第四章数列章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若数列满足，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
2．记等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24 B．28 C．48 D．84
3．已知数列的前n项和，则是（ ）
A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列
4．若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ）
A． B． C．14 D．
5．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23 B．12 C．20 D．
6．广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需（ ）
A．352步 B．387步 C．332步 D．368步
7．若等比数列的前项和，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知正项等比数列的前项积为，且，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
二、多选题
9．记为等差数列的前项和，已知，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．数列中有且仅有一个最小项
10．已知数列的通项公式为，的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是公差为4的等差数列
C． D．数列的最大项为2
11．已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．，
三、填空题
12．已知数列中，，，则 ．
13．在数列中，，且，则通项公式 ．
14．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为 ．
四、解答题
15．已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，且为递增数列，求实数的取值范围．
16．已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
17．已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 .
18．已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，求使取得最大值时的的值.
19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如．
(1)求的值；
(2)已知数列满足，求的前项和；
(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
《第四章数列章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D D C A D BC BC
题号 11
答案 AC
1．D
【分析】求出数列周期性即可得到答案.
【详解】数列满足，，
，，，
，，
是周期为3的周期数列，
而，故．
故选：D.
2．D
【分析】利用等比数列前n项和的性质即可得解.
【详解】由等比数列的性质，得成等比数列，
所以，
又因为，，
即，
解得．
故选：D.
3．A
【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可.
【详解】当时，，
当时，，作差得，
显然时，也满足上式，故，
显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误.
故选：A
4．D
【分析】确定数列为等比数列，求出首项，利用等比数列前n项和公式，即可求得答案.
【详解】由于数列满足，即
故数列为公比为2的等比数列，
又，则，
故，
故选：D
5．D
【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】由题意可知：，
当时，；
当时，，
两式相减可得：，整理得：，
所以，或，
当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大，
此时，解得，此时；
当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大，
此时，解得，此时；
综上所述：的最大值为.
故选：D.
6．C
【分析】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
根据题意数列是等差数列，由等差数列的前项和，同理数列是等差数列，由等差数列的前项和即可求解.
【详解】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
由已知可得，，，，，，
所以数列是首项为26，公差为的等差数列，故，，
数列为公差为的等差数列，故，，
设数列，的前项和分别为，，所以，
，，
故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步．
故选：C.
7．A
【分析】由已知条件得，由此即可求出.
【详解】因为等比数列的前项和，
所以当时，，
所以该等比数列的公比,
所以，解得.
故选：A.
8．D
【分析】根据已知及等比数列的性质可得，再由即可求值.
【详解】由题意得，，
则，
，
，
，
.
故选：D
9．BC
【分析】先根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解出和，再据此求出通项公式、前项和公式，最后根据这些公式判断各个选项的正确性.
【详解】设数列的公差为，
由题意可知，解得错误；
由上得正确；
由得，，C正确；
，由二次函数的性质可知，当或时，和的值均最小，D错误.
故选：BC.
10．BC
【分析】利用数列的通项公式可判断A；根据等差数列定义可判断B；利用等差数列的前n项和公式可判断C；求出的通项公式，判断其单调性，可判断D.
【详解】对于A，数列的通项公式为，故，
，即，A错误；
对于B，，则，
故数列是公差为4的等差数列，B正确；
对于C，数列的通项公式为，为首项是，公差为2的等差数列，
故，
则，C正确；
对于D，，而，
当n增大时，的值随着增大，故随着n增大而减小，
故当时，数列取最大项为，D错误，
故选：BC
11．AC
【分析】利用等比数列的通项公式与，前项和公式逐一判断即可.
【详解】设公比为，因为，所以，
又因为，所以，故A正确，故B错误；
对于选项C：，故C正确，选项D错误；
故选：AC
12．
【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解；
【详解】由，
可得：，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，
所以，
故答案为：
13．
【分析】利用构造法来求通项公式，如由构造为，从而用等比通项来求解即可.
【详解】递推式的两边同时除以，得到．
令，则．
显然有，，
故是以为首项，为公比的等比数列．
因此，可得．
故答案为：.
14．
【分析】设第一根弦长为，求出另4根弦长，按从小到大排列，即可得“宫”与“角”所对琴弦长度，代入求解即可.
【详解】设第一根弦长为，
则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为，
又因为，
又因为琴弦越短，发出的声音音调越高，
所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：，
所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知可得是以3为公比的等比数列，由定义即可写出其通项公式；
（2）由数列的单调性有对任意正整数恒成立，求出右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）由，得，所以，
所以，所以是以3为公比的等比数列，又，所以．
（2）由（1）知，所以，因为为递增数列，
所以恒成立，
所以，即对任意正整数恒成立，即，
因为为递增数列，所以，
所以，即实数的取值范围为．
16．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解.
【详解】（1）因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
（2）由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到，
所以，
故．
17．(1)；
(2)38583
【分析】（1）由等差数列的求和公式和基本量法求出数列 的通项公式，由等比数列下标的性质和基本量法求出；
（2）先求出数列 的组成，再由等比和等差数列的求和公式计算即可.
【详解】（1）因为数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72，
所以，即，
所以；
因为数列 是公比大于 0 的等比数列， ，
所以，解得（舍去），
所以.
（2）因为，
所以前200项中中有5项，其和为，
中有前有195项，和为，
所以.
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解；
（2）由（1）求得，利用错位相减法可求；
（3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为且，所以，
由，可得：，
两式相减得：，
因为，所以，，
又，综上，对任意的，，
所以是首项和公比均为的等比数列，所以，.
（2）由题意，，
①
②
①②得
所以，
（3）由（1）可得，所以，
时，由，可得；
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以，所以，
综上，或时，取得最大值.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可；
（2）利用错位相减法求和，即可得出结果；
（3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果.
【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
（2）所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
（3）由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
则 ，
可得 ； 当 时，，当时，，
所以的最大值为，
故
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