6.2.1 导数与函数的极值 同步练习 (原卷版+解析版)

6．2.1　导数与函数的极值
一、单项选择题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A.无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
2．函数y＝x＋ln x的极值情况是(　　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
3．函数f(x)＝x3(x－1)的极值点的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
4．(2024·广西贺州昭平中学高二阶段练习)下列函数中，存在极值的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝x2－2x
5．函数y＝x－2x3的极小值点为(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．已知函数f(x)＝的极值点为x＝x0，则x0所在的区间为(　　)
A． B．
C．(1，2) D．(2，e)
二、多项选择题
7．对于定义在R上的可导函数f(x)，f′(x)为其导函数，下列说法不正确的是(　　)
A．使f′(x)＝0的x一定是函数的极值点
B．f(x)在R上单调递增是f′(x)>0在R上恒成立的充要条件
C．若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调
8．对于函数f(x)＝16ln (1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　　)
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1，2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有2个交点
三、填空题
9．能说明“若f′(0)＝0，则x＝0是函数y＝f(x)的极值点”为假命题的一个函数是 ．
10．函数f(x)＝x3－x2－3x＋6的极大值为 ，极小值为 ．
11．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 ．
四、解答题
12．(2024·广东湛江高二阶段练习)已知函数f(x)＝x－2ln x，求f(x)的单调区间和极值．
13．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
14．若x1，x2为函数f(x)相邻的两个极值点，且在x1，x2处分别取得极小值和极大值，则定义f(x2)－f(x1)为函数f(x)的一个“极优差”，则函数f(x)＝ex(sin x－cos x)的“极优差”为 ．
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－及x＝1处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＝0有三个不同的实根，求c的取值范围．6．2.1　导数与函数的极值
一、单项选择题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　C　)
A.无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4，当xx4时，f′(x)>0，当x12．函数y＝x＋ln x的极值情况是(　D　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，∵y′＝1＋>0，∴函数y＝x＋ln x无极值．
3．函数f(x)＝x3(x－1)的极值点的个数是(　C　)
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：f′(x)＝4x3－3x2＝4x2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，当x＜0或0＜x＜时，都有f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以x＝0不是f(x)的极值点，x＝是f(x)的极小值点，故函数f(x)只有1个极值点．
4．(2024·广西贺州昭平中学高二阶段练习)下列函数中，存在极值的是(　D　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝x2－2x
解析：对于A，因为函数y＝ex是实数集上的增函数，所以函数y＝ex不存在极值；对于B，因为函数y＝ln x是正实数集上的增函数，所以函数y＝ln x不存在极值；对于C，因为函数y＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，所以函数y＝不存在极值；对于D，因为y′＝2x－2，所以该函数在(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1)上是减函数，因此x＝1是函数的极小值点，符合题意．故选D.
5．函数y＝x－2x3的极小值点为(　C　)
A． B．
C．－ D．－
解析：y＝x－2x3的定义域为R，y′＝1－6x2，由y′＝0，得x＝±，令y′>0，解得x∈(－，)，令y′<0，解得x<－或x>，即y＝x－2x3在(－，)上单调递增，在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递减，则y＝x－2x3的极小值点为－.故选C.
6．已知函数f(x)＝的极值点为x＝x0，则x0所在的区间为(　C　)
A． B．
C．(1，2) D．(2，e)
解析：由题意，得f′(x)＝(x＞0)，令g(x)＝ln x－(x＞0)，则g′(x)＝＋＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．因为g(1)＝－1<0，g(2)＝ln 2－＝ln 2－ln >0，所以存在x0∈(1，2)，使得g(x0)＝0，即f′(x0)＝0，当10，函数f(x)在(1，x0)上单调递增；当x00，f′(x)<0，函数f(x)在(x0，2)上单调递减．所以x＝x0为f(x)＝的极大值点，所以x0所在的区间为(1，2).
二、多项选择题
7．对于定义在R上的可导函数f(x)，f′(x)为其导函数，下列说法不正确的是(　ABC　)
A．使f′(x)＝0的x一定是函数的极值点
B．f(x)在R上单调递增是f′(x)>0在R上恒成立的充要条件
C．若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调
解析：使f′(x)＝0的x不一定是函数的极值点，比如f(x)＝x3在x＝0处导函数值为0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，A错误；f(x)在R上单调递增，可能会在某点导函数值等于0，比如f(x)＝x3为单调递增函数，f(x)＝x3在x＝0处导函数值为0，故f(x)在R上单调递增不是f′(x)>0在R上恒成立的充要条件，B错误；若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如f(x)＝x＋，在x＝－1处取得极大值－2，在x＝1处取得极小值2，极小值大于极大值，C错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调，D正确．故选ABC.
8．对于函数f(x)＝16ln (1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　AC　)
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1，2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有2个交点
解析：f′(x)＝＋2x－10＝(x＞－1)，∴当－1＜ x<1时，f′(x)>0，当13时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知f(3)三、填空题
9．能说明“若f′(0)＝0，则x＝0是函数y＝f(x)的极值点”为假命题的一个函数是f(x)＝x5(答案不唯一)．
解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反．如函数f(x)＝x5，当x＝0时，f′(0)＝5×04＝0，但是f(x)＝x5在R上是增函数，所以x＝0不是函数f(x)＝x5的极值点．(答案不唯一)
10．函数f(x)＝x3－x2－3x＋6的极大值为，极小值为－3．
解析：f′(x)＝x2－2x－3.
由f′(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝3或x＝－1.
令f′(x)>0，得x<－1或x>3；
令f′(x)<0，得－1故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3.
11．函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为0．
解析：因为x＞0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
四、解答题
12．(2024·广东湛江高二阶段练习)已知函数f(x)＝x－2ln x，求f(x)的单调区间和极值．
解：因为f(x)＝x－2ln x，所以f′(x)＝1－＝(x>0)，解方程f′(x)＝0，得x＝2，令f′(x)>0，得x>2，令f′(x)<0，得013．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：(1)因为f(x)＝a ln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1(x>0).
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得
(2)x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．理由如下：
由(1)知，f(x)＝－ln x－x2＋x，
故f′(x)＝－－x＋1＝(x＞0).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
14．若x1，x2为函数f(x)相邻的两个极值点，且在x1，x2处分别取得极小值和极大值，则定义f(x2)－f(x1)为函数f(x)的一个“极优差”，则函数f(x)＝ex(sin x－cos x)的“极优差”为eπ＋1．
解析：由题意，得f′(x)＝2ex sin x(－≤x≤)，令f′(x)＝0，即sin x＝0，得x＝0或x＝π，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，π)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故f(x)的极大值为f(π)，极小值为f(0)，“极优差”为f(π)－f(0)＝eπ＋1.
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－及x＝1处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＝0有三个不同的实根，求c的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由函数f(x)在x＝－及x＝1处取得极值，得
解得经检验符合题意．
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－x2－x＋c，
f′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，当x<－或x>1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－)，(1，＋∞)上单调递增，当－解得－所以c的取值范围是.