2024年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校模拟预测数学试题
1．（2024九下·柯桥模拟）在，0，，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据实数大小的比较法则“正数大于负数；0大于负数；0小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”即可求解．
2．（2024九下·柯桥模拟）浙江省在第七次人口普查中的常住人口数量约为6456万，将数据“6456万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6456万=
故答案为：A．
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题即可．
3．（2024九下·柯桥模拟）围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的定义"从正面看物体所得到的视图是主视图"并结合图形即可求解．
4．（2024九下·柯桥模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，所以A不正确；
B、，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、 ，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．（2024九下·柯桥模拟）如图，在中，，为上的点，以为半径的交于点，恰好是的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
6．（2024九下·柯桥模拟）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 5 11 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是3 D．众数是17
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为：（1×5+2×11+3×16+4×17+5×1）÷50=2.96，故此选项错误；
B、将50位同学读书本书从少到多排列后，排第25与26位的同学都读了3本书
∴中位数是（3=3）÷2=5，故此选项正确；
C、∵平均数=2.96，
∴方差不是整数，故此选项错误；
D、4出现的次数最多为17，
∴众数是4，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平均数，中位数，方差以及众数的定义分别进行判断，即可得出答案。
7．（2024九下·柯桥模拟）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，辆车，根据题意得，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个等量关系“每3人共乘一车时所需车辆数+2=总车辆数；每2人共乘一车时的总人数+9=实际总人数”可列出关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
8．（2024九下·柯桥模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
9．（2024九下·柯桥模拟）如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题：
①若平分，，则；
②若，，则；
③若，，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，延长交与点，作于点，作于点，
①若平分，，
∴，，且，
在Rt△AMP和Rt△ANP中
∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）
∴；
在Rt△BMP和Rt△BNP中
∴，
∴，
∴，即，
在△ABP和△ACP中
∴；
∴此结论正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，即，
∴，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴此结论正确，符合题意；
③若，
∴，
∴，即，
∴，
在△ABP和△ACP中
∴（SAS），
∴此结论正确，符合题意.
综上可得，正确的有①②③，
故答案为：D ．
【分析】连接，延长交于点，作，
①根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，在Rt△AMP和Rt△ANP中，用HL定理可证Rt△AMP≌Rt△ANP，则AM=AN；同理可证Rt△BMP≌Rt△BNP，则BM=CN，由线段的构成可得AB=AC，结合已知用边角边可证△ABP≌△ACP；
②由题意，由等边对等角可得∠PBE=∠PCE，由角的构成可得∠ABE=∠ACE，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得AB=AC，结合已知用边边边可求证；
③由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，由角的构成可得∠PBC=∠PCB，由等角对等边可得PB=PC，结合已知用边角边可求证．
10．（2024九下·柯桥模拟）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
在△ACD和△EHA中
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
在△EHF和△BCF中
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：D ．
【分析】过点作于点，过点作于点，由题意用角角边可证△ACD≌△EHA，结合已知可得，同理可证，可得，设，则，，，，
，在中，用勾股定理可将AE用含x的代数式表示出来，根据等面积法，可求出的值，在中，用含x的代数式表示的值，再根据锐角三角函数tan∠AET=计算即可求解．
11．（2024九下·柯桥模拟）因式分解： ；
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 ；故答案为 .
【分析】先运用提公因式法，再运用平方差公式因式分解即可.
12．（2024九下·柯桥模拟）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，
∴绿色扇形可以看成是两份，每份为，
∴共3种等可能结果，即黄色扇形，绿色扇形1，绿色扇形2，
∴指针落在黄色区域的概率为，
故答案为： ．
【分析】根据题意，将圆形分为等圆心角的三份，即黄色，绿色1，绿色2，结合概率公式计算即可求解．
13．（2024九下·柯桥模拟）圆锥的高为，底面半径为，则它的侧面积为
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长为：
圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
【分析】由题意，用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积等于计算即可求解．
14．（2024九下·柯桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由得：，
解得：，
如图，作轴，垂足为C，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点A在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据扇形面积计算公式求出半径OA的长，解Rt△AOC求出AC、OC的值，于是可得点A的坐标，根据点A在反比例函数的图象上用待定系数法即可求解．
15．（2024九下·柯桥模拟）在等边中，，分别是边，上的点，，连接，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
16．（2024九下·柯桥模拟）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，，，上的动点，若，当四边形为矩形时，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
17．（2024九下·柯桥模拟）（1）计算：；
（2）解不等式：
【答案】解：（1）
；
（2）
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质可得，由零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2024）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin30°=，再根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据解不等式的步骤“去括号、移项、系数化为1”解不等式即可求解．
18．（2024九下·柯桥模拟）某综合实践小组为了调查初中学生家庭劳动时间，按照时间分为四个等级，绘制了如下不完整统计图：
（1）求本次调查的总人数，并且补全人数分布图；
（2）在扇形统计图中，计算等级所对的圆心角的度数；
（3）若全区有初中学生人，请根据本次调查估计全区初中生家庭劳动时间为等级的人数．
【答案】（1）解：A组有12人，其百分比为，
∴（人），
∴C组的人数为：（人），
补全条形统计图如下，
（2）解：所对的圆心角的度数为：；
（3）解：（人），
∴初中生家庭劳动时间为等级的人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的总人数；根据样本容量等于各小组频数之和可计算出C组的人数，然后可补全条形图；
（2）根据圆心角=对应的百分比×360°计算即可求解；
（3）用样本百分比估算总体数量即可求解．
19．（2024九下·柯桥模拟）下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线；
（2）图②中，在的边上找一点，使得；
（3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1．
【答案】（1）解：如图所示，
根据网格图的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点，
∴即为所求的中线；
（2）解：如图所示，作，
根据网格图的特点可得是平行四边形，于交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求点的位置，
（3）解：如图所示，
如图，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∴即为所求位置．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线相互平分并结合网格图的特征即可求解；
（2）根据全等三角形的性质并结合网格图的特征作图即可求解；
（3）根据三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”以及中线平分面积的方法作图即可求解.
20．（2024九下·柯桥模拟）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
（1）如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
，
，
，
端点距离地面的高度约为；
（2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由已知易得：，然后在中，根据锐角三角函数的定义cos∠ABC=求出的长，然后由线段的和差关系AE=AB-BE进行计算即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意易得，在中，由含30度角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BH=BC，然后由线段的和差关系FG=AH=AB-BH求出FG=AH的值，DG=DF-FG求出DG的值，由平角定义可得，然后在中，用锐角三角函数的定义sin∠DCG=即可求解．
21．（2024九下·柯桥模拟）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一作长 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式；
（2）某同学一拃长为，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？
【答案】（1）解：由题意得：h是关于d的一次函数，设，
把，代入得：，
解得，
身高与一拃长之间的函数关系式为；
（2）解：在中，
把代入解析式h=10d+2得：
，
他的身高是；
（3）解：在中，
把代入解析式h=10d+2得：，
解得：，
他的一拃长应是．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，用待定系数法可求解；
（2）把d=16.8代入解析式h=10d+2计算即可求解；
（3）由题意，把h=185代入解析式h=10d+2可得关于d的方程，解方程即可求解．
22．（2024九下·柯桥模拟）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．
（1）特例探索：如图，若，求的度数；
（2）类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截，连接，
∵
∴
则，
由（）知，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（）首先得到是等边三角形，根据垂直得到，再根据直角三角形的两锐角互余解题；
（）根据等边对等角和三角形的内角和得到得，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可；
（）在上截，连接，根据等边对等角得到，然后根据外角得到，即可得到解题即可.
（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，在上截，连接，
∵
∴
则，
由（）知，
∴，
∴，
又∵，
∴．
23．（2024九下·柯桥模拟）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题．
【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为．
【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案：
方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案．
方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为．
【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
（1）求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式；
（2）若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数．
【答案】（1）解：根据题意，，，
∴，
设“抛物线型”花边的解析式为，
∴，
解得，，
∴，
∴抛物线花边的函数表达式为：；
（2）解：如图所示，
已知，
∴，
∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位，
∴，
令时，，
解得，，
∴，
∴，
∴一排中最多可摆放的花边个数为个．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
24．（2024九下·柯桥模拟）如图．四边形内接于，对角线为的直径，平分．
（1）求的度数：
（2）求证：：
（3）若，当时，求的长．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： ∵，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，则，
设，则，
由上述证明可得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；8字型相似模型
2024年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校模拟预测数学试题
1．（2024九下·柯桥模拟）在，0，，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024九下·柯桥模拟）浙江省在第七次人口普查中的常住人口数量约为6456万，将数据“6456万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·柯桥模拟）围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·柯桥模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·柯桥模拟）如图，在中，，为上的点，以为半径的交于点，恰好是的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·柯桥模拟）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 5 11 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是3 D．众数是17
7．（2024九下·柯桥模拟）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·柯桥模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·柯桥模拟）如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题：
①若平分，，则；
②若，，则；
③若，，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024九下·柯桥模拟）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·柯桥模拟）因式分解： ；
12．（2024九下·柯桥模拟）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
13．（2024九下·柯桥模拟）圆锥的高为，底面半径为，则它的侧面积为
14．（2024九下·柯桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ．
15．（2024九下·柯桥模拟）在等边中，，分别是边，上的点，，连接，若，则的值为 ．
16．（2024九下·柯桥模拟）如图，在矩形中，，，，，，分别是边，，，上的动点，若，当四边形为矩形时，则的取值范围是 ．
17．（2024九下·柯桥模拟）（1）计算：；
（2）解不等式：
18．（2024九下·柯桥模拟）某综合实践小组为了调查初中学生家庭劳动时间，按照时间分为四个等级，绘制了如下不完整统计图：
（1）求本次调查的总人数，并且补全人数分布图；
（2）在扇形统计图中，计算等级所对的圆心角的度数；
（3）若全区有初中学生人，请根据本次调查估计全区初中生家庭劳动时间为等级的人数．
19．（2024九下·柯桥模拟）下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线；
（2）图②中，在的边上找一点，使得；
（3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1．
20．（2024九下·柯桥模拟）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
（1）如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
21．（2024九下·柯桥模拟）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一作长 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式；
（2）某同学一拃长为，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？
22．（2024九下·柯桥模拟）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．
（1）特例探索：如图，若，求的度数；
（2）类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．
23．（2024九下·柯桥模拟）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题．
【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为．
【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案：
方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案．
方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为．
【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
（1）求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式；
（2）若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数．
24．（2024九下·柯桥模拟）如图．四边形内接于，对角线为的直径，平分．
（1）求的度数：
（2）求证：：
（3）若，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据实数大小的比较法则“正数大于负数；0大于负数；0小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”即可求解．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6456万=
故答案为：A．
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1解题即可．
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的定义"从正面看物体所得到的视图是主视图"并结合图形即可求解．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，所以A不正确；
B、，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、 ，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
6．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为：（1×5+2×11+3×16+4×17+5×1）÷50=2.96，故此选项错误；
B、将50位同学读书本书从少到多排列后，排第25与26位的同学都读了3本书
∴中位数是（3=3）÷2=5，故此选项正确；
C、∵平均数=2.96，
∴方差不是整数，故此选项错误；
D、4出现的次数最多为17，
∴众数是4，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平均数，中位数，方差以及众数的定义分别进行判断，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，辆车，根据题意得，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个等量关系“每3人共乘一车时所需车辆数+2=总车辆数；每2人共乘一车时的总人数+9=实际总人数”可列出关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
9．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，延长交与点，作于点，作于点，
①若平分，，
∴，，且，
在Rt△AMP和Rt△ANP中
∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）
∴；
在Rt△BMP和Rt△BNP中
∴，
∴，
∴，即，
在△ABP和△ACP中
∴；
∴此结论正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，即，
∴，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴此结论正确，符合题意；
③若，
∴，
∴，即，
∴，
在△ABP和△ACP中
∴（SAS），
∴此结论正确，符合题意.
综上可得，正确的有①②③，
故答案为：D ．
【分析】连接，延长交于点，作，
①根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，在Rt△AMP和Rt△ANP中，用HL定理可证Rt△AMP≌Rt△ANP，则AM=AN；同理可证Rt△BMP≌Rt△BNP，则BM=CN，由线段的构成可得AB=AC，结合已知用边角边可证△ABP≌△ACP；
②由题意，由等边对等角可得∠PBE=∠PCE，由角的构成可得∠ABE=∠ACE，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得AB=AC，结合已知用边边边可求证；
③由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，由角的构成可得∠PBC=∠PCB，由等角对等边可得PB=PC，结合已知用边角边可求证．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
在△ACD和△EHA中
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
在△EHF和△BCF中
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：D ．
【分析】过点作于点，过点作于点，由题意用角角边可证△ACD≌△EHA，结合已知可得，同理可证，可得，设，则，，，，
，在中，用勾股定理可将AE用含x的代数式表示出来，根据等面积法，可求出的值，在中，用含x的代数式表示的值，再根据锐角三角函数tan∠AET=计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 ；故答案为 .
【分析】先运用提公因式法，再运用平方差公式因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，
∴绿色扇形可以看成是两份，每份为，
∴共3种等可能结果，即黄色扇形，绿色扇形1，绿色扇形2，
∴指针落在黄色区域的概率为，
故答案为： ．
【分析】根据题意，将圆形分为等圆心角的三份，即黄色，绿色1，绿色2，结合概率公式计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长为：
圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
【分析】由题意，用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积等于计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由得：，
解得：，
如图，作轴，垂足为C，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点A在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据扇形面积计算公式求出半径OA的长，解Rt△AOC求出AC、OC的值，于是可得点A的坐标，根据点A在反比例函数的图象上用待定系数法即可求解．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
16．【答案】或
【知识点】矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
17．【答案】解：（1）
；
（2）
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质可得，由零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-2024）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin30°=，再根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据解不等式的步骤“去括号、移项、系数化为1”解不等式即可求解．
18．【答案】（1）解：A组有12人，其百分比为，
∴（人），
∴C组的人数为：（人），
补全条形统计图如下，
（2）解：所对的圆心角的度数为：；
（3）解：（人），
∴初中生家庭劳动时间为等级的人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的总人数；根据样本容量等于各小组频数之和可计算出C组的人数，然后可补全条形图；
（2）根据圆心角=对应的百分比×360°计算即可求解；
（3）用样本百分比估算总体数量即可求解．
19．【答案】（1）解：如图所示，
根据网格图的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点，
∴即为所求的中线；
（2）解：如图所示，作，
根据网格图的特点可得是平行四边形，于交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求点的位置，
（3）解：如图所示，
如图，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∴即为所求位置．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线相互平分并结合网格图的特征即可求解；
（2）根据全等三角形的性质并结合网格图的特征作图即可求解；
（3）根据三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”以及中线平分面积的方法作图即可求解.
20．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
，
，
，
端点距离地面的高度约为；
（2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由已知易得：，然后在中，根据锐角三角函数的定义cos∠ABC=求出的长，然后由线段的和差关系AE=AB-BE进行计算即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意易得，在中，由含30度角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BH=BC，然后由线段的和差关系FG=AH=AB-BH求出FG=AH的值，DG=DF-FG求出DG的值，由平角定义可得，然后在中，用锐角三角函数的定义sin∠DCG=即可求解．
21．【答案】（1）解：由题意得：h是关于d的一次函数，设，
把，代入得：，
解得，
身高与一拃长之间的函数关系式为；
（2）解：在中，
把代入解析式h=10d+2得：
，
他的身高是；
（3）解：在中，
把代入解析式h=10d+2得：，
解得：，
他的一拃长应是．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，用待定系数法可求解；
（2）把d=16.8代入解析式h=10d+2计算即可求解；
（3）由题意，把h=185代入解析式h=10d+2可得关于d的方程，解方程即可求解．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截，连接，
∵
∴
则，
由（）知，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（）首先得到是等边三角形，根据垂直得到，再根据直角三角形的两锐角互余解题；
（）根据等边对等角和三角形的内角和得到得，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可；
（）在上截，连接，根据等边对等角得到，然后根据外角得到，即可得到解题即可.
（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，在上截，连接，
∵
∴
则，
由（）知，
∴，
∴，
又∵，
∴．
23．【答案】（1）解：根据题意，，，
∴，
设“抛物线型”花边的解析式为，
∴，
解得，，
∴，
∴抛物线花边的函数表达式为：；
（2）解：如图所示，
已知，
∴，
∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位，
∴，
令时，，
解得，，
∴，
∴，
∴一排中最多可摆放的花边个数为个．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
24．【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： ∵，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，则，
设，则，
由上述证明可得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；8字型相似模型
