浙江省杭州市西湖区J12共同体2023-2024学年初二下期中考初中数学试卷
1．（2024八下·杭州期中）下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】中心对称图形指把一个图形绕着某一个点旋转后能够完全重合的图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2024八下·杭州期中）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：C．
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，再解不等式即可．
3．（2024八下·杭州期中）若方程有实数根，则值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
解得
四个选项，只有C选项符合
故答案为：C
【分析】当一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，根据题意应该列不等式．
4．（2024八下·杭州期中）一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26
销售量(双) 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是( )
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：若每双鞋的销售利润相同，为销售额考虑，应该关注卖出最多的鞋子的尺码，
即店主最关注的是众数.
故答案为：D.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合实际情况即可判断得出答案.
5．（2024八下·杭州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次根式进行加减运算时，必须先化为最简二次根式，当最简二次根式的被开方数相同时才可以合并，方法类似于合并同类项；二次根式的乘除法运算要按照法则进行，即被开方数的积（商）等于积（商）的被开方数；另由于二次根式具有双重非负性，即，所以二次根式化简的结果还是非负数．
6．（2024八下·杭州期中）一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．9
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴，
即，
∴，
解得：．
故答案为：A
【分析】当一元二次方程的二次项系数为1时，常考虑使用配方法求解，而配方法解一元二次方程 的一般步骤是，先把常数项移到等号的右边，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，再直接开方．
7．（2024八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点，
四边形是平行四边形，点，点，点，
，，
，，
点，
故答案为：C．
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，因此可先利用中点公式求出A、C两点的对称中心，则B点坐标可求.
8．（2024八下·杭州期中）下列说法正确的是 （ ）
A．一组数据，都减去后的平均数为，方差为，则这组数据的平均数为，方差为
B．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数为4
C．方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数
D．数据1，2，2，4，4，6的众数是4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：A． 一组数据，都减去后的平均数为，方差为，则这组数据的平均数为，方差为，故本选项正确，符合题意；
B． 设平均数为a，则
方差为
，
∵
∴，
∴，故本选项错误，不符合题意；
C． 方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是非负数，故本选项错误，不符合题意；
D． 数据1，2，2，4，4，6的众数是4和2，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】平均数是指一组数据中所有数据的和除以数据的个数，反映数据集中趋势的核心指标；方差是指数据值与平均数的离差平方的平均数，衡量数据的离散程度，特点是方差值越大，数据波动性越强；众数是指一组数据中出现次数最多的数据，有可能是一个，也可能是多个，反映出数据分布的“最频繁值”.
9．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是 （ ）
A．1可能是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．不可能是方程的根
D．1和都是方程的根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且
∴或，
∴或，
当时，，
当时，，此时，
∴1就是方程的根，故A选项错误，不符合题意；
不是方程的根，故C选项正确，D选项错误，不符合题意；
把代入得，可能成立，
即0可能是方程的根，故B选项错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则且，可得出了或此时可把选项中的值分别代入到方程进行检验即可得出正确答案．
10．（2024八下·杭州期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，，
根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段的长度取值范围为．
故答案为：C
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，则过对称中心的任一条直线平分其面积，显然当线段MN垂直AD时最小，与BD重合时最大．
11．（2024八下·杭州期中）当x＝2时，二次根式的值是 .
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：将x=2代入可得：.
故答案为2.
【分析】将x=2代入计算即可.
12．（2024八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为 ．
【答案】-1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，，解得，，故答案为：．
【分析】根据方程解的概念，把此时未知数的值代入方程中可得到关于的一元一次方程即可.
13．（2024八下·杭州期中）若正边形的每一个内角为，则 ．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正边形的每一个内角为，则正边形的每一个外角为，，
故答案为：10．
【分析】由于正多边形的每一个内角相等，则它的每一个外角也相等，而且任意多边形的外角和总是360度，可先求出它一个外角的度数，再除360度即可。
14．（2024八下·杭州期中）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
【答案】x（60-x）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
15．（2024八下·杭州期中）已知5个正数的平均数是，且，则数据，的平均数是 ，中位数是
【答案】；
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵5个正数的平均数是，
即，
则，
故数据，的平均数是，
∵，
∴数据，的中位数是.
故答案为：；.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数可算出第一空的答案；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可求解.
16．（2024八下·杭州期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ．
【答案】
【知识点】将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：如图，过点作关于的对称点，过作且使，连接交于点，在上截取，连接。
则四边形为平行四边形，所以；因为关于对称，所以；因为五边形中长是定值，此时，因此当与重合时，五边形的周长最小。分别连接、，其中交延长线于点，过作于点，∵平行四边形中，为等腰直角三角形，且为中点，且则四边形为正方形又中，中，故答案为：．
【分析】因为五边形BCGFE中，BE、BC、FG的长固定不变，要求周长最小值，实际是求线段EF与CG和的最小值，此时可通过作对称点和平行线的方法把EF与CG转化到同一条线段上即可．
17．（2024八下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式的混合运算顺序是先乘除、后加减，注意乘除运算的结果必须化为最简二次根式，如果被开方数相同，可按照合并同类项的方法进行合并．
（2）实数的混合运算可灵活利用乘法公式进行简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
18．（2024八下·杭州期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
∴或，
∴
（2）解：
∴
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键；
（1）当一元二次方程的二次项系数为1，常数项能分解成两个因数的乘积，且这两个因数的和恰好等于一次项系数时，可直接使用十字相乘法快速求解；
（2）当一元二次方程的二次项系数为整数且其它各项系数也比较简单时，可利用公式法求解，步骤为先分别写出各项系数，再计算根的判别式的值，当时，可按照求根公式直接写出方程的根．
（1）∵，
∴
∴或，
∴
（2）∴
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
19．（2024八下·杭州期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
（1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
（2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
【答案】（1）2；2
（2）解：平均数为，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
【知识点】中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．
故答案为：2；2．
【分析】（1）众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多外；中位数需要对数据进行大小排序，再取最中间的数据或最中间两个数据的平均数；
（2）注意标准差是方差的算术平方根，不能是负数．
（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，
∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．
故答案为：2；2．
（2）解：平均数为，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
．
20．（2024八下·杭州期中）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件．
（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？
【答案】（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：十一、十二这两个月的月平均增长率为
（2）解；设每件模型应降价m元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：每件模型应降价10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）平均增长率常用公式求解，其中为起始数据，为终止数据；
（2）利润＝售价－成本，本题中先设出降价钱数，则可表示出单件利润和销售总额，然后利用公式列出方程即可．
（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：十一、十二这两个月的月平均增长率为；
（2）解；设每件模型应降价m元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：每件模型应降价10元．
21．（2024八下·杭州期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，N是对角线的三等分点，
，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠MBC=∠NDA，
在△MBC和△NDA中，
，
∴△MBC≌△NDA，
∴CM=AN，
同理可得：△MBA≌△NDC，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，N是对角线的三等分点，，
∴，，
，
∴△ADN和△ABM是直角三角形，
∵，
，
，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，进而求得∠MBC=∠NDA，再根据M，N是对角线的三等分点得到BM=DN，可以证明△MBC≌△NDA，△MBA≌△NDC，进而利用平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用M，N是对角线的三等分点得出、BM，根据，得出△ADN和△ABM是直角三角形，再根据勾股定理进而得出，同理可以得出.．
（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，N是对角线的三等分点，
，
∴
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，M，N是对角线的三等分点，
，，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
．
22．（2024八下·杭州期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1） 由新定义知，关于的二次多项式中，当二次项系数为1时，可把常数项拆成两个数字的代数和，使其中一个数字为一次项系数一半的平方，则可以把这个二次多项式转化成一个完全平方式与常数和即的形式，则其对称轴为；
（2）由于，显然其对称轴为；
（3）由于，则其对称轴为，所以，又当时， 多项式有最小值，即，解得，则 方程 变成，配方得，即，所以
（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．
浙江省杭州市西湖区J12共同体2023-2024学年初二下期中考初中数学试卷
1．（2024八下·杭州期中）下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·杭州期中）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·杭州期中）若方程有实数根，则值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·杭州期中）一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26
销售量(双) 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是( )
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
5．（2024八下·杭州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·杭州期中）一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．9
7．（2024八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·杭州期中）下列说法正确的是 （ ）
A．一组数据，都减去后的平均数为，方差为，则这组数据的平均数为，方差为
B．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数为4
C．方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数
D．数据1，2，2，4，4，6的众数是4
9．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是 （ ）
A．1可能是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．不可能是方程的根
D．1和都是方程的根
10．（2024八下·杭州期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·杭州期中）当x＝2时，二次根式的值是 .
12．（2024八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为 ．
13．（2024八下·杭州期中）若正边形的每一个内角为，则 ．
14．（2024八下·杭州期中）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
15．（2024八下·杭州期中）已知5个正数的平均数是，且，则数据，的平均数是 ，中位数是
16．（2024八下·杭州期中）如图，中，，，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 ．
17．（2024八下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·杭州期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·杭州期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
（1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
（2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
20．（2024八下·杭州期中）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件．
（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？
21．（2024八下·杭州期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
22．（2024八下·杭州期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】中心对称图形指把一个图形绕着某一个点旋转后能够完全重合的图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：C．
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，再解不等式即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
解得
四个选项，只有C选项符合
故答案为：C
【分析】当一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，根据题意应该列不等式．
4．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：若每双鞋的销售利润相同，为销售额考虑，应该关注卖出最多的鞋子的尺码，
即店主最关注的是众数.
故答案为：D.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合实际情况即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次根式进行加减运算时，必须先化为最简二次根式，当最简二次根式的被开方数相同时才可以合并，方法类似于合并同类项；二次根式的乘除法运算要按照法则进行，即被开方数的积（商）等于积（商）的被开方数；另由于二次根式具有双重非负性，即，所以二次根式化简的结果还是非负数．
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴，
即，
∴，
解得：．
故答案为：A
【分析】当一元二次方程的二次项系数为1时，常考虑使用配方法求解，而配方法解一元二次方程 的一般步骤是，先把常数项移到等号的右边，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，再直接开方．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点，
四边形是平行四边形，点，点，点，
，，
，，
点，
故答案为：C．
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，因此可先利用中点公式求出A、C两点的对称中心，则B点坐标可求.
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：A． 一组数据，都减去后的平均数为，方差为，则这组数据的平均数为，方差为，故本选项正确，符合题意；
B． 设平均数为a，则
方差为
，
∵
∴，
∴，故本选项错误，不符合题意；
C． 方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是非负数，故本选项错误，不符合题意；
D． 数据1，2，2，4，4，6的众数是4和2，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】平均数是指一组数据中所有数据的和除以数据的个数，反映数据集中趋势的核心指标；方差是指数据值与平均数的离差平方的平均数，衡量数据的离散程度，特点是方差值越大，数据波动性越强；众数是指一组数据中出现次数最多的数据，有可能是一个，也可能是多个，反映出数据分布的“最频繁值”.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且
∴或，
∴或，
当时，，
当时，，此时，
∴1就是方程的根，故A选项错误，不符合题意；
不是方程的根，故C选项正确，D选项错误，不符合题意；
把代入得，可能成立，
即0可能是方程的根，故B选项错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则且，可得出了或此时可把选项中的值分别代入到方程进行检验即可得出正确答案．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，，
根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段的长度取值范围为．
故答案为：C
【分析】由于平行四边形是中心对称图形，则过对称中心的任一条直线平分其面积，显然当线段MN垂直AD时最小，与BD重合时最大．
11．【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：将x=2代入可得：.
故答案为2.
【分析】将x=2代入计算即可.
12．【答案】-1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，，解得，，故答案为：．
【分析】根据方程解的概念，把此时未知数的值代入方程中可得到关于的一元一次方程即可.
13．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正边形的每一个内角为，则正边形的每一个外角为，，
故答案为：10．
【分析】由于正多边形的每一个内角相等，则它的每一个外角也相等，而且任意多边形的外角和总是360度，可先求出它一个外角的度数，再除360度即可。
14．【答案】x（60-x）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
15．【答案】；
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵5个正数的平均数是，
即，
则，
故数据，的平均数是，
∵，
∴数据，的中位数是.
故答案为：；.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数可算出第一空的答案；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可求解.
16．【答案】
【知识点】将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：如图，过点作关于的对称点，过作且使，连接交于点，在上截取，连接。
则四边形为平行四边形，所以；因为关于对称，所以；因为五边形中长是定值，此时，因此当与重合时，五边形的周长最小。分别连接、，其中交延长线于点，过作于点，∵平行四边形中，为等腰直角三角形，且为中点，且则四边形为正方形又中，中，故答案为：．
【分析】因为五边形BCGFE中，BE、BC、FG的长固定不变，要求周长最小值，实际是求线段EF与CG和的最小值，此时可通过作对称点和平行线的方法把EF与CG转化到同一条线段上即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式的混合运算顺序是先乘除、后加减，注意乘除运算的结果必须化为最简二次根式，如果被开方数相同，可按照合并同类项的方法进行合并．
（2）实数的混合运算可灵活利用乘法公式进行简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
18．【答案】（1）解：∵，
∴
∴或，
∴
（2）解：
∴
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键；
（1）当一元二次方程的二次项系数为1，常数项能分解成两个因数的乘积，且这两个因数的和恰好等于一次项系数时，可直接使用十字相乘法快速求解；
（2）当一元二次方程的二次项系数为整数且其它各项系数也比较简单时，可利用公式法求解，步骤为先分别写出各项系数，再计算根的判别式的值，当时，可按照求根公式直接写出方程的根．
（1）∵，
∴
∴或，
∴
（2）∴
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
19．【答案】（1）2；2
（2）解：平均数为，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
【知识点】中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．
故答案为：2；2．
【分析】（1）众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多外；中位数需要对数据进行大小排序，再取最中间的数据或最中间两个数据的平均数；
（2）注意标准差是方差的算术平方根，不能是负数．
（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，
∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．
故答案为：2；2．
（2）解：平均数为，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
．
20．【答案】（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：十一、十二这两个月的月平均增长率为
（2）解；设每件模型应降价m元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：每件模型应降价10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）平均增长率常用公式求解，其中为起始数据，为终止数据；
（2）利润＝售价－成本，本题中先设出降价钱数，则可表示出单件利润和销售总额，然后利用公式列出方程即可．
（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：十一、十二这两个月的月平均增长率为；
（2）解；设每件模型应降价m元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：每件模型应降价10元．
21．【答案】（1）证明：，N是对角线的三等分点，
，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠MBC=∠NDA，
在△MBC和△NDA中，
，
∴△MBC≌△NDA，
∴CM=AN，
同理可得：△MBA≌△NDC，
∴AM=CN，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，N是对角线的三等分点，，
∴，，
，
∴△ADN和△ABM是直角三角形，
∵，
，
，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，进而求得∠MBC=∠NDA，再根据M，N是对角线的三等分点得到BM=DN，可以证明△MBC≌△NDA，△MBA≌△NDC，进而利用平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用M，N是对角线的三等分点得出、BM，根据，得出△ADN和△ABM是直角三角形，再根据勾股定理进而得出，同理可以得出.．
（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，N是对角线的三等分点，
，
∴
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，M，N是对角线的三等分点，
，，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
．
22．【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
【分析】（1） 由新定义知，关于的二次多项式中，当二次项系数为1时，可把常数项拆成两个数字的代数和，使其中一个数字为一次项系数一半的平方，则可以把这个二次多项式转化成一个完全平方式与常数和即的形式，则其对称轴为；
（2）由于，显然其对称轴为；
（3）由于，则其对称轴为，所以，又当时， 多项式有最小值，即，解得，则 方程 变成，配方得，即，所以
（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，
∴关于的多项式关于对称，
又∵关于的多项式关于对称，
∴，
故答案为：4；
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．
