2．2.1 等差数列的前n项和
一、单项选择题
1．已知{an}是公差为4的等差数列，前n项和为Sn.若S5＝15，则a10的值为( D )
A．11 B．20 C．29 D．31
解析：∵{an}是公差为4的等差数列，Sn是其前n项和，S5＝15，∴5a1＋×4＝15，解得a1＝－5，∴a10＝a1＋9d＝(－5)＋9×4＝31.故选D.
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( C )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：设{an}的公差为d，由得解得
3．(2024·浙江嘉兴高二期末)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a6＋a3－a5＝3，则S7＝( D )
A．42 B．3 C．7 D．21
解析：由等差数列的性质可得a6＋a3－a5＝a4＋a5－a5＝a4＝3，
故S7＝＝＝7×3＝21.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4＋a7＝22，则S19＝( A )
A．380 B．200
C．190 D．100
解析：设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋9d＝4＋9d＝22，d＝2，S19＝19×2＋×2＝380.故选A.
5．利用课本中推导等差数列前n项和的方法解决下列问题．已知数列{an}满足an＝(n，m∈N*)，则a1＋a2＋…＋am＋20＝( B )
A．＋5 B．＋5
C．m＋5 D．2m＋5
解析：依题意，记S＝a1＋a2＋…＋am＋20，则S＝＋＋…＋.又S＝＋…＋＋，两式相加可得2S＝＋…＋＋＝，则S＝＝＋5.
6．王老师把110本作业本全部奖励给5名学生，使每名学生所得作业本本数成等差数列，且较多的三份之和与较少的两份之和的比为9∶2，则最少一份的作业本本数为( A )
A．6 B．10 C．12 D．14
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d>0，由条件可知，S5＝5a1＋d＝110 a1＋2d＝22①，2(a3＋a4＋a5)＝9(a1＋a2) 3d＝4a1②，由①②解得a1＝6，d＝8，所以最少一份的作业本本数为6.故选A.
二、多项选择题
7．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝4，S3＝－6，则( AC )
A．a1＝－4 B．a3<0
C．S5＝0 D．S2
8．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S6
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．当n≥8时，an<0
解析：由题意知S7－S6＝a7>0，S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d＝a8－a7<0，所以{an}是递减数列，即a1最大，故A正确，B错误；因为S10－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝7a7>0，所以S3≠S10，故C错误；当n≥8时，an≤a8<0，即an<0，故D正确．
三、填空题
9．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝190．
解析：S19＝＝＝19a10＝19×10＝190.
10．在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝8．
解析：根据题意，Sn＝na1＋＝3n＋×(－1)＝－n2＋n＝－4，整理，得n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍去).
11．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要32天．
解析：依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．
设他经过n天后完成跑步健身计划，
则n×1＋×0.5≥280，
整理得n2＋3n－1 120≥0，
又n∈N＋，故解得n≥32.
故至少需要32天．
四、解答题
12．在等差数列{an}中．
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解：(1)d＝＝＝＝7，
解得n＝128.
所以Sn＝＝＝70 336.
(2)由
得
解方程组得或
13．在等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求Sn；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由得
解得或
∵在等差数列{an}中，公差d＞0，
∴∴
∴Sn＝n＋×4＝2n2－n.
(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∵bn＝＝＝2n，∴bn＋1－bn＝2，
∴数列{bn}为等差数列，且b1＝2，∴Tn＝＝n2＋n.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1．
解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且＝k(k∈R).又b1＝1，所以n＋d＝k[2n＋×2n(2n－1)d]，因为n≠0，所以2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)·d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，因为对任意的正整数n上式均成立，所以解得所以数列{bn}的通项公式为bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
15．已知数列{an}，a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)当n≥2时，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，所以当n≥2时，数列{an}为等差数列，又a2＝2，所以当n≥2时，an＝a2＋(n－2)×2＝2n－2，
所以an＝
Sn＝9＋＝n2－n＋9.
(2)因为数列{bn}为等差数列，b2＝12，b5＝30，所以数列{bn}的公差d＝＝＝6，所以bn＝b2＋(n－2)×6＝6n.
若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，
则k≥＝对任意n∈N*恒成立．
因为n＋－1≥2－1＝5，当且仅当n＝3时取等号，所以≤，
所以k≥，即实数k的取值范围为.2．2.1 等差数列的前n项和
一、单项选择题
1．已知{an}是公差为4的等差数列，前n项和为Sn.若S5＝15，则a10的值为( )
A．11 B．20 C．29 D．31
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
3．(2024·浙江嘉兴高二期末)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a6＋a3－a5＝3，则S7＝( )
A．42 B．3 C．7 D．21
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4＋a7＝22，则S19＝( )
A．380 B．200
C．190 D．100
5．利用课本中推导等差数列前n项和的方法解决下列问题．已知数列{an}满足an＝(n，m∈N*)，则a1＋a2＋…＋am＋20＝( )
A．＋5 B．＋5
C．m＋5 D．2m＋5
6．王老师把110本作业本全部奖励给5名学生，使每名学生所得作业本本数成等差数列，且较多的三份之和与较少的两份之和的比为9∶2，则最少一份的作业本本数为( )
A．6 B．10 C．12 D．14
二、多项选择题
7．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝4，S3＝－6，则( )
A．a1＝－4 B．a3<0
C．S5＝0 D．S2
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．当n≥8时，an<0
三、填空题
9．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝ ．
10．在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝ ．
11．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要 天．
四、解答题
12．在等差数列{an}中．
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
13．在等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求Sn；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为bn＝ ．
15．已知数列{an}，a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围．
