莆田第二十五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学
一、单选题
1．
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
3．已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直角中，是斜边，，则的值是（ ）
A．27 B．1 C．9 D．
7．设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在等腰梯形中，已知，，是的中点，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线
B．若，则
C．为非零向量且，则
D．为任意向量且，则
11．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．方程在上有5个根
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
三、填空题
12．已知向量与满足，且，则与的夹角等于 ．
13．已知，，，且，则的值为 .
14．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为 .
四、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知向量，，且．
(1)若向量与互相垂直，求的值．
(2)若向量与互相平行，求的值．
17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
18．已知.
(1)若，且，求的值；
(2)设，，若方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
19．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标；
(2)记向量的相伴函数为.
（I）当且时，求的值；
（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D D D D A ACD ABD
题号 11
答案 ABD
1．A
详解：由诱导公式可得，，，故选A.
2．B
先把向量和相加得到向量的坐标，再利用向量的坐标算出向量的模长．
【详解】， ．
故选：B．
3．C
根据投影向量的公式计算即可.
【详解】．
故选：C.
4．D
由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解.
【详解】由，得,
故，
故选：D
5．D
根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】.
故选：D.
6．D
由可得，由向量平面数量积的坐标表示，列方程求解即可.
【详解】因为直角中，是斜边， ，
可得，则有，即，解得，
故选：D.
7．D
根据已知求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出点的坐标．
【详解】解：，，∴，
点在直线上，且，
∴，或，
故，或，
故点坐标为或，
故选：D．
8．A
根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、即可.
【详解】根据题意，，，是的中点，，画出梯形如下图所示：
所以
，
则，又，、不共线，
所以，所以.
故选：A
9．ACD
逐项判断向量是否共线即可得解.
【详解】因为共线，故不能做基底，故A正确；
因为，所以不共线，可作基底，故B错误；
因为，所以，即共线，故不能作基底，故C正确；
因为，所以，即共线，故不能作基底，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
根据基底的概念判断A，根据向量的数量积化简运算判断B，根据向量垂直的关系由特例法判断C，根据向量相等及数量积的概念判断D.
【详解】对于A，根据基底的定义知，向量与向量能作为平面向量的一组基底，则与不共线正确；
对于B，，，化简可得，故正确；
对于C，满足，不能推出，例如向量都与垂直时等式成立，但不一定相等，故错误；
对于D，因为，所以成立，故正确.
故选：ABD
11．ABD
根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，判断A选项；求出及，结合及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根；C选项，求出，代入检验得到图象不关于直线对称；当时，，得到的单调性.
【详解】
，
由图象可知：，
所以，解得：，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时，所以最小正周期为，A正确；
，
则，即，
因为，所以，
画出在的图象，如下：
函数图象与有5个交点，故方程在上有5个根，B正确；
函数，当时，，所以的图象关于直线不对称，C错误；
，当时，，
故函数在上单调递减，D正确.
故选：ABD
12．/
直接用数量积的定义求夹角即可.
【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；
故答案为： .
13．
根据给定条件，利用和角的正弦公式求解作答.
【详解】由，，得，
由，知，又，则，
所以，
所以.
故答案为：
14．
作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征求出，根据的定义，即可求出的最大值.
【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，，
作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，，
设与所成的角为，则，
所以，
由的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)
根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
16．(1)
(2)
（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【详解】（1），，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
（2）由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在实数使得，即，
又因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
若，，则.
（3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，
设，则，由（2）得，
所以，解得，
所以.
18．(1)0；
(2).
【详解】（1）∵，∴，
即，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2）∵，
当时， ,
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，
故方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是.
19．(1)
(2)（I） （II）
【详解】（1），
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
（2）由题可知：向量的相伴函数.
（I），，即.
，，.
；
（II）当时，不等式可化为，即恒成立.
，.
当，即时，，恒成立，.
，，；
当，即时，，，不等式恒成立；
当，即时，，恒成立，.
，，.
综上，实数的取值范围为..
