第五章 图形的轴对称
时间:60分钟 满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
2.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是 ( )
A.过顶点的直线 B.底边上的高
C.顶角的平分线所在的直线 D.腰上的高所在的直线
3.将一张长方形纸片对折,然后用笔尖在纸片上扎出字母B,再把它展开铺平,那么可以看到的图形是 ( )
4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,若∠DAO=30°,∠ADO=25°,则∠BOC的度数为 ( )
A.125° B.120° C.115° D.110°
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当的长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D.若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是 ( )
A.15 B.30 C.45 D.60
6.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧交于M,N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若AB=10 cm,AC=4 cm,则△ADC的周长为 ( )
A.14 cm B.13 cm C.12 cm D.11 cm
7.如图,将一张正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是 ( )
8.如图,在四边形ABCD中,∠D=90°,AE⊥CB,且AC平分∠DAE,CD=4,AD=6,BE=2,则四边形ABCD的面积为 ( )
A.24 B.26 C.28 D.30
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.如图,这是一个轴对称图形,它的对称轴有 条.
10.已知直线l是线段AB的垂直平分线,点C是直线l上的点,连接CA,CB,若∠BAC=60°,则∠ABC的度数为 .
11.如图,这是一个轴对称图形,BC所在的直线是它的对称轴,则图中共有 对全等三角形.
在如图所示的正方形网格中画有两条线段,现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有 条.
三、解答题(本大题5小题,共48分)
13.(6分)下图中的图形都是轴对称图形,请你画出它们的对称轴.
14.(8分)如图,已知△ABC和△A'B'C'关于直线l对称.
(1)△ABC与△A'B'C' (填“全等”或“不全等”).
(2)若AB=4 cm,A'C'=6 cm,BC=3 cm,AC边上的高为2 cm,求△A'B'C'的周长和面积.
15.(10分)两个城镇A,B与两条公路l1,l2的位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处 请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
16.(10分)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为56°,求这个等腰三角形的底角的度数.
17.(14分)阅读材料:同学们已经知道,角平分线的性质是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,那么把上述性质反过来就可以得到在一个角的内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
问题情境:如图,在四边形ABCD中,CE⊥AB于点E,CD=CB,∠ABC+∠ADC=180°.
问题解决:试说明AC平分∠BAD.
合作探究:(1)在“问题解决”的基础上,若AE=3BE=9,能求出AD的长吗 请说明理由.(提示:在两个直角三角形中,一直角边与斜边分别相等的两直角三角形全等)
(2)如果△ABC和△ACD的面积分别为40和28,请求出△BCE的面积.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A B A A D
2.C 【解析】等腰三角形的对称轴为顶角的平分线所在的直线.
3.C 【解析】将纸片展开铺平后,两个字母B关于折痕成轴对称.
4.A 【解析】因为△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,所以∠BOC=∠AOD=180°-∠DAO-∠ADO=180°-30°-25°=125°.
5.B 【解析】如图,由题意,得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于点E,又因为∠C=90°,所以DE=CD,所以△ABD的面积=AB DE=×15×4=30.
6.A 【解析】由图可知,MN是BC的垂直平分线,所以CD=DB,因为AB=10 cm,所以CD+AD=10 cm,所以△ADC的周长为10+4=14 cm.
8.D 【解析】由题意得△ADC的面积为×AD×CD=×6×4=12.因为AC平分∠DAE,AE⊥CB,AD⊥CD,所以∠DAC=∠CAE,∠D=∠CEA=90°,AC=AC,所以△ADC≌△AEC,所以AE=AD=6,CE=CD=4,因为BE=2,所以CB=6,所以△ABC的面积为×AE×CB=×6×6=18,所以四边形ABCD的面积为12+18=30.
二、填空题
9.无数
10.60° 【解析】因为点C是线段AB的垂直平分线上的点,所以CA=CB,所以∠ABC=∠BAC=60°.
11.3 【解析】图中全等的三角形分别为△ABE≌△DBE,△AEC≌△DEC,△ABC≌△DBC.
12.4 【解析】如图,能满足条件的线段有4条.
三、解答题
13.解:如图所示. (6分)
14.解:(1)全等. (2分)
(2)因为△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,所以A'B'=AB=4 cm,B'C'=BC=3 cm,A'C'边上的高=2 cm,所以△A'B'C'的周长=4+6+3=13(cm), (6分)
面积=×6×2=6(cm2). (8分)
15.解:如图所示:(1)作出线段AB的垂直平分线; (3分)
(2)作出角的平分线. (6分)
它们的交点为所求作的点C(有2个). (10分)
要点归纳 本题考查我们对尺规作图(作线段的垂直平分线及角平分线)和相关性质的理解和掌握情况.
(1)线段垂直平分线的作法:
①如图1,分别以点A,B为圆心,以大于AB为半径作两条弧,这两条弧分别交于点C,D;②作直线CD与线段AB交于点E,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
(2)角平分线的作法:
①以点O为圆心,任意长为半径,画弧分别交OB,OA于点E,D;
②分别以点D,E为圆心,以大于DE为半径画弧,两弧交于点F;
③作射线OC,使它经过点F,则射线OC为∠AOB的平分线.
(3)线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的一点到线段两端的距离相等.
(4)角平分线的性质:角平分线上的一点到角的两边的距离相等.
16.解:①当顶角∠A<90°时,如图①所示,因为BD⊥AC,所以∠A+∠ABD=90°,
因为∠ABD=56°,所以∠A=90°-56°=34°,
因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=×(180°-34°)=73°. (5分)
②当顶角∠A>90°时,如图②所示,因为BD⊥AC,所以∠DAB+∠ABD=90°,
因为∠ABD=56°,所以∠DAB=90°-56°=34°,所以∠BAC=146°,
因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=×(180°-146°)=17°.
综上所述,这个等腰三角形的底角的度数为73°或17°. (10分)
17.解:问题解决:如图,作CF⊥AD的延长线于点F,所以∠F=90°.
因为CE⊥AB,所以∠F=∠CEA=∠CEB=90°.
因为∠ADC+∠CDF=180°,且∠ABC+∠ADC=180°,所以∠CDF=∠B.
在△CDF和△CBE中,∠F=∠CEB,∠CDF=∠B,CD=CB,所以△CDF≌△CBE(AAS),所以CF=CE.
因为CF⊥AD,CE⊥AB,所以AC平分∠BAD. (4分)
合作探究:(1)在Rt△CAF和Rt△CAE中,CF=CE,AC=AC,所以△CAF≌△CAE,
所以AF=AE.
因为△CDF≌△CBE,所以DF=BE.
因为3BE=9,所以BE=3,所以DF=3.
因为AD=AF-DF,所以AD=AE-DF=9-3=6. (9分)
(2)因为△CAF≌△CAE,△CDF≌△CBE,
所以S△CAF=S△CAE,S△CDF=S△CBE,
设△BCE的面积为x,则△CDF的面积为x,
由题意,得28+x=40-x,解得x=6.
所以△BCE的面积为6. (14分)
