江苏省仪征市第二中学2025届高三下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知复数满足，且在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有一组样本数据，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 第百分位数为
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称
C. 在区间上有个零点 D. 在区间内单调递减
11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为，则下列命题正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 平面
C. 该多面体外接球的表面积为
D. 直线与下底面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，随机变量的分布列为
的最小值为
13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知动点在边长为的正方形内包含边界运动，且满足，则动点的轨迹长度为 ．
14.顶角为的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比已知是函数的一个零点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且．
求；
若，求．
16.本小题分
在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢 不喜欢
男性
女性
依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
从这名样本观众中任选名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义．
，．
17.本小题分
底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．
证明：平面；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
求数列的通项公式；
证明：；
若数列满足，证明：为自然对数的底．
19.本小题分
已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间．
证明：线段垂直于轴；
记的面积为的面积为，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.由正弦定理边化角可得，
即，
所以，因为，
所以，又，解得；
若，则，这里是三角形外接圆的半径，
解得，
由余弦定理可得．
16.零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关
根据列联表中的数据得，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联．
依题意得，， ， 则
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等
17.因为四边形为菱形，所以，
因为平面平面，为交线，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，为交线，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面；
由知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，则，，
设，，则，，
设平面的一个法向量为，
令得，故，
直线与平面所成角的正弦值为，
即，
化简得，负值舍去，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角余弦值为．
18.设等差数列公差为成等比数列，则，
所以，解得或舍去，所以；
设，当时，单调递减，
，所以，由可知，
则有，所以不等式恒立．
因为，所以要证，
只需证：，
根据可知，那么，
，
所以．
19.设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是．
因为直线的斜率不为，故设的方程为，
联立可得：，，
则，
．
故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴
由可知，不妨设，因为点在与之间，所以，
，
则，
令，则，
令，则，解得；
令，解得．
则在上单调递增，在上单调递减，
，所以的取值范围为．
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