2025 年 1 月辽宁省普通高中学业水平合格性考试
数学试卷参考答案
第 Ⅰ 卷 选择题（共 36分）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. A
7. A 8. B 9. A 10. D 11. C 12. D
第 Ⅱ 卷 非选择题（共 64分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分.要求直接写出答案，不必写出计算过
程或推证过程.
5
13. 9； 14. 6； 15. 2x+3； 16. 2, .
2
三、解答题：本大题共 5小题，共 52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分 10 分）
（1）由题意 B(3,2)， C (4,6)，
∴ BC = (1, 4)，又由 BC = AD ，
∴ D(8,5) .
AB = ( 4,1)，∴ AB+ AD = ( 4,1) + (1,4)= ( 3,5) ，
∴ 2 2AB + AD = ( 3) + (5) = 34 .
（2） AC = ( 3,5)， AD = (1,4) ，
∴ AC·AD = 3 1+5 4 =17 .
18. （本小题满分 10 分） S
（1）∵P、Q 为 SB、SC 的中点，
∴PQ 为 SBC 的中位线，
∴PQ∥BC.
Q
又 ∵BC∥AD，根据平行公理， P
∴PQ∥AD. A D
PQ AD
AD 平面ADS PQ∥平面ADS . B C
PQ 平面ADS
（2）根据平面几何知识，可知
1 1
SABCD = (AB +DC) h = (2+ 4) 3 = 3 3 .
2 2
1 1
∴VS-ABCD= Sh'= 3 3 4 = 4 3 .
3 3
19. （本小题满分 10 分）
（1）根据正弦定理
a b
=
sin A sin B
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联系 a = 2bcos B 与二倍角公式可以得到：
sin A = 2sin Bcos B = sin 2B ，
∴根据诱导公式，可以得到 A=2B 或 A= 2B ，
∵ A+ B+C = ，且 B≠C，
∴A= 2B 舍去，即 A=2B 成立.
（2）∵C= ，∴A= ，B= ，
2 3 6
又 a= 3 ，∴根据正弦定理可得：b=1.
1 3
∴S= absin C = .
2 2
20. （本小题满分 10 分）
（1） 该同学在甲组，原因如下：
甲组数据从小到大的排列为：
3 4 5 6 6 6 8 10
一共 8 位数字，其 80％分位数为：
8×80％=6.4≈7（位）
第 7 位数字为 8，满足该同学的描述.
（2） 方差的公式为：
n 2
1
s2 = (xi x)
n
i=1
甲组数据为：
3 4 5 6 6 6 8 10
其中甲组的平均数为：
3+ 4+5+6+6+6+8+10
x甲 = = 6
8
代入公式得：
2 1 2 2 2 2 2s 甲 = (6 3) + (6 4) + (6 5) + (6 8) + (6 10)
= 4.25 ；
8
乙组数据为：
1 4 7 7 8 9 10 10
其中乙组的平均数为：
1+ 4+ 7+ 7+8+9+10+10
x乙 = = 7
8
代入公式得：
2 1 2 2 2 2 2 2s 乙 = (7 1) + (7 4) + (7 8) + (7 9) + (7 10) + (7 10)
= 8.5
8
甲组众数：6，乙组众数：7 或 10.
21. （本小题满分 12 分）
（1） 由题意知， f (x) = log2x 与 g (x)互为反函数.
将 x 替换为 y，y 替换为 x 得：
x = log2 y ，
即 y = 2x .
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（2） 对于 G (x) = g2 (x) 2g (x)+ 2 ，将 G(x)看作关于 g(x)的二次函数.
设 g(x)=t，则 G(t)=t2 2t+2，
而对于 g(x)=2x，∵x＞0，∴ t (1,+ ) .
对于 G(t)=t2 2t+2，在 ( ,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增.
∴ G(x) (1,+ ) .
（3） ∵ x1 1,+ )， x2 R ，使得 F (x1 ) G(x2 )恒成立，
∴ F ( x) G (x) .
min min
即 log (x22 ax +1) 1 ，
1
得： x2 ax 1 0 ，参变分离得： a x .
x
1
∵ h(x) = x 在 (1,+ )上单调递增，
x
∴h(x)min=h(1)=0.
∴a≤0.
【编者声明】：本答案由大连育明高级中学应届高二考生做捞纸帘的小朱整理，转载注明出处。
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数学试卷
（本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码粘贴在答
题卡规定的位置。
2. 答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。本试卷由大连育明高级中学高二应届考生
做捞纸帘的小朱整理，转载注明出处。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号，涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第 Ⅰ 卷 选择题（共 36分）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A = x x ＜3 ，集合 B = x x2＜4 ，则 A B =
A. ( 2,2) B. ( 3,3) C. ( 3,2) D. ( 2,3)
复数 22. z = (1+ i) 的虚部是
A. 2i B. 2i C. 2 D. 2
3. 已知命题 p： x 0,+ ) , x3 x 2＞0 ，则 p 是
3
A. x 0,+ ) , x x 2＞0 B. x 0,+ ) , x3 x 2 0
C. x ( ,0 , x3 x 2＞0 D. x ( ,0 , x3 x 2 0
1
4. 已知 2sin 2 = ，则 (sin + cos ) 的值是
3
4 5 7 8
A. B. C. D.
3 3 3 3
5. 某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任
意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度 y 与时间 t（t=t0
时刻恰好倒满）的函数图象大致是
y y y y
h
O t t0 O t0 t O t0 t O t0 t
A B C D 第 5 题图
数学试卷 第 1 页（共 4 页）
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6. 在配平化学方程式的过程中，可利用方程式两边同种原子数目相等建立等式关系.
x = z
如对于 xCu+yO 高温2 z CuO，可建立关系式： ，则对于 xFe+yH2O(g) →
2y = z
Fe3O4+tO2 建立关系式正确的是
x = 3z x = 3z x = z x = z
A. B. C. D.
y = 2t = 4z y = t = 4z y = 2t = 2z y = t = 2z
7. 已知 l，m，n 是空间中三条不同的直线， 是空间中某平面，下列命题正确的是
A. 若 l⊥m，m∥n，则 l⊥n B. 若 l∥ ，m⊥l，则 m⊥
C. 若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n D. 若 l∥m，m ，则 l∥
8. 已知向量 a 与向量 b 不共线，且向量 m 与向量 n 不共线，m=5a+xb，n=ya+3b，则
xy=
A. 5 B. 15 C. 40 D. 60
1
9. 已知函数 f (x) = cos 2x ，函数 g (x)可看作 f ( x) 向左平移 个单位得到， g =
2 6 12
1 3 1
A. 0 B. C. D.
4 4 2
10. 2025 年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，
规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为 0.4，不中奖的
概率为 0.6.现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中
恰有一张中奖的概率为
A. 0.16 B. 0.24 C. 0.36 D. 0.48
11. 我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”
“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底 S
面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三
角面与底面垂直的四棱锥体.在“阳马”S-ABCD 中，SA⊥ E H
平面 ABCD，E、F、G、H 分别为 SA、SB、SC、SD 的中
F
点，M、N、P、Q 分别为 AB、BC、CD、AD 的中点，PN 和 G N
A D
LQ 交于 M，平面 EFGH、平面 FGML、平面 GHNM 将阳
L M
马 S-ABCD 分割成一个“仓”，2 个“堑堵”和 2 个小“阳马”， Q
那么分割后 2 个小“阳马”的体积和与“阳马”S-ABCD 体 B P C
积的比值为 第 11 题图
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 6 4 2
x
12. 已知函数 f (x) = 4 + log2x ，x0 为 f(x)的根，下列说法正确的是
1 1 1
A. x0 0, B. x0 ,
8 8 4
C. f (x)＞0 的解集为 (0, x0 ) D. f (x)＞0 的解集为 (x0 ,+ )
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第 Ⅱ 卷 非选择题（共 64分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分.要求直接写出答案，不必写出计
算过程或推证过程.
13. 进到太空能力有多大，航天舞台就有多大.1970 年我国发射的长征一号火箭的运载
能力仅有 0.3 吨，“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到
25 吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平 .目前正在研究计划 2027 年发射长
征十号火箭，预计运载能力为 70 吨.假设某发射中心储备的 A、B、C 三种新型运
载火箭零部件的数量比为 3：5：8，用分层抽样的方法抽取 48 个，则抽取 A 的数
量为 .
14. 计算： log 32 2 + log28= .
15. 已知 f ( x) 为定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时， f ( x) =2x 3；当 x＜0 时， f ( x) =
.
4 2a
16．已知函数 f (x) = +1 在 (1,+ )上有两个零点，则 a 的取值范围是 .
x2 x
三、解答题：本大题共 5小题，共 52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. （本小题满分 10 分）
已知 A(7,1)， B(3,2)， C (4,6)， BC = AD .
（1） 求点 D 的坐标和 AB + AD ；
（2） 求 AC·AD .
18．（本小题满分 10 分）
在 四 棱 锥 S-ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 为 等 腰 梯 形 ， AD∥ BC， AB=CD=2 ，
SA=BC=2AD=4，P、Q 为 SB、SC 的中点.
（1） 求证：PQ∥平面 SAD；
（2） 求四棱锥 S-ABCD 的体积.
S
P Q
A D
B
C
第 18 题图
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19. （本小题满分 10 分）
在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a=2bcos B，B≠C.
（1） 求证：A=2B；
（2） 若 C= ，a= 3 ，求 ABC 的面积.
2
20. （本小题满分 10 分）
社会十分关注青少年的身体素质情况 .某学校进行了身体素质情况测试，满分 10 分，
已知得分均为正整数.这次身体素质情况测试中甲、乙两组学生成绩得分如下：
成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲组人数 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1
乙组人数 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2
（1） 某同学说：“在这次身体素质情况测试中，我得了 8 分，也是我们组得分的
80％分位数.”根据以上信息，判断该同学位于哪组并结合数据说明理由；
（2） 数据的数学特征能反映特点信息，例如方差能够反映数据的波动，众数能
够反映一组数据的集中情况，因此，多个数学特征计算与全面分析更有参
考价值.请分别计算甲、乙两组的众数与方差 .
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = log2x 的图象与函数 g (x)的图象关于直线 y=x 对称.
（1） 求函数 g (x)的解析式；
（2） 若 G (x) = g2 (x) 2g (x)+ 2 ， F (x) = f (x2 ax +1) .
（i） 求 G(x)的值域；
（ii） 若对于 x1 1,+ )， x2 R ，使得 F (x1 ) G(x2 )恒成立，求所有满足
条件的 a 的取值范围.
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