【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第03讲 二次根式的加减
知识梳理 1
要点一、同类二次根式 1
要点二、二次根式的加减 2
要点三、二次根式的混合运算 2
要点四、比较数值的方法 2
考点归纳 3
考点一、同类二次根式 3
考点二、二次根式的加减运算 3
考点三、二次根式的混合运算 4
考点四、分母有理化 4
考点五、已知参数的值，化简求值 5
考点六、已知条件式，化简求值 5
考点七、比较二次根式的大小 5
考点八、二次根式的应用 6
真题演练 7
一、单选题 7
二、填空题 7
三、解答题 8
要点一、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；
（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
要点二、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：A．将每个二次根式都化简成为最简二次根式；B．判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；C．合并同类二次根式.
要点三、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
要点四、比较数值的方法
（1）根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
（2）平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
（3）分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）倒数法
例5、比较与的大小。
例6、比较与的大小。
考点一、同类二次根式
1．下列二次根式中，化简后可与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式与的被开方数相同，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ．
考点二、二次根式的加减运算
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．计算： ．
8．化简的结果为 ．
考点三、二次根式的混合运算
9．估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
10．已知，，则代数式的值等于 ．
11．化简： ， ， ．
12．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
，
，
，
（） ；
（）的值是 ．
考点四、分母有理化
13．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．若，，则a与b的关系是（ ）
A． B．
C． D．
15．计算： ．
16．（1）计算 ；
（2）化简．
考点五、已知参数的值，化简求值
17．已知，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
18．若，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．10
19．已知，，那么的值是 ．
20．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
考点六、已知条件式，化简求值
21．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
22．若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
23．已知，则代数式的值为 ．
24．已知实数a，b，c满足，，则 ．
考点七、比较二次根式的大小
25．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
26．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
27．比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）．
28．比较大小： ．
考点八、二次根式的应用
29．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ．
32．如图，已知两块正方形草地的面积分别为，，则直角三角形的面积 ．
一、单选题
1．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川泸州·中考真题）与最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ．
7．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
8．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
9．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
10．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
三、解答题
11．（2023·四川·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
12．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
13．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
14．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．
15．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共8页）
【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第03讲 二次根式的加减
知识梳理 1
要点一、同类二次根式 1
要点二、二次根式的加减 2
要点三、二次根式的混合运算 2
要点四、比较数值的方法 2
考点归纳 3
考点一、同类二次根式 3
考点二、二次根式的加减运算 4
考点三、二次根式的混合运算 4
考点四、分母有理化 8
考点五、已知参数的值，化简求值 8
考点六、已知条件式，化简求值 11
考点七、比较二次根式的大小 11
考点八、二次根式的应用 13
真题演练 16
一、单选题 16
二、填空题 18
三、解答题 19
要点一、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；
（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
要点二、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：A．将每个二次根式都化简成为最简二次根式；B．判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；C．合并同类二次根式.
要点三、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
要点四、比较数值的方法
（1）根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
（2）平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
（3）分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
（4）分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
（5）倒数法
例5、比较与的大小。
例6、比较与的大小。
考点一、同类二次根式
1．下列二次根式中，化简后可与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故与无法合并，故此选项不合题意；
B．，与无法合并，故此选项不合题意；
C．，与无法合并，故此选项不合题意；
D．，与可以合并，故此选项符合题意．
故选：D．
2．若二次根式与的被开方数相同，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
3．下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数不相同，符合题意；
故选：．
4．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则，
，
故答案为：．
考点二、二次根式的加减运算
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
7．计算： ．
【答案】/
【详解】解：，
故答案为：．
8．化简的结果为 ．
【答案】/
【详解】解：
．
故答案为：．
考点三、二次根式的混合运算
9．估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
故选D．
10．已知，，则代数式的值等于 ．
【答案】7
【详解】解：
，
当，时，
原式，
．
故答案为： ．
11．化简： ， ， ．
【答案】 5 1
【详解】解：，
，
．
故答案为：5；；1．
12．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
，
，
，
（） ；
（）的值是 ．
【答案】
【详解】解：（）∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，
，
，
，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
考点四、分母有理化
13．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
故选：C．
14．若，，则a与b的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
故选：D
15．计算： ．
【答案】
【详解】解：
．
故答案为：
16．（1）计算 ；
（2）化简．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）原式；
故答案为：；
（2）原式
．
考点五、已知参数的值，化简求值
17．已知，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
，
故选：B．
18．若，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．10
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴,
故选：C
19．已知，，那么的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故答案为：．
20．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：，
，
∴
；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
考点六、已知条件式，化简求值
21．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：D．
22．若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】解：∵1≤a≤2，
∴a-1≥0，a-2≤0，
∴原式==a-1+2-a=1，
故答案为D．
23．已知，则代数式的值为 ．
【答案】11
【详解】
．
故答案为： 11．
24．已知实数a，b，c满足，，则 ．
【答案】
【详解】解；∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
考点七、比较二次根式的大小
25．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
26．2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
【答案】A
【详解】且
即
故选：A．
27．比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）．
【答案】
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
，由于，则，
∴
故答案为：；；．
28．比较大小： ．
【答案】＞
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：＞．
考点八、二次根式的应用
29．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
的三边长分别是，，的面积为：，
故选：B．
30．如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，，
正方形和正方形的边长分别为，，
重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，
重叠部分的正方形边长为1，
大的正方形边长为，
空白部分的面积为，
故选：A．
31．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】24
【详解】解：两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分面积为
故答案为24．
32．如图，已知两块正方形草地的面积分别为，，则直角三角形的面积 ．
【答案】
【详解】解：两块正方形草地的面积分别为，，
直角三角形的两直角边分别为、，
，
故答案为：．
一、单选题
1．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．（2022·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、无解，故该项错误，不符合题意；
B、，故该项错误，不符合题意；
C、，故该项正确，符合题意；
D、，故该项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
4．（2022·四川泸州·中考真题）与最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜＜4，
∴5.5＜2+＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
5．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
二、填空题
6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
【答案】/
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．（2024·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：．
9．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
10．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
三、解答题
11．（2023·四川·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【详解】解：
，
当，时，
原式．
12．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
13．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，45
【详解】原式
．
当，时
原式．
14．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】
，
当时，原式．
15．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第1页（共21页）
