广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题
1．（2024高二下·霞山期中）设集合，，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·霞山期中）设，在复平面内z对应的点为Z，若，则点Z所在区域的面积为( )
A．15π B．6π C．3π D．2π
3．（2024高二下·霞山期中）已知，，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·霞山期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，( )
A． B．2 C． D．
5．（2024高二下·霞山期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（2024高二下·霞山期中）甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．60种 D．72种
7．（2024高二下·霞山期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
8．（2024高二下·霞山期中）在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·霞山期中）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
10．（2024高二下·霞山期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ）
A．
B．
C．的零点形成的集合为
D．的单调递减区间为
11．（2024高二下·霞山期中）定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则( )
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·霞山期中）已知，，若，则 ．
13．（2024高二下·霞山期中）小明喜爱踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率为.若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为.已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为 .
14．（2024高二下·霞山期中）已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是 .
15．（2024高二下·霞山期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
16．（2024高二下·霞山期中）如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2024高二下·霞山期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜，打成平局和失败分别记分，m分和0分.比赛两局，已知在每局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2.各局的比赛结果相互独立.
（1）若，求A两局得分之和为5的概率；
（2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列.
18．（2024高二下·霞山期中）已知抛物线C的方程为，直线与C交于A，B两点，且.
（1）求p；
（2）设C的焦点为F，直线与C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过F，当时，求点F到l距离的取值范围.
19．（2024高二下·霞山期中）设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）把用表示．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以复数z再复平面对应的点所在区域面积为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
3．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，由余弦定理：，
可得，解得，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，所以是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，可得圆心到直线的距离为，列式求得b，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先从5个景点选出2个相同的，有种，再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有种，
所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种.
故选：C.
【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合求得两人恰好有两个景区相同的选法总数.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，则，，
所以点E的坐标为，所以直线的斜率，
因为双曲线C的渐近线斜率为，所以
所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．
故选：C.
【分析】结合双曲线的性质求出点E的坐标，进而求出直线OE的斜率，结合双曲线的渐近线性质，即可判断直线OE与双曲线的交点的个数.
8．【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
而，
所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D．
【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.构建等比数列，利用等比数列的通项公式求出an，进而求出a15即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，则讲座前问卷答题的中位数为，故选项A正确；
B、讲座后问卷答题的正确率有4个85%，其余正确率的个数都小于4．所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，故选项B正确；
C、讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，故选项C正确；
D、讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，故选项D错误．
故选：ABC．
【分析】通过观察这张图，可知讲座前问卷答题的正确率的数据，结合中位数的定义即可判断选项A；根据讲座后问卷答题的数据可知其众数，即可判断选项B；从数据的离散程度进行判断即可判断选项C；结合数据根据极差的定义即可判断选项D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、由已知可得最小正周期，又，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故选项B正确；
C、因为，令，则，即，
解得，故f(x)的零点形成的集合为，故选项C错误；
D、令，解得，
所以的单调递减区间为，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由相邻两个零点间的距离为，可知最小正周期，进而利用公式计算即可判断选项A；结合图像可知，即，再结合且在单调递增区间内即可求解判断选项B；令结合正弦函数性质即可求解判断选项C；根据正弦函数单调性令并求解即可判断选项D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、因为函数为定义在上的奇函数，所以，故A错误；
B、由，令，可得，
解得，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，因为，，
所以，所以，因为函数为奇函数，所以为偶函数，
所以，所以，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数为奇函数即可判断A；令求得即可判断B；令化简即可判断C；令代入化简，结合函数为奇函数可得为偶函数即可判断D.
12．【答案】1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得．
故答案为：1．
【分析】根据向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0列方程，解出x的值即可.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设小明在某个周末晚上去打羽毛球的概率为，下午去踢足球的概率为，
则，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据条件概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，由题意可知，
则或，解得，，
，
当时，解得，V单调递增；
当时，解得，V单调递减，所以.
故答案为：.
【分析】设正四棱锥的高为，底面边长为，用h表示正四棱锥的体积，求导利用导数判断其单调性求最值即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为R，，
令，解得或，
当时，或，当时，，
故函数的单调增区间为和，减区间为.
（2）解：由（1）得，在，上单调递增，在上单调递减，
由题意得，，，，
故，解得或，故实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）的结论，求得的最小值，问题转化为解不等式，求解即可.
16．【答案】（1）证明：因为，O为AB中点，所以，
又因为D为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以，
又因为正三角形ABC， O为AB的中点 ，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面．
（2）解：如图所示，取的中点为，连接，
易知，，
因为平面ABC，所以平面ABC，
又因为，所以OB，OC，两两垂直，
以O为原点，以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
则，，，
因为平面，所以可作为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则，令x=1，则，所以．
则平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先证，再通过证明平面，根据线面垂直的性质可得，根据线面垂直的判定定理即可证⊥平面；
(2)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得平面与平面夹角的余弦值 .
（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，
又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，
又平面，故，因为，平面，故⊥平面．
（2）如图，取的中点为，连接，则，
则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直，
故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，．
由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量．
因，，则，，
设平面的法向量为，则，
故可取．
则平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，
所以A两局得分之和为5的概率为.
（2）因为在一局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3，0.5，
若，则X的可能取值为0，3，6，9，12，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 3 6 9 12
P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【分析】（1），由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，由此求A两局得分之和为5的概率即可；
（2）在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3，0.5，时，X的可能取值为0，3，6，9，12，分别求出相应的概率，再求分布列即可.
18．【答案】（1）解：因为直线与C交于A，B两点，且，所以，所以.
（2）解：由已知得，，设，，
由可得，，
所以，，，
因为以MN为直径的圆经过F，所以，所以，
即，
所以，
将，代入得，.
所以，且，解得或，
因为，所以，
设点F到直线MN的距离为d，
所以，
令，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，可知，结合题意即可求p；
（2）设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得，，将问题转化为，即，结合求出n的取值范围，再根据点到直线的距离公式求得，利用换元法求解即可.
19．【答案】（1）证明：由题意可知，，
因为，所以，所以，
又因为是正偶数，所以．
（2）证明：设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
，，所以，可得，
又，，都为正偶数，
所以，即，
因为，所以，即．
（3）解：设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）将公比用a，b表示出来，再结合a，b，c构成单调递增的正项等差数列，可知，进而可证明 ；
（2）设等差数列 的公差为，进而推导出， 从而， 再由， 能证明；
（3）设 个数所构成的等比数列为， 则， 由， 可 得 ：，， 由 都为正奇数， 则 既可为正数， 也可为负数， 分q为正数和负数两种情况讨论其插入的s+t个数的乘积即可.
（1）由题意知，又，可得，
所以，又是正偶数，所以．
（2）设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
又，，故，
可得，又，又，都为正偶数，
故，即，
又由（1）的结论得，，故有，即．
（3）设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题
1．（2024高二下·霞山期中）设集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·霞山期中）设，在复平面内z对应的点为Z，若，则点Z所在区域的面积为( )
A．15π B．6π C．3π D．2π
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以复数z再复平面对应的点所在区域面积为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
3．（2024高二下·霞山期中）已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
4．（2024高二下·霞山期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，( )
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，由余弦定理：，
可得，解得，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
5．（2024高二下·霞山期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，所以是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，可得圆心到直线的距离为，列式求得b，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2024高二下·霞山期中）甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．60种 D．72种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先从5个景点选出2个相同的，有种，再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有种，
所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种.
故选：C.
【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合求得两人恰好有两个景区相同的选法总数.
7．（2024高二下·霞山期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【答案】C
【知识点】双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，则，，
所以点E的坐标为，所以直线的斜率，
因为双曲线C的渐近线斜率为，所以
所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．
故选：C.
【分析】结合双曲线的性质求出点E的坐标，进而求出直线OE的斜率，结合双曲线的渐近线性质，即可判断直线OE与双曲线的交点的个数.
8．（2024高二下·霞山期中）在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
而，
所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D．
【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.构建等比数列，利用等比数列的通项公式求出an，进而求出a15即可.
9．（2024高二下·霞山期中）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，则讲座前问卷答题的中位数为，故选项A正确；
B、讲座后问卷答题的正确率有4个85%，其余正确率的个数都小于4．所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，故选项B正确；
C、讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，故选项C正确；
D、讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，故选项D错误．
故选：ABC．
【分析】通过观察这张图，可知讲座前问卷答题的正确率的数据，结合中位数的定义即可判断选项A；根据讲座后问卷答题的数据可知其众数，即可判断选项B；从数据的离散程度进行判断即可判断选项C；结合数据根据极差的定义即可判断选项D.
10．（2024高二下·霞山期中）函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ）
A．
B．
C．的零点形成的集合为
D．的单调递减区间为
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、由已知可得最小正周期，又，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故选项B正确；
C、因为，令，则，即，
解得，故f(x)的零点形成的集合为，故选项C错误；
D、令，解得，
所以的单调递减区间为，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由相邻两个零点间的距离为，可知最小正周期，进而利用公式计算即可判断选项A；结合图像可知，即，再结合且在单调递增区间内即可求解判断选项B；令结合正弦函数性质即可求解判断选项C；根据正弦函数单调性令并求解即可判断选项D.
11．（2024高二下·霞山期中）定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、因为函数为定义在上的奇函数，所以，故A错误；
B、由，令，可得，
解得，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，因为，，
所以，所以，因为函数为奇函数，所以为偶函数，
所以，所以，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数为奇函数即可判断A；令求得即可判断B；令化简即可判断C；令代入化简，结合函数为奇函数可得为偶函数即可判断D.
12．（2024高二下·霞山期中）已知，，若，则 ．
【答案】1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得．
故答案为：1．
【分析】根据向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0列方程，解出x的值即可.
13．（2024高二下·霞山期中）小明喜爱踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率为.若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为.已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设小明在某个周末晚上去打羽毛球的概率为，下午去踢足球的概率为，
则，，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据条件概率公式求解即可.
14．（2024高二下·霞山期中）已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，由题意可知，
则或，解得，，
，
当时，解得，V单调递增；
当时，解得，V单调递减，所以.
故答案为：.
【分析】设正四棱锥的高为，底面边长为，用h表示正四棱锥的体积，求导利用导数判断其单调性求最值即可.
15．（2024高二下·霞山期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，，
令，解得或，
当时，或，当时，，
故函数的单调增区间为和，减区间为.
（2）解：由（1）得，在，上单调递增，在上单调递减，
由题意得，，，，
故，解得或，故实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）的结论，求得的最小值，问题转化为解不等式，求解即可.
16．（2024高二下·霞山期中）如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为，O为AB中点，所以，
又因为D为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以，
又因为正三角形ABC， O为AB的中点 ，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面．
（2）解：如图所示，取的中点为，连接，
易知，，
因为平面ABC，所以平面ABC，
又因为，所以OB，OC，两两垂直，
以O为原点，以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
则，，，
因为平面，所以可作为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则，令x=1，则，所以．
则平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先证，再通过证明平面，根据线面垂直的性质可得，根据线面垂直的判定定理即可证⊥平面；
(2)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得平面与平面夹角的余弦值 .
（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以，
在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，
又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，
又平面，故，因为，平面，故⊥平面．
（2）如图，取的中点为，连接，则，
则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直，
故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，．
由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量．
因，，则，，
设平面的法向量为，则，
故可取．
则平面与平面夹角的余弦值为．
17．（2024高二下·霞山期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜，打成平局和失败分别记分，m分和0分.比赛两局，已知在每局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2.各局的比赛结果相互独立.
（1）若，求A两局得分之和为5的概率；
（2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列.
【答案】（1）解：若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，
所以A两局得分之和为5的概率为.
（2）因为在一局比赛中A获胜，打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3，0.5，
若，则X的可能取值为0，3，6，9，12，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 3 6 9 12
P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【分析】（1），由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，由此求A两局得分之和为5的概率即可；
（2）在一局比赛中B获胜，打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3，0.5，时，X的可能取值为0，3，6，9，12，分别求出相应的概率，再求分布列即可.
18．（2024高二下·霞山期中）已知抛物线C的方程为，直线与C交于A，B两点，且.
（1）求p；
（2）设C的焦点为F，直线与C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过F，当时，求点F到l距离的取值范围.
【答案】（1）解：因为直线与C交于A，B两点，且，所以，所以.
（2）解：由已知得，，设，，
由可得，，
所以，，，
因为以MN为直径的圆经过F，所以，所以，
即，
所以，
将，代入得，.
所以，且，解得或，
因为，所以，
设点F到直线MN的距离为d，
所以，
令，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，可知，结合题意即可求p；
（2）设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得，，将问题转化为，即，结合求出n的取值范围，再根据点到直线的距离公式求得，利用换元法求解即可.
19．（2024高二下·霞山期中）设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）把用表示．
【答案】（1）证明：由题意可知，，
因为，所以，所以，
又因为是正偶数，所以．
（2）证明：设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
，，所以，可得，
又，，都为正偶数，
所以，即，
因为，所以，即．
（3）解：设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）将公比用a，b表示出来，再结合a，b，c构成单调递增的正项等差数列，可知，进而可证明 ；
（2）设等差数列 的公差为，进而推导出， 从而， 再由， 能证明；
（3）设 个数所构成的等比数列为， 则， 由， 可 得 ：，， 由 都为正奇数， 则 既可为正数， 也可为负数， 分q为正数和负数两种情况讨论其插入的s+t个数的乘积即可.
（1）由题意知，又，可得，
所以，又是正偶数，所以．
（2）设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
又，，故，
可得，又，又，都为正偶数，
故，即，
又由（1）的结论得，，故有，即．
（3）设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
