专题训练1 求数列的通项公式
一、单项选择题
1．数列 ，－，，－，，…的一个通项公式为an＝( C )
A．
B．(－1)n
C．(－1)n＋1
D．
解析：由题意得，在数列，－，，－，，…中，分母是以2为首项，2为公比的等比数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列．∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，∴符号系数为(－1)n＋1，
∴数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1.故选C.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( C )
A．36 B．35
C．34 D．33
解析：a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 024＝( A )
A．22 024－1 B．32 024－6
C．－ D．－
解析：由题意可得，3Sn＝2an－3n，
3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，
即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，
结合3S1＝2a1－3＝3a1可得a1＝－3，a1＋1＝－2，则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，据此有a2 024＋1＝(－2)×(－2)2 023＝22 024，∴a2 024＝22 024－1.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则 是这个数列的( A )
A．第100项 B．第101项
C．第102项 D．第103项
解析：由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋，则数列是公差为的等差数列，则 ＝＋(n－1)＝1＋(n－1)＝n＋，故an＝.令an＝＝，得n＝100.故选A.
5．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝( C )
A．22n＋1＋2 B．22n＋1－2
C．22n－1＋2 D．22n－1－2
解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，∴＝4，又a1－2＝2，∴数列{an－2}是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴an－2＝2×4n－1，∴an＝22n－1＋2.
6．定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝( A )
A．4×2 0222－1 B．4×2 0222
C．4×2 0212－1 D．4×2 0212
解析：由已知可得，当n＝1时，有－＝2，所以d＝2.所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以＝2×2 022－1，
则有a2 023＝(2× 2 022－1)a2 022，
＝2×2 023－1＝4 045＝2×2 022＋1，
则有a2 024＝(2×2 022＋1)a2 023，
所以a2 024＝(2×2 022＋1)×(2×2 022－1)a2 022＝[(2×2 022)2－1]·a2 022＝(4×2 0222－1)a2 022.所以＝4×2 0222－1.
二、多项选择题
7．若数列{an}满足a4＝9，且(an＋1－an－1)·(an＋1－3an)＝0(n∈N*)，则首项a1可能是( AD )
A．6 B． C．2 D．
解析：因为(an＋1－an－1)(an＋1－3an)＝0(n∈N*)，所以an＋1－an＝1或an＋1＝3an.当an＋1－an＝1时，数列{an}是公差为1的等差数列，此时a1＝a4－3d＝9－3＝6.当an＋1＝3an时，数列{an}是公比为3的等比数列，此时a1＝＝＝，故首项a1可能是6或 .故选AD.
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( ABD )
A．a4＝10
B．an＋1－an＝n＋1
C．a10＝54
D．＝
解析：由题意得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，故an＋1－an＝n＋1，故B正确；
以上n个式子累加可得an＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)，又a1＝1满足上式，所以an＝，则a4＝10，a10＝55，故A正确，C错误；
由＝＝2(－)，得＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故D正确．故选ABD.
三、填空题
9．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝．
解析：由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，当n＝1时也满足上式，所以an＝(n∈N＋).
10．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
11．已知数列{an}满足a1＝3，3an＋1－1＝a1(1＋3an－2)，则a25＝5．
解析：由a1＝3，3an＋1－1＝a1(1＋3an－2)，得3an＋1－1＝3＋3an－1，即3an＋1－1－3an－1＝3，
又3a1－1＝9，所以{3an－1}是首项为9，公差为3的等差数列，因此3an－1＝9＋3(n－1)＝3n＋6＝3(n＋2)，
所以an－1＝log3[3(n＋2)]＝1＋log3(n＋2)，所以an＝2＋log3(n＋2)，故a25＝2＋log327＝5.
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2－2an＋1＋an＝2，则a2 024－a2 023＝4 046，数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋1．
解析：依题意an＋2－2an＋1＋an＝2，则an＋2－an＋1－(an＋1－an)＝2，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公差的等差数列，所以an＋1－an＝2＋(n－1)×2＝2n，a2 024－a2 023＝4 046.当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)＝2n－2，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋4＋2＋1＝＋1＝n2－n＋1，a1＝1也符合上式，所以an＝n2－n＋1.
四、解答题
13．已知数列{an}的首项为a1＝1， ，求其通项公式．
在①an＋1＝an＋ln ，②an＋1＝2nan，③an＋1＝3an＋2这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并求解．
解：若选①，
则an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋ln 2－ln 1＋…＋ln n－ln (n－1)＝1＋ln n，
a1＝1也满足an＝1＋ln n，
故对任意的n∈N＋，an＝1＋ln n；
若选②，由已知可得＝2n，
当n≥2时，an＝a1··…·＝1×21×…×2n－1＝1×21＋2＋…＋(n－1)＝2，
a1＝1也满足an＝2，
故对任意的n∈N＋，an＝2；
若选③，因为an＋1＝3an＋2，
则an＋1＋1＝3(an＋1)且a1＋1＝2，
所以数列{an＋1}是以2为首项，公比为3的等比数列，则an＋1＝2×3n－1，
故对任意的n∈N＋，an＝2×3n－1－1.
14．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2＋1是a1，a3的等差中项，数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)∵a1a2a3＝64，∴a＝64，∴a2＝4.又∵2(a2＋1)＝a1＋a3＝＋a2q，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，∴an＝4·2n－2＝2n.
(2)∵数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2＋n.当n＝1时，S1＝a1＋b1＝2；当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n，∴an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2).经检验，当n＝1时也满足该式，∴bn＝2n－2n.
15．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an<0，a－3an＝4－6Sn.
(1)求a1，a2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a－3a1＝4－6S1，解得a1＝－4或a1＝1(舍去)，当n＝2时，a－3a2＝4－6(a1＋a2)，解得a2＝－7或a2＝4(舍去)，所以a1＝－4，a2＝－7.
(2)当n≥2时，a－3an＝4－6Sn①，a－3an－1＝4－6Sn－1②，
由①－②，得(an＋an－1)(an－an－1＋3)＝0.因为an<0，所以an－an－1＝－3，
所以数列{an}是以－4为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝－4＋(n－1)·(－3)＝－3n－1.专题训练1 求数列的通项公式
一、单项选择题
1．数列 ，－，，－，，…的一个通项公式为an＝( )
A．
B．(－1)n
C．(－1)n＋1
D．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( )
A．36 B．35
C．34 D．33
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 024＝( )
A．22 024－1 B．32 024－6
C．－ D．－
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则 是这个数列的( )
A．第100项 B．第101项
C．第102项 D．第103项
5．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝( )
A．22n＋1＋2 B．22n＋1－2
C．22n－1＋2 D．22n－1－2
6．定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝( )
A．4×2 0222－1 B．4×2 0222
C．4×2 0212－1 D．4×2 0212
二、多项选择题
7．若数列{an}满足a4＝9，且(an＋1－an－1)·(an＋1－3an)＝0(n∈N*)，则首项a1可能是( )
A．6 B． C．2 D．
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( )
A．a4＝10
B．an＋1－an＝n＋1
C．a10＝54
D．＝
三、填空题
9．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝ ．
10．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ ．
11．已知数列{an}满足a1＝3，3an＋1－1＝a1(1＋3an－2)，则a25＝ ．
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2－2an＋1＋an＝2，则a2 024－a2 023＝ ，数列{an}的通项公式为an＝ ．
四、解答题
13．已知数列{an}的首项为a1＝1， ，求其通项公式．
在①an＋1＝an＋ln ，②an＋1＝2nan，③an＋1＝3an＋2这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并求解．
14．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2＋1是a1，a3的等差中项，数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
15．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an<0，a－3an＝4－6Sn.
(1)求a1，a2；
(2)求数列{an}的通项公式．
