专题训练2 求数列的前n项和
一、单项选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 024＝( D )
A．3 033 B．3 034
C．3 035 D．3 036
解析：由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＝3×1 012＝3 036.
2．设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn＝( D )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2
解析：∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n＋1－n－2.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的前5项和S5＝( C )
A． B． C． D．
解析：因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝.故选C.
4．设an表示42n＋1 167n的个位数字，则数列{an}第38项至第69项之和a38＋a39＋…＋a69＝( B )
A．180 B．160
C．150 D．140
解析：an表示42n＋1 167n的个位数字，则a1＝2＋7＝9，同理可得a2＝3，a3＝1，a4＝7，a5＝9，…，进而可得an＋4＝an.故数列{an}的第38项至第69项之和a38＋a39＋…＋a69＝3＋1＋7＋(9＋3＋1＋7)×7＋9＝160.故选B.
5．设数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝( C )
A． B．1－
C． D．1－
解析：由a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝，①
得a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝(n≥2)，②
①－②得2n－1an＝，∴an＝(n≥2)，易得a1＝，符合上式，
∴an＝，∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝[1－]＝.
6．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和为( A )
A．4 B．4
C．1－ D．－
解析：∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4(－).
∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)＝4(1－).
二、多项选择题
7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫作三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是( ABD )
A．an－an－1＝n(n>1)
B．a20＝210
C．1 024是三角形数
D．＋＋＋…＋＝
解析：∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，由此可归纳得an－an－1＝n(n>1)，故A正确；将前面的所有项累加可得an＝＋a1＝，∴a20＝210，故B正确；令＝1 024，此方程没有正整数解，故C错误；＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝，故D正确．
8．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项和为Sn，则( CD )
A．a2＝
B．S3n＋1－S3n＝－
C．anan＋1an＋2＝－1
D．S19＝22
解析：因为a1＝3，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝1－＝，故A错误；a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－＝3＝a1，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S3n＋1－S3n＝a3n＋1＝a1＝3，故B错误；因为an＋1＝1－＝，an＋2＝1－＝1－＝＝，所以anan＋1an＋2＝an··＝－1，故C正确；S19＝(a1＋a2＋a3＋…＋a18)＋a19＝6(a1＋a2＋a3)＋a19＝6×(3＋－)＋3＝22，故D正确．故选CD.
三、填空题
9．数列{an}的通项公式为an＝，若Sn＝9，则n＝99．
解析：因为an＝＝－，所以Sn＝－1＋－＋…＋－＝9，即－1＝9 n＋1＝100 n＝99.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N＋)，则数列{nan}的前n项和Tn为(n－1)2n＋1(n∈N＋)．
解析：∵Sn＝2an－1(n∈N＋)，∴当n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，∴nan＝n·2n－1，则数列{nan}的前n项和Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，∴2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
∴－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Tn＝(n－1)2n＋1(n∈N＋).
11．设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝44.5．
解析：∵sin(90°－α)＝cos α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1.∵S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加，得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，∴S89＝＝44.5.
12．化简：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)＝
解析：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)·xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上，可得Sn＝
四、解答题
13．在①a8＝9；②S5＝20；③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*， ， ．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为数列{an}是等差数列，设公差为d，当选条件①②时，
解得所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选条件①③时，
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
选条件②③时，
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，n∈N*.
(2)由(1)知，an＝n＋1，n∈N*，所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋(－)＋…＋＝－＝.
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r，
当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1.
又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1.
(2)当b＝2时，an＝(b－1)·bn－1＝2n－1，
bn＝＝，
则Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝－－，
所以Tn＝－－＝－.
15．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足nan＋1＝(n＋1)an，数列{bn}满足b1＝，且bn＋1＝.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)∵nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，∴＝(n≥2)，
∴an＝··…···a1＝··…···1＝n(n≥2)，当n＝1时，上式成立，∴an＝n(n∈N*).
又∵bn＋1＝，b1＝，
∴－＝3，∴数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴＝2＋3(n－1)＝3n－1，∴bn＝.
(2)由(1)知，＝2n×(3n－1)，则Tn＝2×21＋5×22＋8×23＋…＋(3n－4)×2n－1＋(3n－1)×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1，②
由①－②，得－Tn＝4＋3×(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)×2n＋1＝4＋3×－(3n－1)×2n＋1＝－8－(3n－4)×2n＋1，∴Tn＝8＋(3n－4)·2n＋1.专题训练2 求数列的前n项和
一、单项选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 024＝( )
A．3 033 B．3 034
C．3 035 D．3 036
2．设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn＝( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的前5项和S5＝( )
A． B． C． D．
4．设an表示42n＋1 167n的个位数字，则数列{an}第38项至第69项之和a38＋a39＋…＋a69＝( )
A．180 B．160
C．150 D．140
5．设数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A． B．1－
C． D．1－
6．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和为( )
A．4 B．4
C．1－ D．－
二、多项选择题
7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫作三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是( )
A．an－an－1＝n(n>1)
B．a20＝210
C．1 024是三角形数
D．＋＋＋…＋＝
8．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．a2＝
B．S3n＋1－S3n＝－
C．anan＋1an＋2＝－1
D．S19＝22
三、填空题
9．数列{an}的通项公式为an＝，若Sn＝9，则n＝ ．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N＋)，则数列{nan}的前n项和Tn为 ．
11．设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝ ．
12．化简：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)＝
四、解答题
13．在①a8＝9；②S5＝20；③a2＋a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*， ， ．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
15．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足nan＋1＝(n＋1)an，数列{bn}满足b1＝，且bn＋1＝.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
