浙教版2024-2025学年八年级下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．菱形的每条对角线平分一组对角
C．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直平分
2．如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
3．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，菱形中，点，，分别为，，的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
5．延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．长度不变，为 B．长度变小，减少
C．长度变大，增大 D．面积变小，减少
6．如图，四边形OABC是边长为的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在直线y＝ax－2上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．四边形ABCD和CEFG都是正方形，在CD上，连结AF交对角线BD于点，交DE于点.若要求两正方形的面积之和，则只需知道（ ）
A．IF的长 B．BH的长 C．AH的长 D．CI的长
9．如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上的一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的E处，折痕与交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ．
12．如图，在正方形外作等边，则 .
13．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是 .
14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °．
16．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
（2）求证：BG平分∠EGF．
20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图出图形．
（1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
（2）在图②中，画一个面积为10的正方形．
21．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
22．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
23．如图
（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
24．如图，在 中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图，当点恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图，当，，时，连结，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为分、分、分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当时，求的长．
③当点恰好落在上时，求的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2024-2025学年八年级下数学第5章特殊平行四边形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．菱形的每条对角线平分一组对角
C．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直平分
【答案】D
【解析】
A：平行四边形的对边相等 ，正确，不合题意；
B：菱形的每条对角线平分一组对角，正确，不合题意；
C：正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，正确，不合题意；
D：矩形的对角线互相垂直平分，错误，矩形的对角线相等且互相平分，符合题意；
故答案为：D.
2．如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
【答案】D
【解析】∵，∴
∵，∴∴
∵∴四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意；
若平分，
∴
∴
则四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意；
故答案为：D．
3．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：连接AD，EF，交于点G.
∵在中，，，，
∴ BC=
∵ ∠BAC=90°， ，
∴ 四边形AEDF是矩形
∴ AD=EF，GF=
过A作AH垂直CB于H
∴ GF最小值为AD最小值，即点A到BC的距离AH
∴
∴ AH=
∴ GF=
故答案为：B.
4．如图，菱形中，点，，分别为，，的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】如图，连接、，
点，，分别为，，的中点，，，
，，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
故答案为：D.
5．延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．长度不变，为 B．长度变小，减少
C．长度变大，增大 D．面积变小，减少
【答案】D
【解析】如图1，连接，
四边形是正方形，
，，，
，，
如图2，连接，，
， ，
是等边三角形，，，，A正确，
，
长度变小，减少，B正确，
，
，
，
长度变大，增大，C正确，
，
四边形面积变小，减少，D错误，
故答案为：D.
6．如图，四边形OABC是边长为的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在直线y＝ax－2上，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC=45°，OB==2，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC于x轴的夹角为15°，∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴BD=OB=1，
∴在Rt OBD中，OD=，
∴点B的坐标为（，-1），
∵点B在直线y＝ax－2上，
∴-1=a-2，解得：a=；
故答案为：C.
7．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在矩形中，O为的中点，
∴OB=OA=OC，
∵AB=BO，
∴OB=OA=AB，
∴△ABO为等边三角形，则∠BAO=∠ABO=∠AOB=60°，故A不符合题意；
∵BE=EO，
∴∠EBO=∠BOE，
∵∠ABO=∠AOB，
∴∠AOB+∠BOE=∠ABO+∠EBO=∠ABE=90°，即∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，故B不符合题意；
∵OC=CD，CF=CF，∠FOC=∠D=90°，
∴Rt△OFC≌△DFC（HL），
∴OF=FD，故C不符合题意；
连接AE，∵AB=AO，BE=OE，
∴AE垂直平分BO，
∴∠BAE=∠OAE=30°，
∴AE=2BE，
∴AB=BE，则D错误，故D符合题意；
故答案为：D.
8．四边形ABCD和CEFG都是正方形，在CD上，连结AF交对角线BD于点，交DE于点.若要求两正方形的面积之和，则只需知道（ ）
A．IF的长 B．BH的长 C．AH的长 D．CI的长
【答案】C
【解析】如图，连接AC和CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，AC和CF分别为四边形ABCD和四边形CEFG的对角线，
则可得∠ACF=90°，
∵BD也为四边形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，
∴BD∥CF，由BD经过AC中点O，则OH为三角形ACF的中位线，H为AF的中点，
设AH的长为x，则AF=2x，
∵三角形ACF为直角三角形，则等于2倍两个正方形的面积之和，
即可得到两个正方形面积之和.
故答案为：C.
9．如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上的一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接交于点，连接，
四边形是菱形， ，
，，，，
，
设，，，
，，
点是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
10．如图，正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的E处，折痕与交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=AB=2，
∴OD=BO=OC=，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
∴DE=DC=2，DF⊥CE，
∴OE=2-，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODG=∠ECO，
在△OEC与△OGD中，，
∴△OEC≌△OGD（ASA），
∴OG=OE=2-．
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，平行四边形是菱形；
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，在正方形外作等边，则 .
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，
又是等边三角形，
，，
，，
.
，
故答案为：45.
13．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是 .
【答案】6
【解析】由折叠可得：AB=AF，BE=FE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴Rt△CEF中，CF4．
设AB= x，则AF=x ，AC=x+4．
∵Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
∴AB=6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6．
故答案为：6．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P 在对角线 BD上，且 BP=BA，连结 AP 并延长，交 DC的延长线于点Q，连结 BQ，则 BQ 的长为 .
【答案】
【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，
∴，
∵BP=BA=5，
∴PD=BD-BP=13-5=8，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA
又∵∠BPA=∠DPQ，
∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠DQP，
∴∠DPQ=∠DQP，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
；
故BQ的长为：.
15．如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °．
【答案】30
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD，AD//BC，
∴∠ABD = ∠ADB，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠DAF = ∠AEB = 90°，
∵∠BAG = 90°，
∴∠BAF= ∠DAG =90°-∠FAG，
∵点G为DF的中点，
∴AG=DG=，
∴∠DAG = ∠ADB，
∴∠BAF = ∠ABD = ∠ADB，
∴∠AFD = ∠BAF+ ∠ABD =2∠ABD= 2∠ADB，
∵∠AFD+ ∠ADB= 90°，
∴2∠ADB+∠ADB = 90°，
∴∠DBC = ∠ADB= 30°，
故答案为：30.
16．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴由对顶角性质可得：，
∵在中，点H是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴在中，
，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
是等边三角形，
，则，
．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DE＝BF，
∴EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵CD∥AB，∴∠ECA=∠FAC.
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA＝FC.
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）解：设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，
在Rt△BCF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴菱形的边长AF＝8－3＝5.
∴菱形AFCE的面积为5×4＝20.
19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
（2）求证：BG平分∠EGF．
【答案】（1）解：AF＝DE， AF⊥DE，理由如下：
∵ABCD 是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AE＝BF．
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．
∵∠DAG+∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AF⊥DE；
（2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M，
则BM∥ GE，
∵AE＝BE，
∴AG＝ GM．
设BF＝a，则 AB＝2a，
∴
∴△BMG 为等腰直角三角形．
∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BGM＝∠BGE．
∴BG 平分∠EGF．
20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图出图形．
（1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
（2）在图②中，画一个面积为10的正方形．
【答案】（1）解：如图①所示，
理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝3，
由勾股定理得，，
∴，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC是斜边长为的等腰直角三角形；
（2）解：如图②所示，
理由如下：由勾股定理得，DE＝EF＝FH＝DH＝，
∴四边形DEFH是菱形，
又由正方形网格的特点知∠HDE＝90°，
∴四边形DEFH是边长为，面积为（）2＝10的正方形，
∴正方形DEFH满足题意．
21．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
22．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
【答案】（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，则∠H=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=8，AB∥CD，
∴∠B=∠DCH=60°，
∴∠CDH=30°，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K．
易得四边形为平行四边形，四边形KHDG是矩形，
∴设，则，
由（1）知，
，
在中，，
同（1）中方法得，
．
23．如图
（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
【答案】（1）证明：如图1
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠AEF=90°，
∵点H、E分别是边AB、BC的中点，
∴AH=BH=BE=CE，
∴∠BHE=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）正确；
（2）解：正确，证明如下，
如图2，在AB上取一点M，使AM=CE，连接ME，
图2
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF=45°，∠ECF=135°，
同（1）可证△AME≌△ECF，
∴AE=EF；
（3）解：成立，AE＝EF．
【解析】（3）成立；
如图3，延长BA到M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE，
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF.
24．如图，在 中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图，当点恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图，当，，时，连结，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为分、分、分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当时，求的长．
③当点恰好落在上时，求的长．
【答案】（1）证明：将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：解：四边形是平行四边形，
，，，
，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，设与交点，
，，，
，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，
，
，，
，
；
解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，，
设，
，，，
四边形为矩形，
，．
由知：，，
，
，
在中，，
由轴对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
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设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
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四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
将沿折叠后，点的对应点为点，
，，，，
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精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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