第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．若函数是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增
C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为
6．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极小值
B．在上是增函数
C．当时，取得极大值
D．在上是增函数，在上是减函数
7．已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点：如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．
三、填空题
12．已知函数.若，恒成立，a的取值范围为 .
13．若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ．
14．定义在上的函数满足：，若曲线在处的切线方程为，则该曲线在处的切线方程为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时恒成立，求实数b的最小值.
16．已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求k，b的值；
(2)设函数，若有两个实数根，求出t的取值范围并求的最小值.
18．已知函数．
(1)若函数单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
19．对于函数，若存在区间和，使得在上是增函数，在上是减函数，则称函数为含峰函数，为峰点，区间称为函数的一个含峰区间.
(1)判断函数是不是含峰函数？并说明你的理由；
(2)证明函数是含峰函数，并指出该函数的峰点；
(3)若实数是含峰函数，且是它的一个含峰区间，求的取值范围.
《第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A D D D A AC BD
题号 11
答案 AB
1．A
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】易知，所以.
故选：A
2．A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A
3．C
【分析】由导数的几何意义得，再根据导数的定义即可求解.
【详解】由导数几何意义得，
由导数定义可知：.
故选：C.
4．A
【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，则，
因为是增函数，所以，即对任意的恒成立，
所以，
又时，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故实数的取值范围是.
故选：A.
5．D
【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可.
【详解】由，则，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
由函数与复合而成，而在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增；
所以在处取极小值，且无极大值，
又，故不存在实数，使得.
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键.
6．D
【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD.
【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误；
对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误；
对于D，当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可.
【详解】因为，则，
所以，，解得.
故选：D.
8．A
【分析】根据的奇偶性排除BD；根据单调性排除C，即可得解.
【详解】因为
，，
所以，，
因为，
所以在上是奇函数，故可排除选项B，D，
令，则，
当时，，
所以在单调递减，即在单调递减，故可排除选项C.
故选：A
9．AC
【分析】对于A，令，，利用导数即可判断；对于B，令，，利用导数即可判断；对于C，令，，利用导数即可判断；对于D，令，，利用导数即可判断．
【详解】对于A，令，，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即恒成立，
所以对任意的恒成立，A正确；
对于B，令，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以对任意的恒成立，故B错误；
对于C，令，，则，
令，
易知，使，即，，
当时，，单调递减；
当,时，，单调递增；
所以，
所以，即对任意的恒成立，C正确；
对于D，令，，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又因为，所以，即，
所以，
即，
所以，D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
10．BD
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】令，所以，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
即，
则，，故AC错误，BD正确．
故选：BD．
11．AB
【分析】对于A，利用导数的几何意义求出的切线方程，再将代入判断即可，对于BCD，由，化简可得，然后分析判断即可.
【详解】对于A，由，得，
所以在点处切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
所以，所以A正确，
对于BCD，由选项A可知，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以C错误，
因为，所以数列是递增数列，所以B正确，
因为，所以D错误，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合问题，考查导数的几何意义，考查等比数列求和，解题的关键是利用导数的几何意义结合题意求得，考查计算能力，属于较难题.
12．
【分析】由已知可得，构造函数结合单调性建立不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】不等式，
令，在R上单调递增，则，
于是，即，令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
则的取值范围为.
故答案为：
13．/
【分析】同构变形给定的不等式，在时构造函数，利用函数单调性可得，分离参数并构造函数，求出函数的最大值即可.
【详解】不等式，，
当时，，令，
依题意，，对函数求导得，
函数在上单调递增，则当时，恒成立，
令函数，求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，所以正数的最小值为最小值为.
故答案为：
14．
【分析】由题意得出，且，再根据得出和，即可求解．
【详解】因为曲线在处的切线方程为，
所以，且，
又，所以为偶函数，且，
所以，，
所以该曲线在处的切线方程为，即，
故答案为：．
15．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出导数，再按分类求出函数的单调区间.
（2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
即，因此，
所以最小值为.
16．(1)是函数的极小值点；
(2).
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点.
（2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
由，得，当时，；当时，，
所以是函数的极小值点.
（2）当时，不等式，
设，依题意，，，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的取值范围是.
17．(1)
(2)；的最小值为
【分析】（1）求导得，由导数的几何意义可得，即可得出切线方程，进而可得到答案；
（2）由（1）得，做出的图像，由图像即可求出t的取值范围，令，所以，令，求导分析单调性即可得出答案.
【详解】（1），所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以；
（2）由（1）得，作出函数的大致图象，
因为有两个实数根，
所以与有两个不同的交点，由图可知；
令，得出，
令，所以，
令，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以最小值为，所以的最小值为.
所以，的最小值为
18．(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）求导后分析导函数恒成立，构造函数，借助导数研究单调性，求最值即可.
（2）（i）由，研究单调性，得到，根据函数有两个零点，可得,利用不等式放缩，得到实数a的取值范围；
（ii）设换元，转化，要证，只需证，只需证，构造函数，研究单调性最值即可.
【详解】（1）由，有，
若函数单调递增，必有恒成立，不等式可化为,
令，有，可得函数的减区间为，增区间为，
可得，有，可得，
故实数a的取值范围为；
（2）（i）由令，可得，可得函数的减区间为，
增区间为，可得，
若函数有两个零点，必有，可得，
又由，
（利用不等式（当且仅当时取等号）），
又由，故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为；
（ii）设，由函数有两个零点，有，
有，两式相除，有，有，
有，有，有，可得，
又由，可得,有，
又由，要证，只需证，
只需证，
令（其中），有，
可得函数单调递增，可得，
故有成立．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题常用两种方法，一是构造对称函数，运用函数单调性证明，二是利用“对数平均不等式”证明.
19．(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）对的单调性进行分析可知其是先减后增的函数，可以判断不是含峰函数，
（2）结合导函数的正负与零点去证明是含峰函数，且根据单调增区间与减区间可得其峰点，
（3）先求的导函数，再结合是它的一个含峰区间，可确定在之间存在一个极大值点，列出对应不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，
不存在先增后减的区间，所以不是含峰函数.
（2）证明：由，得，
令，得，
令，得，
所以对于任意整数，都存在，使函数在上是增函数，在上是减函数，
因此，函数是含峰函数，峰点为.
（3）法1：函数的定义域为，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
根据题意，存在峰点，使函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以时，时，
因此，，
解得，
故的取值范围是.
法2：函数的定义域为，，
令，则（不合题意舍去），
由，解得，
检验：时，
若，则，
所以此时，
同理若，则，
因此函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以函数在上是含峰函数.
故的取值范围是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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