第11章因式分解
类型一 因式分解与整式乘法
1．[2024春·淄博期中]下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－9
B．x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋x
C．xy2－x2y＝xy(y－x)
D．x2＋5x＋4＝x(x＋5)＋4
2．[2024春·泰州期末]若多项式2x2＋ax－6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为x－2，则a的值为 ．
3．[2023·九江二模]数学老师布置了一道数学题：化简(x＋y)(x－y)－(x－y)2.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
甲同学 乙同学
原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2) … 原式＝(x－y)[(x＋y)－(x－y)]…
(1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是 ．
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解
B．甲、乙都是整式的乘法
C．甲是因式分解，乙是整式的乘法
D．甲、乙都是因式分解
(2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程．
(1)A；
(2)选择甲同学的解法：
原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2)＝x2－y2－x2＋2xy－y2＝2xy－2y2.
选择乙同学的解法：
原式＝(x－y)[x＋y－(x－y)]＝(x－y)(x＋y－x＋y)＝(x－y)·2y＝2xy－2y2.
类型二 用提公因式法因式分解
4．[2024春·菏泽期末]多项式2xmyn－1－4xm－1yn(m，n均为大于1的整数)各项的公因式是( )
A．4xm－1yn－1 B．2xm－1yn－1
C．2xmyn D．4xmyn
5．把下列各式分解因式正确的是( )
A．xy2－x2y＝x(y2＋xy)
B．9xyz－6x2y2＝3xyz(3－2xy)
C．3a2x－6bx＋3x＝3x(a2－2b)
D.xy2＋x2y＝xy(x＋y)
6．[2024春·遵义期末]如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y＋xy2的值为( )
第6题图
A．140 B．70 C．14 D．10
7．[2024春·铜仁期中]因式分解：(x3－x2)＋(x－1)＝ ．
8．[2023春·本溪期中](1)因式分解：(2x＋y)(2x－3y)－3x(2x＋y)；
(2)先因式分解，再求值：4a(b－2)＋3a(2－b)2，其中a＝，b＝6.
类型三 平方差公式因式分解
9．[2024春·贵港期末]课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，这道题是( )
用平方差公式分解下列各式：(1)a2－b2；(2)81x2－4y2z2；(3)－x2－y2；(4)36m2n2－9p2.
第9题图
A．第(1)道题 B．第(2)道题
C．第(3)道题 D．第(4)道题
10．若k为任意整数，则(k＋5)2－(k－3)2的值总能( )
A．被5整除 B．被6整除
C．被7整除 D．被8整除
11．[2024春·邵阳期末]如果x2－y2＝35，x＋y＝7，那么2x－2y的值是( )
A．28 B．5 C. D．10
12．[2024春·六安期末]若k＋1012－1＝1022，则k的值为( )
A．204 B．202 C．200 D．101
13．[2024春·清远期末]计算：124×122－1232＝ ．
类型四 完全平方公式因式分解
14．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是( )
A．x2＋y2＋2xy B．－x2＋y2＋2xy
C．－x2－y2＋2xy D．－x2－y2－2xy
15．下列因式分解错误的是( )
A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2
B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2
C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2
D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
16．[2024春·荆门期末]下列式子中是完全平方式的是( )
A．x2－x＋ B．1－4x2
C．a2＋ab＋b2 D．x2＋2x－1
17．[2024春·黔东南期中]当多项式x2＋2x＋1取得最小值时，x的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
18．[2024·衡阳模拟]因式分解：3a2－18a＋27＝ ．
19．[2024春·安庆二模]因式分解：(x＋y)2－6(x＋y－1)＋3＝ ．
类型五 因式分解的应用
20．若M＝3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13，则M的值一定是( )
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
21．[2024春·沧州期末]如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
第21题图
(1)整式M＝ ；
(2)将整式P因式分解为 ．
22．用简便方法计算：
(1)3.14×5.52－3.14×4.52；
(2)2 0242－4 048×2 023＋2 0232.
易错点 因式分解不彻底
23．[2024春·银川期中]因式分解：(x2＋y2)2－4x2y2
24．[2024春·烟台期中]因式分解：9(m＋n)2－(m－n)2第11章因式分解
类型一 因式分解与整式乘法
1．[2024春·淄博期中]下列从左到右的变形，属于因式分解的是( C )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－9
B．x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋x
C．xy2－x2y＝xy(y－x)
D．x2＋5x＋4＝x(x＋5)＋4
2．[2024春·泰州期末]若多项式2x2＋ax－6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为x－2，则a的值为－1．
3．[2023·九江二模]数学老师布置了一道数学题：化简(x＋y)(x－y)－(x－y)2.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
甲同学 乙同学
解：原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2)… 解：原式＝(x－y)[(x＋y)－(x－y)]…
(1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是 ．
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解
B．甲、乙都是整式的乘法
C．甲是因式分解，乙是整式的乘法
D．甲、乙都是因式分解
(2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程．
解：(1)A；
(2)选择甲同学的解法：
原式＝x2－y2－(x2－2xy＋y2)＝x2－y2－x2＋2xy－y2＝2xy－2y2.
选择乙同学的解法：
原式＝(x－y)[x＋y－(x－y)]＝(x－y)(x＋y－x＋y)＝(x－y)·2y＝2xy－2y2.
类型二 用提公因式法因式分解
4．[2024春·菏泽期末]多项式2xmyn－1－4xm－1yn(m，n均为大于1的整数)各项的公因式是( B )
A．4xm－1yn－1 B．2xm－1yn－1
C．2xmyn D．4xmyn
5．把下列各式分解因式正确的是( D )
A．xy2－x2y＝x(y2＋xy)
B．9xyz－6x2y2＝3xyz(3－2xy)
C．3a2x－6bx＋3x＝3x(a2－2b)
D.xy2＋x2y＝xy(x＋y)
6．[2024春·遵义期末]如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y＋xy2的值为( B )
第6题图
A．140 B．70 C．14 D．10
7．[2024春·铜仁期中]因式分解：(x3－x2)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．
8．[2023春·本溪期中](1)因式分解：(2x＋y)(2x－3y)－3x(2x＋y)；
(2)先因式分解，再求值：4a(b－2)＋3a(2－b)2，其中a＝，b＝6.
解：(1)原式＝(2x＋y)(2x－3y－3x)
＝－(2x＋y)(x＋3y)；
(2)原式＝(2－b)
＝(－4a＋6a－3ab)(2－b)
＝(2a－3ab)(2－b)
＝a(2－3b)(2－b)．
当a＝，b＝6时，原式＝×(2－3×6)×(2－6)＝96.
类型三 平方差公式因式分解
9．[2024春·贵港期末]课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，这道题是( C )
用平方差公式分解下列各式：(1)a2－b2；(2)81x2－4y2z2；(3)－x2－y2；(4)36m2n2－9p2.
第9题图
A．第(1)道题 B．第(2)道题
C．第(3)道题 D．第(4)道题
10．若k为任意整数，则(k＋5)2－(k－3)2的值总能( D )
A．被5整除 B．被6整除
C．被7整除 D．被8整除
11．[2024春·邵阳期末]如果x2－y2＝35，x＋y＝7，那么2x－2y的值是( D )
A．28 B．5 C. D．10
12．[2024春·六安期末]若k＋1012－1＝1022，则k的值为( A )
A．204 B．202 C．200 D．101
13．[2024春·清远期末]计算：124×122－1232＝－1．
类型四 完全平方公式因式分解
14．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是( B )
A．x2＋y2＋2xy B．－x2＋y2＋2xy
C．－x2－y2＋2xy D．－x2－y2－2xy
15．下列因式分解错误的是( D )
A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2
B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2
C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2
D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
16．[2024春·荆门期末]下列式子中是完全平方式的是( A )
A．x2－x＋ B．1－4x2
C．a2＋ab＋b2 D．x2＋2x－1
17．[2024春·黔东南期中]当多项式x2＋2x＋1取得最小值时，x的值是( A )
A．－1 B．0 C．1 D．2
18．[2024·衡阳模拟]因式分解：3a2－18a＋27＝3(a－3)2．
19．[2024春·安庆二模]因式分解：(x＋y)2－6(x＋y－1)＋3＝(x＋y－3)2．
类型五 因式分解的应用
20．若M＝3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13，则M的值一定是( C )
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
解析：M＝3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13
＝x2－4x＋4＋2(x2－4xy＋4y2)＋y2＋6y＋9
＝(x－2)2＋2(x－2y)2＋(y＋3)2，
因为(x－2)2≥0，(x－2y)2≥0，(y＋3)2≥0，
当且仅当x－2＝0，x－2y＝0，y＋3＝0时，(x－2)2＝0，(x－2y)2＝0，(y＋3)2＝0，
所以(x－2)2，(x－2y)2，(y＋3)2不能同时为0，
所以M>0，即M的值一定是正数．
21．[2024春·沧州期末]如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
第21题图
(1)整式M＝ ；
(2)将整式P因式分解为 ．
解：(1)由题意，得3x(x－3)＋M＝3x2－4x－20，
所以M＝3x2－4x－20－3x(x－3)
＝3x2－4x－20－3x2＋9x
＝5x－20；
故答案为：5x－20；
(2)P＝3x2－4x－20＋(x＋2)2
＝3x2－4x－20＋x2＋4x＋4
＝4x2－16
＝4(x2－4)
＝4(x＋2)(x－2)．
故答案为：4(x＋2)(x－2)．
22．用简便方法计算：
(1)3.14×5.52－3.14×4.52；
(2)2 0242－4 048×2 023＋2 0232.
解：(1)3.14×5.52－3.14×4.52
＝3.14×(5.52－4.52)
＝3.14×(5.5＋4.5)×(5.5－4.5)
＝3.14×10×1
＝31.4；
(2)2 0242－4 048×2 023＋2 0232
＝2 0242－2×2 024×2 023＋2 0232
＝(2 024－2 023)2
＝12
＝1.
易错点 因式分解不彻底
23．[2024春·银川期中]因式分解：(x2＋y2)2－4x2y2
解：(x2＋y2)2－4x2y2
＝[(x2＋y2)＋2xy][(x2＋y2)－2xy]
＝(x＋y)2(x－y)2.
24．[2024春·烟台期中]因式分解：9(m＋n)2－(m－n)2
解：9(m＋n)2－(m－n)2
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)．
