2025年九年级中考数学三轮冲刺训练方程与不等式专题训练
一、选择题
1．已知1（a+b≠0）．则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m且m≠1 C．m D．m且m≠1
3．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足的范围是（ ）
A．3≤a＜4 B．4≤a＜5 C．4≤a≤5 D．a＞5
4．摩拜共享单车计划2023年第三季度（8，9，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．3000（1+x）2＝12000
B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
C．3000（1﹣x）2＝12000
D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
5．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或0 D．0或﹣1
6．已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的不等式组的解集是x＜1，则a的值可以是中（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．2
二、填空题
8．已知（a﹣1）x|a|+2024＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ．
9．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ ．
10．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x﹣2y＝8的解，则k的值为 ．
11．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ．
12．若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m n的值为 ．
13．已知x1和x2为方程x2﹣mx+n＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝2m+1，则实数n的最大值为 ．
14．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为 ．
15．不等式组无解，则m的取值范围是 ．
三、解答题
16．已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，求满足条件的a的整数值．
17．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元．
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
18．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
19．【阅读材料】
①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．
②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为y+2y＝3，解得y＝1，即，去分母得x+1＝1，所以x＝0，检验：当x＝0时，x+1≠0，所以x＝0是原方程的解．
【基本应用】
（1）用换元法解方程；
（2）已知x，y满足方程（2x2+y2+4）（2x2+y2﹣4）＝20，结合“换元法”的解题思路，求2x2+y2的值．
【创新应用】
（3）结合“换元法”的思路探究分解因式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵1（a+b≠0），
∴1，
∴a+2b＝ab，
∴
＝2，
故选：C．
2．【解答】解：因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，
所以，
解得m且m≠1．
故选：D．
3．【解答】解：解不等式4﹣2x＜0得x＞2，
∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴4≤a＜5，
故选：B．
4．【解答】解：由题意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000．
故选：D．
5．【解答】解：方程去分母得，3a+1＝ax+a，
∴ax＝2a+1．
如果原分式方程无解，那么分两种情况：
①当a＝0时，方程ax＝2a+1无解，所以分式方程无解；
②a≠0，解方程ax＝2a+1，得，
当分母x+1＝0即x＝﹣1时原分式方程无解．
由，得．
经检验，符合题意，
故当a＝0或时，分式方程无解．
故选：C．
6．【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
，
解得．
故选：C．
7．【解答】解：关于x的不等式组的解集是x＜1，
∴a≥1，
∴a的值可以是：2，
故选：D．
二、填空题
8．【解答】解：由题意得：|a|＝1且a﹣1≠0，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝2，
解得：y＝1，
故答案为：1．
10．【解答】解：，
①+②，得3x＝6k，
∴x＝2k．
把x＝2k代入②，得2k+y＝k，
∴y＝﹣k．
又∵3x﹣2y＝8，
∴6k+2k＝8．
∴k＝1．
故答案为：1．
11．【解答】解：由题意得：把代入方程组中得：
，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．【解答】解：m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，
（m﹣2）2+（2n+1）2＝0，
则m﹣2＝0且2n+1＝0，
解得m＝2．n，
所以mn＝2×（）＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．【解答】解：由条件可知x1+x2＝m，x1x2＝n，Δ＝m2﹣4n≥0，
∵x1﹣x2＝2m+1，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴n存在最大值，最大值为，
故答案为：．
14．【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数时3、2、1，
∴04，
解得：﹣3＜a＜13，
解关于y的分式方程3得y，
∵关于y的分式方程有整数解，
∴y≠1（分母不为0），即，解得a≠﹣2，
∴符合条件的a为1，4，7，10，
∴所有整数a的和为22，
故答案为：22．
15．【解答】解：∵不等式组无解，
∴无解，
∴m≤5．
故答案为：m≤5．
三、解答题
16．【解答】解：（1），
①+②得：3x+3y＝3+3a，
∴x+y＝1+a，
∵﹣1＜x+y≤3，
∴﹣1＜1+a≤3，
解得﹣2＜a≤2；
（2）∵关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，
∴2a﹣1＜0，
∴a，
∵﹣2＜a≤2，
∴﹣2，
∴满足条件的a的整数值是﹣1、0．
17．【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，
∴，
解得30≤x≤32，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个．
18．【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，
根据题意得：1.5，
解得：x＝48，
经检验，x＝48是所列方程的根，且符合题意．
∴x+6＝54，
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个，
根据题意得：48m+54（100﹣m）≤5000，
解得：m≥66，
答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器．
19．【解答】解：（1）设m，
则原方程化为m+2m＝6，
解得：m＝2，
则2，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解；
（2）设2x2+y2＝n，
则原方程化为（n+4）（n﹣4）＝20，
整理得：n2＝36，
则n＝6或n＝﹣6（舍去），
则2x2+y2＝6；
（3）设x2﹣4x＝a，
则（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4
＝（a+2）（a+6）+4
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
则原式＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4．
20．【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1．
∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9．
整理，得m2+m﹣2＝0．
∴（m+2）（m﹣1）＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝1．
∴m的值为﹣2或1．
21．【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
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