4.2 分层随机抽样的均值与方差
课标要求 1.理解分层随机抽样的平均数与方差公式的推导过程,会求分层随机抽样的平均数与方差. 2.会用分层随机抽样的平均数与方差解决实际问题.
【引入】 在分层随机抽样问题中,如果知道样本中的每一个数据,就可以计算出样本的平均数和方差. 但是,如果不知道样本中的每一个数据,只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差,以及各层所占的比例,那么能不能计算出样本的平均数和方差呢 本节我们就一起来学习如何计算分层随机抽样的平均数和方差.
一、分层随机抽样的平均数
探究1 在甲省和乙省各取面积大小一样的A,B两块区域,分别调查人均可支配收入,获得数据显示,甲省的A区域的人均可支配收入为35 537元,乙省的B区域的人均可支配收入为24 542元.能否得到这两个区域的人均可支配收入为=30 039.5(元) 这样计算平均数的方法是否合理
探究2 对于探究1中问题,假设甲省A区域人口数为n1,乙省B区域人口数为n2,则两区域的人均可支配收入如何计算 各自的人口数有何影响
【知识梳理】
1.分层随机抽样的平均数
一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为=·+·.
于是,当已知上述两层构成的样本中每层的平均数分别为和时,可得这个新样本的平均数为 .
记w1=,w2=,则这个新样本的平均数为 ,其中w1,w2称为权重.
2.更一般地,设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为 .为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wn= .
温馨提示 求分层随机抽样的平均数的步骤为:(1)求样本中不同层的平均数;(2)应用分层随机抽样的平均数公式计算.
例1 (链接教材P172例5)甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A,B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%,而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息,由以上所给条件,能否得到这家餐馆的总好评率
思维升华 分层随机抽样的平均数的计算方法
(1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi,样本容量n,三者满足wi=,已知其中2个可求另外1个.
(2)在利用公式=w1+w2+…+wn求分层随机抽样的平均数时,要清楚公式中各符号的含义,避免代入数据时出现失误,同时要仔细运算.
训练1 某公益组织在某社区调查年龄在[20,50]内的居民熬夜时间,得到如下表格:
年龄区间 居民人数(单位:百人) 所占比例 平均熬夜时长(单位:h)
[20,30) 3.6 30% 4
[30,40) 6 b 2
[40,50] a c 1
其中有三项数据由于污损用a,b,c代替,试求该社区所调查居民的平均熬夜时长.
二、分层随机抽样的方差
探究3 甲、乙两排参加了同一军事测试,其中甲排50人,乙排40人.甲排的平均成绩为80.5分,方差为500;乙排的平均成绩为85分,方差为360.如何计算甲、乙两排全部90名战士的方差
【知识梳理】
设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2= ,其中为这个样本的平均数.
温馨提示 w1+w2+…+wn=1.
例2 (链接教材P173例6)甲、乙两班参加了同一考试,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分,方差为500;乙班的平均成绩为85分,方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少 (结果保留两位小数)
思维升华 求分层随机抽样的方差的步骤为:
(1)求样本中不同层的平均数;(2)求样本中不同层的方差;(3)求各层权重;(4)代入分层随机抽样的方差公式求解.
训练2 某工厂为了解每个工人对某零件的日加工量,统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10,样本平均数为5,方差为1;乙的一个样本容量为12,样本平均数为6,方差为2.现将这两组样本合在一起,求合在一起后的样本的平均数与方差.(结果保留两位小数)
三、分层随机抽样的均值与方差的综合应用
例3 某学校有高中学生500人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为173.5,方差为17,女生样本的均值为163.83,方差为30.03.
(1)根据以上信息,能够计算出总样本的均值和方差吗 为什么
(2)如果已知其中男生320人,女生180人,若男、女样本量按比例分配,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗
(3)如果已知其中男生320人,女生180人,若男、女的样本量都是25,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗 它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗 为什么
思维升华 利用样本中不同层的平均数与方差,可以计算这个样本的平均数与方差,所得结果与直接计算所得的平均数与方差相同.
训练3 某校高一年级的学生有500人,其中男生300人,女生200人.为了解该校高一年级学生的体重情况, 采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本,计算得女生样本的平均数为=58(单位:kg),方差为=16,男生样本的平均数为=63(单位:kg),方差为=21.
(1)计算总样本的平均数;
(2)计算总样本的方差s2;
(3)估计该校高一年级全体学生体重的平均数和方差.
【课堂达标】
1.某单位共有员工100人,其中有年轻人20人,平均年薪为5万元,中年人有80人,平均年薪为8万元,则该单位员工的平均年薪为( )
A.5万元 B.8万元
C.6.5万元 D.7.4万元
2.高三(1)班男、女同学人数之比为3∶2,班级所有同学进行踢毽球(毽子)比赛,比赛规则是:每个同学用脚踢起毽球,落地前用脚接住并踢起,脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地,脚踢到毽球的次数,已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为17,方差为11,女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12,方差为16,那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为( )
A.14.5,13.5 B.15,13
C.13.5,19 D.15,19
3.利用分层随机抽样抽得A,B两组数据,其平均数分别是=2.3,=2.8,若这两组数据的平均数=2.4,则A组数据在两组数据中的权重wA= .
4.已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,某年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米,方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房价的方差为 .
4.2 分层随机抽样的均值与方差
探究1 提示 不能.假设甲省A区域有人口10万，乙省B区域有人口2万，则人均可支配收入为＝33 704.5(元)，显然两区域的人均可支配收入还与A，B两区域各自的人口数有关，故不合理.
探究2 提示 ＝×35 537＋×24 542，各自人口数的占比影响了两区域的人均可支配收入.
知识梳理
1.1＋2 w11＋w22
2.w11＋w22＋…＋wnn wii
例1 解 好评率是由好评人数除以总评价人数得到的，98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98人给了好评.
设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.
由题目条件，＝98%，＝85%.
综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为， 化简得
＝0.98·＋0.85·.
其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和.
所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则不能求出总好评率.
训练1 解 由表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为b＝6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为c＝1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h).
探究3 提示 先分别求出甲、乙两排的权重w甲与w乙，然后利用公式＝w甲甲＋w乙乙，
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]计算.
知识梳理
wi[s＋(i－)2]
例2 解 甲班的平均成绩、权重和方差分别为
甲＝80.5(分)，w甲＝，s＝500.
乙班的平均成绩、权重和方差分别为
乙＝85(分)，w乙＝，s＝360.
全部90名学生的平均成绩为
＝w甲甲＋w乙乙
＝×80.5＋×85＝82.5(分).
而全部90名学生的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[500＋(80.5－82.5)2]＋×[360＋(85－82.5)2]
＝
≈442.78.
训练2 解 由题意知样本甲的平均数甲＝5，
方差s＝1，样本乙的平均数乙＝6，
方差s＝2，
则合在一起后的样本容量为22，
w甲＝，w乙＝，
样本平均数
＝w甲甲＋w乙乙＝×5＋×6≈5.55，
样本方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]
＝[1＋(5－5.55)2]＋[2＋(6－5.55)2]
≈1.79.
例3 解 (1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，无法计算出各自权重，故不能得到总样本的均值和方差.
(2)总样本的均值为
×173.5＋×163.83≈170.02(cm).
总样本的方差为×[17＋(173.5－170.02)2]＋×[30.03＋(163.83－170.02)2]≈43.24.
(3)总样本的均值为
×173.5＋×163.83≈168.67(cm).
总样本的方差为×[17＋(173.5－168.67)2]＋×[30.03＋(163.83－168.67)2]≈46.89.
不能作为总体均值和方差的估计，因为分层随机抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差.
训练3 解 (1)由题意知，w男＝，w女＝，
则＝w女＋w男＝×58＋×63＝61.
(2)s2＝w女[s＋(－)2]＋w男[s＋(－)2]＝×(16＋9)＋×(21＋4)＝25.
(3)由(1)(2)可估计该校高一年级全体学生体重的平均数为61 kg，方差为25.
课堂达标
1.D [由题意可知＝×5＋×8＝7.4(万元).]
2.D [由题意，男同学所占权重为，女同学所占权重为，则全班的平均数为×17＋×12＝15，
方差为×[11＋(17－15)2]＋×[16＋(12－15)2]＝19.故选D.]
3. [由＝wAA＋wBB，可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA)×2.8，解得wA＝.]
4.118.52 [设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.8－1.2)2]＋[8＋(0.8－1.2)2]，
解得s2＝118.52，
即二线城市的房价的方差为118.52.](共66张PPT)
第六章 §4 用样本估计总体的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
课标要求
1.理解分层随机抽样的平均数与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的平均数与方差.
2.会用分层随机抽样的平均数与方差解决实际问题.
在分层随机抽样问题中，如果知道样本中的每一个数据，就可以计算出样本的平均数和方差. 但是，如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例，那么能不能计算出样本的平均数和方差呢？本节我们就一起来学习如何计算分层随机抽样的平均数和方差.
引入
课时精练
一、分层随机抽样的平均数
二、分层随机抽样的方差
三、分层随机抽样的均值与方差的综合应用
课堂达标
内容索引
分层随机抽样的平均数
一
探究2 对于探究1中问题，假设甲省A区域人口数为n1，乙省B区域人口数为n2，则两区域的人均可支配收入如何计算？各自的人口数有何影响？
知识梳理
温馨提示
求分层随机抽样的平均数的步骤为：(1)求样本中不同层的平均数；(2)应用分层随机抽样的平均数公式计算.
例1
(链接教材P172例5)甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，由以上所给条件，能否得到这家餐馆的总好评率？
好评率是由好评人数除以总评价人数得到的，98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98人给了好评.
思维升华
某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：
训练1
年龄区间 居民人数(单位：百人) 所占比例 平均熬夜时长(单位：h)
[20，30) 3.6 30% 4
[30，40) 6 b 2
[40，50] a c 1
其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长.
分层随机抽样的方差
二
探究3 甲、乙两排参加了同一军事测试，其中甲排50人，乙排40人.甲排的平均成绩为80.5分，方差为500；乙排的平均成绩为85分，方差为360.如何计算甲、乙两排全部90名战士的方差？
知识梳理
温馨提示
w1＋w2＋…＋wn＝1.
例2
(链接教材P173例6)甲、乙两班参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？
(结果保留两位小数)
思维升华
求分层随机抽样的方差的步骤为：
(1)求样本中不同层的平均数；(2)求样本中不同层的方差；(3)求各层权重；(4)代入分层随机抽样的方差公式求解.
某工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差.
训练2
(结果保留两位小数)
则合在一起后的样本容量为22，
≈1.79.
分层随机抽样的均值与方差的综合应用
三
例3
某学校有高中学生500人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，无法计算出各自权重， 故不能得到总样本的均值和方差.
(2)如果已知其中男生320人，女生180人，若男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？
(3)如果已知其中男生320人，女生180人，若男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
思维升华
利用样本中不同层的平均数与方差，可以计算这个样本的平均数与方差，所得结果与直接计算所得的平均数与方差相同.
训练3
【课堂达标】
1.某单位共有员工100人，其中有年轻人20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为
A.5万元 B.8万元 C.6.5万元 D.7.4万元
√
√
2.高三(1)班男、女同学人数之比为3∶2，班级所有同学进行踢毽球(毽子)比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为17，方差为11，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为16，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为
A.14.5，13.5 B.15，13
C.13.5，19 D.15，19
4.已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，某年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________.
118.52
【课时精练】
√
1.有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为
A.18元/千克 B.24元/千克 C.21元/千克 D.22元/千克
√
√
3.某班为了了解该班学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：
学生数 平均支出(元) 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为
A.10 B.11.2
C.23 D.11.5
√
4.(多选)某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取80名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，方差为2.1；抽取70名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，方差为3，则
A.该校高一学生的平均身高约为166.4
B.该校高一学生的平均身高约为168.2
C.该校高一学生身高的方差约为2.5
D.该校高一学生身高的方差约为19.3
√
√
5.一班有学生有54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87，一班学生得分的平均数是80，二班学生得分的平均数是96，则二班的学生人数为
A.54 B.42 C.48 D.56
6.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶3∶4，用分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取160件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的160件产品的使用寿命的平均值为________.
1 021 h
7.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一抽取的样本容量为________；高一和高二数学竞赛的平均分约为________分. （保留1位小数）
90
84.4
8.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
2.6
9.甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
10.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如表所示：
(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些.
√
√
3
13.某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池，A，B生产线的产量比为4∶5.现采用分层随机抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 16 215 8
B生产线产品 20 212 13
≈4.791＋8.209＝13.
故总体的方差为13.
14.某地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3∶2∶1，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是________.
12
甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3∶2∶1，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数为8，课时精练54 分层随机抽样的均值与方差
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.有两种糖块,A种糖块18元/千克,B种糖块24元/千克,超市计划把A,B两种糖块按照1∶2的比例混合出售,则合理的价格应为( )
18元/千克 24元/千克
21元/千克 22元/千克
2.若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8,12,若这两组数据的平均数是10,则这两组数据的权重比值为( )
1 2
3.某班为了了解该班学生每周购买零食的支出情况,利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下:
学生数 平均支出(元) 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为( )
10 11.2 23 11.5
4.(多选)某学校高一年级在校人数为600人,其中男生320人,女生280人,为了解学生身高发展情况,按分层随机抽样的方法抽取80名男生身高为一个样本,其样本平均数为170.2 cm,方差为2.1;抽取70名女生身高为一个样本,其样本平均数为162.0 cm,方差为3,则( )
该校高一学生的平均身高约为166.4
该校高一学生的平均身高约为168.2
该校高一学生身高的方差约为2.5
该校高一学生身高的方差约为19.3
5.一班有学生有54人,二班学生人数未知,现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛,赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87,一班学生得分的平均数是80,二班学生得分的平均数是96,则二班的学生人数为( )
54 42 48 56
6.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶3∶4,用分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取160件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的160件产品的使用寿命的平均值为 .
7.高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本,得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分,则高一抽取的样本容量为 ;高一和高二数学竞赛的平均分约为 分.(保留1位小数)
8.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中=,则两个班数学成绩的方差为 .
9.(13分)甲、乙两支田径队体检结果为:甲队体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300,又已知甲、乙两队队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少
10.(13分)在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如表所示:
分数(分) 50 60 70 80 90 100
人数(人) 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经计算得知两个组成绩的平均数都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,说明理由.
二、综合运用
11.(多选)已知采用分层随机抽样得到的样本数据由两部分组成,第一部分样本数据xi(i=1,2,…,m)的平均数为,方差为;第二部分样本数据yi(i=1,2,…,n)的平均数为,方差为,设≤,≤,则以下命题正确的是( )
设总样本的平均数为,则≤≤
设总样本的平均数为,则≥·
设总样本的方差为s2,则≤s2≤
若m=n,=,则s2=
12.某学校共有学生2 000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为=3小时,方差为s2=2.003,其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均数分别为=2.6小时,=3.2小时,=3.3小时,又已知高一、高二年级学生每天读书时间的方差分别为=1,=2,则高三学生每天读书时间的方差= .
13.(17分)某电池厂有A,B两条生产线制造同一型号可充电电池,A,B生产线的产量比为4∶5.现采用分层随机抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本,并测量产品可充电次数的均值及方差,结果如下:
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 16 215 8
B生产线产品 20 212 13
试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差,并估计总体方差.
三、创新拓展
14.某地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3∶2∶1,三所学校共有数学强基学生48人,在一次统一考试中,所有学生的成绩平均分为117,方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114,方差分别为15和21,则丙学校的学生成绩的方差是 .
课时精练54 分层随机抽样的均值与方差
1.D [＝×18＋×24＝22元/千克.]
2.B [设两组数据的权重分别为w1，w2，由w1×8＋w2×12＝10，又w1＋w2＝1，可解得w1＝w2＝，所以这两组数据的权重比值为1.]
3.B [全班学生每周购买零食的平均支出为
＝×(9×40＋6×35)＝38(元)，
方差s2＝×[6＋(40－38)2]＋×[4＋(35－38)2]＝11.2，故选B.]
4.AD [设样本中男、女的平均数分别为，，
由题意可知，＝170.2，＝162.0且M＝320，N＝280，
所以样本平均数＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)，
样本方差s2＝×[2.1＋(170.2－166.4)2]＋×[3＋(162.0－166.4)2]≈19.3，
故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm，方差约为19.3.]
5.B [由题意，设一班学生在16名学生的权重为w1，则80w1＋96(1－w1)＝87，解得w1＝，
则二班学生在16名学生的权重为1－＝，
故二班学生的人数为54×＝42.]
6.1 021 h [依题意，平均数为980×＋1 020×＋1 032×＝1 021(h).]
7.90 84.4 [由题意可得高一年级抽取的样本容量为×160＝90，高二年级抽取的样本容量为×160＝70.
高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90≈84.4(分).]
8.2.6 [由题意可知两个班的数学成绩的平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.]
9.解 由题意知甲＝60，甲队所占权重为w甲＝，
乙＝70，乙队所占权重为
w乙＝.
∴甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg).
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296.
10.解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些.
(2)s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
因为s＜s，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一些角度来看，乙组的成绩较好.
11.AD [对于A选项，因为≤，
所以＝＋≤＋＝，
＝＋≥＋＝，
即≤≤，A正确；
对于B选项，取第一部分数据为1，1，1，1，1，则＝1，s＝0；取第二部分数据为－3，9，则＝3，s＝36，则2＝＝<3＝·，B不正确；
对于C选项，取第一部分数据为－2，－1，0，1，2，则＝0，s＝2；
取第二部分数据为1，2，3，4，5，则＝3，s＝2，
则＝＋＝×0＋×3＝，
s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]＝×＋×＝>2＝s，C不正确；
对于D选项，若m＝n，＝，则＝＝，
s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]＝eq \f(s＋s,2)，D正确.故选AD.]
12.3 [∵s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2]＋w3[s＋(3－)2]，
∴2.003＝0.4×[1＋(2.6－3)2]＋0.3×[2＋(3.2－3)2]＋0.3×[s＋(3.3－3)2]，
∴0.3×(s＋0.09)＝0.927，解得s＝3.]
13.解 设A生产线产品可充电次数为xi，i＝1，2，3，…，16，其均值＝215，方差s＝8，权重wx＝；设B生产线产品可充电次数为yi，i＝1，2，3，…，20，其均值＝212，方差s＝13，权重wy＝.
设A与B总共这36个产品可充电次数为zi，i＝1，2，3，…，36，其均值为，其方差为s，
则＝wx＋wy＝＝.
s＝wx[s＋(－)2]＋wy[s＋(－)2]
＝×＋×
≈4.791＋8.209＝13.
故总体的方差为13.
14.12 [甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3∶2∶1，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数为8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为＝118，方差记为s＝15；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为＝114，方差记为s＝21；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为s；
把所有学生的平均分记为＝117，方差记为s2＝21.5.
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得＝＋＋，即
117＝×118＋×114＋，解得＝120，
因此s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]，
即21.5＝×[15＋(118－117)2]＋×[21＋(114－117)2]＋×[s＋(120－117)2]，
解得s＝12.]
