3．2.1 等比数列的前n项和
一、单项选择题
1．数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( )
A．×(510－1) B．×(510－1)
C．×(59－1) D．×(511－1)
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A． B．－
C． D．－
3．已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若S2＝3a1，a＝a3，则S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．31
5．若一个等比数列的首项为，公比为2，S是该等比数列前10项之和，S′是该等比数列前10项的倒数之和，则＝( )
A．16 B．32
C．64 D．128
6．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项．记S＝＋＋…＋，则下列结论正确的为( )
A．S>
B．S＝
C．S<
D．S与的大小关系不能确定
二、多项选择题
7．已知正项等比数列{an}中，a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1
A．第二天走了96里路
B．第三天走的路程占全程的
C．第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D．第五天和第六天共走了30里路
三、填空题
9．计算：3＋33＋35＋37＋…＋329＝ ．
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·3n－1，则a4＝ ．
11．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝ ，S4＝ ．
四、解答题
12．设等比数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若公比q＝2，an＝96，Sn＝189，求n；
(2)若S3∶S2＝3∶2，求公比q.
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝，S3＝.
(1)若a3，m，S3成等比数列，求m的值；
(2)求a1的值．
14．数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，1＋2＋22＋23＋24，…的前n项和Sn＝ ．
15．在“①Sn＝2an－2；②S3＝14；③S3，S2＋2，S1成等差数列”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2且________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.3．2.1 等比数列的前n项和
一、单项选择题
1．数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( B )
A．×(510－1) B．×(510－1)
C．×(59－1) D．×(511－1)
解析：S10＝＝×(510－1).
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( A )
A． B．－
C． D．－
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，∴q2＝9.
又∵a5＝a1q4＝9，∴a1＝.
3．已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝( D )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，得n＝6.故选D.
4．已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若S2＝3a1，a＝a3，则S4＝( C )
A．7 B．8
C．15 D．31
解析：设等比数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝3a1，所以a2＝2a1，所以q＝＝2.又a＝a3，即(2a1)2＝4a1，且a1≠0，所以a1＝1.所以S4＝＝＝15.
5．若一个等比数列的首项为，公比为2，S是该等比数列前10项之和，S′是该等比数列前10项的倒数之和，则＝( B )
A．16 B．32
C．64 D．128
解析：依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列，且其首项为4，公比为.
故＝＝＝32.
6．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项．记S＝＋＋…＋，则下列结论正确的为( C )
A．S>
B．S＝
C．S<
D．S与的大小关系不能确定
解析：由题图分析可知a1＝1，a2＝8a1＋1＝8＋1，
a3＝8a2＋1＝8×(8＋1)＋1＝82＋8＋1，
a4＝8a3＋1＝8×(82＋8＋1)＋1＝83＋82＋8＋1，
依次类推，a100＝899＋898＋897＋…＋8＋1，
所以S＝＋＋…＋＝1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝＝×<.故选C.
二、多项选择题
7．已知正项等比数列{an}中，a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则( ABD )
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1
A．第二天走了96里路
B．第三天走的路程占全程的
C．第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D．第五天和第六天共走了30里路
解析：设此人第n天走了an里路，则数列{an}是首项为a1，公比q为的等比数列．因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192.对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，由于a3＝192×＝48，>，所以B错误；对于C，由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于a5＋a6＝192×(＋)＝18，所以D错误．
三、填空题
9．计算：3＋33＋35＋37＋…＋329＝×(330－1)．
解析：3，33，35，37，…，329构成公比为32的等比数列，又1，3，5，7，…，29是首项为1，公差为2的等差数列，令29＝2n－1，解得n＝15，所以数列3，33，35，37，…，329共有15项，所以3＋33＋35＋37＋…＋329＝＝×(330－1).
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·3n－1，则a4＝54．
解析：方法一 当n＝1时，a1＝S1＝3λ－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1.又{an}是等比数列，所以a1＝2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2·3n－1，所以a4＝54.
方法二 由等比数列前n项和公式Sn＝＝－qn＋＝－Aqn＋A(其中A＝)的特点及题意知λ＝1，所以Sn＝3n－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－1，所以a4＝2×34－1＝54.
11．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝，S4＝．
解析：∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＝6，a2＋2a3＝6，∴a1q＋2a1q2＝6，∴6q＋12q2＝6，∴2q2＋q－1＝0，∴(2q－1)(q＋1)＝0，∴q＝或q＝－1，由题意可知，q>0，∴q＝，
∴S4＝＝＝.
四、解答题
12．设等比数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若公比q＝2，an＝96，Sn＝189，求n；
(2)若S3∶S2＝3∶2，求公比q.
解：(1)依题意，得
由于a1≠0，所以两式相除，得＝，189·2n－1＝96(2n－1)，189·2n－1＝192·2n－1－96，3·2n－1＝96，2n－1＝32＝25，n－1＝5，n＝6.
(2)依题意，得 ＝，即 ＝＝，2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝，S3＝.
(1)若a3，m，S3成等比数列，求m的值；
(2)求a1的值．
解：(1)因为a3，m，S3成等比数列，所以m2＝a3·S3.因为a3＝，S3＝，所以m2＝，解得m＝±.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
则
解得或
综上，a1＝或a1＝6.
14．数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，1＋2＋22＋23＋24，…的前n项和Sn＝2n＋1－n－2．
解析：由题意可得，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，故Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
15．在“①Sn＝2an－2；②S3＝14；③S3，S2＋2，S1成等差数列”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2且________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0).
选①.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，∴q＝2，
又∵a1＝2，∴an＝2n.
选②.∵S3＝14，a1＝2，
∴2＋2q＋2q2＝14，
∵q>0，故解得q＝2，∴an＝2n.
选③.由题意得2(S2＋2)＝S3＋S1，
∴2(a1＋a2＋2)＝a1＋a2＋a3＋a1，
∴2q＋4＝2q2，
即q2－q－2＝0，
∵q>0，∴q＝2，∴an＝2n.
(2)由(1)得bn＝
当n为偶数时，Tn＝(2＋8＋32＋…＋2n－1)＋(2＋4＋6＋…＋n)＝＋＝＋(n＋2)，
当n为奇数时，Tn＝(2＋8＋32＋…＋2n)＋(2＋4＋6＋…＋n－1)＝＋＝＋.
综上，Tn＝
