N(t,y2)在对称轴的左侧的抛物线上,
∵t-1
(3)∵点P(m, n)在该抛物线上,∴n=m2-4m+3,
∴m-n=m-(m2-4m+ 3) =-m2+5m-3=-(m-)2+,
∴当m=时,m-n有最大值,最大值为.(10分)
15.解:(1)①(50-40+x);②(500-10x);(4分)
(2)设瓷盘每个涨价x元能赚得8000元的利润,
即售价定为每个(x+50)元,销售量为(500-10x)个,
依题意得(50-40+x)(500-10x)=8000,
解得x1=10,x2=30,
当涨价x=10元时,则实际售价为x+50=60元(需售出瓷盘500-10x=400个),
当涨价x=30元时,则实际售价为x+50=80元(需售出瓷盘500-10x=200个);
为了尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘60元;(7分)
(3)设售价定为y元,总利润为W元,则
W=(y-40)[500-10(y-50)]=-10y2+1400y-40000,
∵-10<0,∴函数W有最大值,当y=-=70时,W最大,
即定价为70元时,可获得最大利润.(10分)
16.解:(1)令y=4代入y=ax2-5ax+4得x1=0或x2=5;
∴B(5,4),过B作BE ⊥x轴,E为垂足,则BE=4,
∵AB ∥x轴,∴∠BAC=∠ACO,
又点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,
∴∠ACB=∠ACO,即∠ACB=∠BAC,∴AB=BC=5,
由勾股定理知EC=3,
∴C(8,0)、D(-3,0),
由勾股定理知AD=5,
∴AB=AD.(6分)
(2)把C(8,0)代入y=ax2-5ax+4得a=-.(10分)
17.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标是A(-2,0),B(4,0),∴设该抛物线表达式为y=a(x+2)(x-4),
将点C(0,-8)代入函数表达式,得a(0+2)(0-4)=-8,解得a=1,
∴该抛物线的表达式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-2x-8.
∴点D的坐标是(-1,-5).(4分)
(2)如图,过点P作PE ∥y轴,交直线DB于点E,
设P(x,x2-2x-8),则E(x,x-4).
∴PE=x-4-(x2-2x-8) =-x2+3x+4,
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE· (x P-x D) +PE·(x B-x E)=PE·(x B-x D)=(-x2+3x+4)=-(x-)2+.
∴当x=时,△BDP的面积的最大值为.
∴P (,-) (9分)
(3)设直线y=x-4与y轴相交于点K,则K(0,-4),
设G点坐标为(x,x2-2x-8),点Q坐标为(x,x-4).
∵B(4,0),∴OB=OK=4,
∴∠OKB=∠OBK=45°.
∵QF ⊥x轴,∴∠DQG=45°.
若△QDG为直角三角形,则△QDG是等腰直角三角形.
①当∠QDG=90°时,如图,过点D作DH⊥QG于H,
∴QG=2D H, QG=-x2+3x+4, DH=x+1,
∴-x2+3x+4=2(x+1),解得x=-1(舍去)或x=2,∴Q1(2,-2).
②当∠DGQ=90°时,如图,则DH=QH,
∴-x2+3x+4=x+1,解得x=-1(舍去)或x=3,
∴Q2(3,-1).
综上所述,当△QDG为直角三角形时,点Q的坐标为(2,-2)或(3,-1).(14分)
