上海市华东师范大学第三附属中学2025届高三下学期第一次阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线平面，则“直线”是“”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.在一组样本数据、、、、、、、不全相等的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为( )
A. B. C. D.
3.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”已知函数，中恰有一个为“函数”，则满足条件的的整数值的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，则 ．
6.设，则不等式的解集为 ．
7.已知函数是偶函数，则 ．
8.已知向量，，且，则 ．
9.设，已知，若，则的取值范围为 ．
10.某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有万人给出评分，综合好评率为，平台二有万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为 ．
11.记为等比数列的前项和若，则的公比为 ．
12.已知的展开式中各项系数的和为，则这个展开式中项的系数是 ．
13.已知，、，是虚数单位若复数是实数，则的最小值为 ．
14.已知椭圆，过左焦点作直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 ．
15.如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路已知与的距离为，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设：观景台的观景范围为四边形；假设：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设：，当四边形的面积为最大值时，则 结果精确至
16.设，集合若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点．
求四棱锥的体积；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数．
若函数的图象过点，求不等式的解集；
若关于的方程仅有一个根，求实数的值．
19.本小题分
向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展如人工智能中的大语言模型以下简称为调查的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
的应用情况 相关从业人员 合计
减少 未减少
应用
没有应用
合计
根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
某公司视频部现有员工人，公司拟开展培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用．
(ⅰ)求员工经过培训能应用的概率．
(ⅱ)已知开展培训前，员工每人每年平均为公司创造利润万元；开展培训后，能应用的员工每人每年平均为公司创造利润万元；培训平均每人每年成本为万元根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，点分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点．
若是的左焦点，且，求的值；
若上存在轴上方一点，满足，求的坐标；
设，过的直线与交于、两点、两点不重合，与轴交于点且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、若存在直线，满足成立，求的取值范围．
21.本小题分
设定义域为的函数，对于，定义．
设，求；
设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”
参考答案
1.
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8.
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13.
14.
15.
16.
17.在四棱锥中，平面，正方形的边长为，，为侧棱的中，
所以，点到平面为高，
又因为，
所以，四棱锥的体积；
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则
取，得，
因为直线与平面所成角为，
，
，
因此，直线与平面所成角为．
18.因为函数的图象过点，
所以，所以，解得，
此时，
若，即，则，
解可得，
即不等式的解集为
方法一：
方程仅有一个根，
即方程有且只有一个根，
方程，
变形可得，即，
则原问题等价于方程有且只有一个不为的根，
当时，方程为，有一个根，符合题意；
当时，，
故有两解，
此时，
且，故必为一正一负的两根，不符合题意；
当时，，令，解得，
此时方程的根为，符合题意，
综上，实数的值为或．
方法二：
方程仅有一个根，
即方程有且只有一个根，
方程，
变形可得，
则，只有一解，
将代入中，得，
则原问题等价于方程有且只有一个不为的根，
若时，方程为，有一个根，经验证符合题意；
若时，令，解得，
此时方程的根为，经验证符合题意．
综上，实数或
19.依题意，列联表如下：
的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用
没有应用
合计
零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，
由列联表中数据得，．
根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关．
设“员工第轮获得优秀”，且相互独立．
设“员工经过培训能应用”，则
，
所以员工经过培训能应用的概率是．
设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，
则，因此，
调整后视频部的年利润为
万元，
令，解得，又，所以．
所以视频部最多可以调人到其他部门．
20.椭圆的左焦点坐标为，
因为与的左焦点重合，故，因此．
又因为，所以，
解得，或，
点是轴正半轴上的动点，可得，
所以：
设，因为，，
所以，又，
两式联立，解得，所以；
，可得直线的解析式为，
设直线的解析式为，且，
联立，可得，
，，
因为两点均在直线的左侧，所以，
故．
因此，
所以，化简可得方程
设，
又因为，令得，故．
若，此时直线与存在两个交点
若存在，使得，
而，故，
可得，故，因此；
若，而此时在上或外部，由，
得，故．
若存在，使得，
而，故，
，
可得，解得．
综上所述，的取值范围为．
21.由题设，将化简得，
解得，故；
存在满足条件的，且，理由如下：
因为，代入定义整理得：，
设，则，
令，得，或，
当时，必存在，设；
根据的关系，列表如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间，
即，解得，
因此，
特别地，当时，，
故仍是一段闭区间，故．
当时，当且仅当时，，
列表可得：
单调递减 极小值 单调递增
所以是函数的极小值点，且取得最小值，
当时，是一段闭区间，即，解得，
由此得．
综上所述，存在满足条件的，且；
假设，若，则，因此矛盾，故，
先证必要性：因为函数是上的严格增函数且，
当时，；当时，，
因此
因此必要性得证；
再证充分性：
引理：对任意，当满足时，，已知，
假设，设，任取，则，
因为函数是严格增函数，所以，即，
所以，由此，因此考虑构造，
当，则，而，
函数是严格减函数，，故矛盾，即，
下面证明函数在上为严格增函数：
任取，若，联立上式可得
，
而，又因为是严格减函数，
则由于，
所以，故．
同理，可证函数在上为严格增函数，
且，故函数在上为严格增函数，因此充分性得证．
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