第8章 相交线与平行线
类型一 邻补角与对顶角
1．[2024春·肇庆期中]如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2－∠3等于( C )
第1题图
A．40° B．80° C．100° D．120°
2．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1＝3∠3，∠2＝75°，则∠4＝25°．
第2题图
3．[2024春·烟台期末]若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为45°．
4．[2024春·孝感期中]如图，已知直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，OD平分∠EOB.
(1)图中∠AOC的对顶角为 ，∠EOD的邻补角为 ；
(2)若∠BOF＝20°，求∠COE的度数．
第4题图
解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD，
因为∠EOD＋∠EOC＝180°，
所以∠EOD的邻补角是∠EOC，
故答案为：∠BOD；∠EOC；
(2)因为EO⊥OF，所以∠EOF＝90°，
又因为∠BOF＝20°，所以∠EOB＝∠EOF－∠BOF＝90°－20°＝70°，
因为OD平分∠EOB，所以∠EOD＝35°，
所以∠COE＝180°－∠EOD＝180°－35°＝145°.
类型二 垂直
5．[2024春·越秀区期末]直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，点P到直线l的距离为d cm，则下列说法正确的是( D )
A．d＞4 B．3＜d≤4
C．2＜d≤3 D．d≤2
6．利用网格画图：
第6题图
(1)过点C画AB的垂线，垂足为E；
(2)线段CE的长度是点C到直线 的距离；
(3)连接CA，CB，在线段CA，CB，CE中，线段 最短．
解：(1)如图1所示：
第6题图
(2)线段CE的长度是点C到直线AB的距离，
故答案为：AB；
(3)连接CA，CB，在线段CA，CB，CE中，线段CE最短，
第6题图
理由：垂线段最短．
故答案为：CE.
7．[2024春·本溪期中]如图所示，直线EF与直线CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠BOD＝∠AOE.
(1)若∠AOE＝42°，求∠DOE的度数；
(2)猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由．
第7题图
解：(1)因为∠AOF＋∠AOE＝180°，∠AOE＝42°，
所以∠AOF＝138°，
因为OC平分∠AOF，
所以∠FOC＝∠AOC＝69°，
所以∠DOE＝∠FOC＝69°；
(2)OA⊥OB，理由：
设∠BOD＝α，∠BOE＝β，
所以∠AOE＝2∠BOD＝2α，
∠FOC＝∠DOE＝α＋β，
因为OC平分∠AOF，
所以∠AOC＝∠FOC＝α＋β，
因为∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，
所以α＋β＋2α＋α＋β＝180°，
所以2α＋β＝90°，
所以∠AOE＋∠BOE＝90°，
所以OA⊥OB.
类型三 同位角、内错角、同旁内角
8．[2024春·广州期末]如图，下列说法错误的是( D )
第8题图
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠1与∠B是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠3是对顶角
9．(多选)如图，按各组角的位置判断正确的是( ABD )
第9题图
A．∠1与∠4是同旁内角
B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角
D．∠2与∠5是同位角
类型四 平行线和它的画法
10．[2023秋·邯郸期中]如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线( C )
第10题图
A．1条 B．2条
C．0或1条 D．无数条
11．[2024春·绍兴期末]小明利用三角尺和直角尺画直线l1的平行线l2，如图所示，由此可得到的基本事实是( A )
第11题图
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
类型五 平行线的性质
12．[2023·恩施]将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝( A )
第12题图
A．40° B．30° C．20° D．15°
13．[2023·绥化]将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠3的度数为( C )
第13题图
A．55° B．65° C．70° D．75°
14．[2023·张家界]如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是( A )
第14题图
A．70° B．50° C．40° D．140°
类型六 平行线的判定
15．(多选)[2024春·高密市期中]如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有( ACD )
第15题图
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
16．(多选)[2023春·天河区期中]如图，下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4 ②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C ③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2 ④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F.其中正确的是( AD )
第16题图
A．① B．② C．③ D．④
17．[2024春·西安期末]如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延长线上，连接AF，BE相交于点O，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E.
(1)试说明AD∥BC；
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
第17题图
解：(1)因为∠ADE＋∠BCF＝180°，∠ADE＋∠ADF＝180°，
所以∠ADF＝∠BCF，
所以AD∥BC；
(2)AB∥EF，理由：
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠ABE，
又因为∠ABC＝2∠E，
所以∠ABE＝∠E，
所以AB∥EF.
类型七 平行线的性质和判定综合
18．[2024春·双城区期末]如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1＋∠2＝180°.
(1)判断AD与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
第18题图
解：(1)AD∥EF.
因为AB∥DG，
所以∠1＝∠BAD，
因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠BAD＋∠2＝180°，
所以AD∥EF；
(2)因为∠1＋∠2＝180°，∠2＝140°，
所以∠1＝40°，
因为DG是∠ADC的平分线，
所以∠1＝∠GDC＝40°，
因为AB∥DG，
所以∠B＝∠GDC＝40°.
类型八 探究性题目
19．[2024·潍坊期中]如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上．
第19题图
(1)如图1，已知点P在线段EF上，∠A＝30°，∠APC＝80°，则∠C＝ ；
(2)如图2，当动点P在线段EF上运动时(不包括E，F两点)，∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并说明理由；
(3)当动点P在直线EF(线段EF除外)上运动时，(2)中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间满足的数量关系．
解：(1)过点P作PO∥AB，
第19题图
因为AB∥CD，
所以PO∥AB∥CD，
所以∠A＝∠APO，∠OPC＝∠C，
因为∠A＝30°，∠APC＝80°，
所以∠APO＝30°，
所以∠APO＋∠OPC＝∠APC＝80°，
所以∠OPC＝50°，
所以∠C＝50°；
(2)过点P作PO∥AB，
第19题图
因为AB∥CD，
所以PO∥AB∥CD，
所以∠A＝∠APO，∠OPC＝∠C，
因为∠APC＝∠APO＋∠OPC，
所以∠APC＝∠A＋∠C；
(3)当点P在射线EF的延长线上运动时，(2)中的结论不成立，新关系为∠A－∠C＝∠APC.
理由：
过点P作PO∥AB，如图3，
第19题图
因为AB∥CD，
所以PO∥AB∥CD，
所以∠C＝∠CPO，∠A＝∠APO，
因为∠APO＝∠APC＋∠CPO，
所以∠A＝∠APC＋∠C，
所以∠A－∠C＝∠APC；
当点P在射线FE的延长线上运动时，(2)中的结论不成立，新关系为∠C＝∠A＋∠APC.
第19题图
理由：
设AB与CP相交于点Q，作OP∥AB，
因为AB∥CD，
所以OP∥AB∥CD，
所以∠C＝∠PQB，
所以∠PQB＝∠C＝180°－∠PQA，
因为∠PQA＝180°－∠A－∠APC，
所以∠C＝180°－(180°－∠A－∠APC)＝∠A＋∠APC.
易错点一 分情况讨论考虑不全产生漏解
20．[2024春·榆林期中]如图，直线AB与直线CD被直线EF所截，分别交AB，CD于点F，M，过点M作射线MN，则图中∠1的同位角有( B )
第20题图
A．∠3 B．∠2或∠DME
C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME
21．[2024春·临沂期末]已知∠α的两边与∠β的两边分别平行，若∠α＝60°，则∠β＝60°或120°．
22．[2024春·商丘期末]一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°.若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝15°或165°时，CD∥OB.
第22题图
易错点二 识图错误导致平行线判定错误
23．(多选)[2023春·湘潭县期末]如图，四边形ABCD中，下列说法正确的
是( BC )
第23题图
A．若∠1＝∠3，则AB∥CD
B．若∠2＝∠4，则AB∥CD
C．若∠1＋∠2＋∠A＝180°，则AD∥BC
D．若∠A＝∠C，则AD∥BC第8章 相交线与平行线
类型一 邻补角与对顶角
1．[2024春·肇庆期中]如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2－∠3等于( )
第1题图
A．40° B．80° C．100° D．120°
2．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1＝3∠3，∠2＝75°，则∠4＝ ．
第2题图
3．[2024春·烟台期末]若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ．
4．[2024春·孝感期中]如图，已知直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，OD平分∠EOB.
(1)图中∠AOC的对顶角为 ，∠EOD的邻补角为 ；
(2)若∠BOF＝20°，求∠COE的度数．
第4题图
类型二 垂直
5．[2024春·越秀区期末]直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，点P到直线l的距离为d cm，则下列说法正确的是( )
A．d＞4 B．3＜d≤4
C．2＜d≤3 D．d≤2
6．利用网格画图：
第6题图
(1)过点C画AB的垂线，垂足为E；
(2)线段CE的长度是点C到直线 的距离；
(3)连接CA，CB，在线段CA，CB，CE中，线段 最短．
7．[2024春·本溪期中]如图所示，直线EF与直线CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠BOD＝∠AOE.
(1)若∠AOE＝42°，求∠DOE的度数；
(2)猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由．
第7题图
类型三 同位角、内错角、同旁内角
8．[2024春·广州期末]如图，下列说法错误的是( )
第8题图
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠1与∠B是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠3是对顶角
9．(多选)如图，按各组角的位置判断正确的是( )
第9题图
A．∠1与∠4是同旁内角
B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角
D．∠2与∠5是同位角
类型四 平行线和它的画法
10．[2023秋·邯郸期中]如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线( )
第10题图
A．1条 B．2条
C．0或1条 D．无数条
11．[2024春·绍兴期末]小明利用三角尺和直角尺画直线l1的平行线l2，如图所示，由此可得到的基本事实是( )
第11题图
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
类型五 平行线的性质
12．[2023·恩施]将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝( )
第12题图
A．40° B．30° C．20° D．15°
13．[2023·绥化]将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠3的度数为( )
第13题图
A．55° B．65° C．70° D．75°
14．[2023·张家界]如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是( )
第14题图
A．70° B．50° C．40° D．140°
类型六 平行线的判定
15．(多选)[2024春·高密市期中]如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有( )
第15题图
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
16．(多选)[2023春·天河区期中]如图，下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4 ②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C ③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2 ④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F.其中正确的是( )
第16题图
A．① B．② C．③ D．④
17．[2024春·西安期末]如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延长线上，连接AF，BE相交于点O，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E.
(1)试说明AD∥BC；
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
第17题图
类型七 平行线的性质和判定综合
18．[2024春·双城区期末]如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1＋∠2＝180°.
(1)判断AD与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
第18题图
类型八 探究性题目
19．[2024·潍坊期中]如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上．
第19题图
(1)如图1，已知点P在线段EF上，∠A＝30°，∠APC＝80°，则∠C＝ ；
(2)如图2，当动点P在线段EF上运动时(不包括E，F两点)，∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并说明理由；
(3)当动点P在直线EF(线段EF除外)上运动时，(2)中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间满足的数量关系．
易错点一 分情况讨论考虑不全产生漏解
20．[2024春·榆林期中]如图，直线AB与直线CD被直线EF所截，分别交AB，CD于点F，M，过点M作射线MN，则图中∠1的同位角有( )
第20题图
A．∠3 B．∠2或∠DME
C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME
21．[2024春·临沂期末]已知∠α的两边与∠β的两边分别平行，若∠α＝60°，则∠β＝ ．
22．[2024春·商丘期末]一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°.若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝ 时，CD∥OB.
第22题图
易错点二 识图错误导致平行线判定错误
23．(多选)[2023春·湘潭县期末]如图，四边形ABCD中，下列说法正确的
是( )
第23题图
A．若∠1＝∠3，则AB∥CD
B．若∠2＝∠4，则AB∥CD
C．若∠1＋∠2＋∠A＝180°，则AD∥BC
D．若∠A＝∠C，则AD∥BC
