（4）等比数列的概念——高考数学二轮复习
1.已知等比数列的前n项和为，且，其中.若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则( )
A.2 B.3 C. D.
2.若数列和满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.等比数列中，，，则等于( )
A.256 B. C.128 D.
4.记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.6 B.8 C.9 D.12
5.已知正项等比数列的前3项和为21，且，则( )
A. B.2 C.6 D.4
6.已知正项等比数列满足，则取最大值时n的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.在各项均为正数的等比数列中，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.在等比数列中，，，则( )
A. B. C.32 D.64
9.（多选）已知为等差数列的前n项和，且，，则下列结论正确的有( )
A. B.为递减数列
C.是和的等比中项 D.的最小值为
10.（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
11.（多选）已知等比数列中，，，则( )
A.公比为 B.
C.当时， D.的前10项积为1
12.（多选）在等比数列中，，，则( )
A.的公比为 B.的公比为2
C. D.数列为递增数列
13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且.则______.
14.在正项等比数列中，若，____________.
15.已知等比数列为递增数列，且，，则__________．
16.已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
17.已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求使取得最大值时的n的值.
18.已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以当时，，两式相减得，
即，所以公比为2，，又当时，，得，
所以等比数列的通项公式为，，所以，，公差为.故选：B.
2.答案：A
解析：，，，即，是以2为首项，2为公比的等比数列，，又，，，.故选A.
3.答案：A
解析：设等比数列的公比为，，，，，故选：A.
4.答案：C
解析：设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得，，所以.故选：C
5.答案：C
解析：由题意知，正项等比数列的前3项和为21，且，
则，解得.故选：C.
6.答案：B
解析：设等比数列的公比为，有，由函数单调递增，且，可得.有，，由数列单调递减，所以取得最大值时n的值为9，故选：B.
7.答案：C
解析：因为数列为等比数列，且，所以，所以.故选：C
8.答案：C
解析：设等比数列的公比为q，则，即，解得，所以.故选：C.
9.答案：ACD
解析：因为等差数列中，因为，所以，，A正确，B错误；又，C正确；
，当或时，取最小值-9，D正确.故选：ACD.
10.答案：BD
解析：依题，，解得，故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.
11.答案：ABD
解析：对于A项，设等比数列的公比为，由，得，解得，故A正确；
对于B项，，则，故B正确；
对于C项，，当时，，则，故C错误；
对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确.故选：ABD.
12.答案：BC
解析：设等比数列的公比为q，依题意得解得所以
故，故BC正确，A错误；对于D，，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.
13.答案：
解析：因为数列是等差数列，且，所以即因为数列是等比数列，且，所以，即，所以.故答案为：.
14.答案：5
解析：正项等比数列中，，
，解得，舍去负值，所以.
故答案为：5
15.答案：2
解析：因为递增的等比数列中，，，且，
可知和是一元二次方程的两个根，且，解得，，可得，所以故答案为：2.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）设公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，解得或（舍去），
所以.
（2）根据题意得
.
17.答案：（1）；
（2）或时，的取得最大值.
解析：（1）由，可得：，
两式相减得：，
即，，
又因为且，所以，所以，
综上，，，
所以为首项和公比均为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，
时，由，可得；
由，可得.
即，
又，，，
即，
综上，或时，的取得最大值.
18.答案：(1)证明见解析，
(2)12
解析：(1)因为，所以，
又，
所以数列是以-2为首项，为公比的等比数列；
所以，所以；
(2)由(1)知
记，则，
所以单调递增，
当时，，不符合；
当时，，
所以n的最大值为12.
