叙永一中2025年春期2024级第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.
1．已知集合，1，2，，，则
A．， B．， C．， D．，1，
2．已知，为实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知，则的坐标是
A． B． C． D．
5．下列哪个函数是单调递减函数
A． B． C． D．
6．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则
A．3 B． C． D．
7．已知，，，则
A． B． C． D．
8．若，，且，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分。
9．若，则
A． B． C． D．
10．已知，下面结论正确的是
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是
11．在△中，是边上的一点（其中，，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 ．
13．已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 ．
14．函数，若关于的方程有4个不同的根，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直？
16．（15分）已知．
（1）化简；
（2）若，且为第三象限的角，求的值．
17．（15分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
18．（17分）某游乐园内竖立着一摩天轮如下图，其半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点.
（1）求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数．
（2）当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？
（3）当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到游乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？
19.（17分）已知函数的图象关于原点对称．
（1）求的值；
（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设函数且在，上的最小值为1，求的值．叙永一中2025年春期2024级第一次月考数学试卷
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A C D C A A BC BD ACD
三、填空题：
12. 13. 14.
四、解答题：
15.解：（1）因为，，
所以，即，则，
所以；
（2）若与垂直，
则，
即，
即，解得．
16．解：（1）；
（2）由可得：，即，
又，联立解得或，
又为第三象限角，则，所以，
则．
17．解：
（1）最小正周期；
（2）令，解得，，，
故函数的单调增区间为：，，，
时，，，则，．
18．解：（1）解法一、设，
由题意知，最大值是41米，最小值是1米，
即，解得；
因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以，
又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，
所以，解得，不妨取，
所以，
解法二、以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系
因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度，
设经过分钟后，小王同学在点的位置，则，
所以点的纵坐标，
所以；
（2）由题意知，得，
因为，，所以或10，
所以两人之间相差8分钟，即小李大概是或分进入摩天轮轿厢的；
（3）由题意知，即，
根据图像解得，
所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟．
19.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，，
所以是上的奇函数，
所以，
解得，
所以，
（2）函数在定义域内单调递增，证明如下：
证明：任取，，且，
因为，所以，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以在定义域内单调递增；
（3）令，由（1）可知在，内单调递增，
且，，
所以，，则，
可得，
由题意可知：在，上恒成立，
当时，则，符合题意，此时；
当时，则在，上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以且；
综上所述：且；
当，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最大值，
且在定义域内单调递减，
则，可得，解得（舍去）；
当时，则开口向上，对称轴，，
可知当时，取到最小值，
且在定义域内单调递增，
则，可得，解得或（舍去）；
综上所述：．
