期中 学情评估卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．一元二次方程x2＝4x的解是( )
A．x＝4 B．x1＝4，x2＝0
C．x1＝4，x2＝1 D．x1＝2，x2＝－2
3．抛物线y＝－3(x－2)2＋4的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．向上，(2，4) B．向上，(－2，4)
C．向下，(2，4) D．向下，(2，－4)
4．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转得到的，点A′与点A对应，则旋转角为( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
5．[2024贵州中考]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是( )
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x<－1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
6．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m<0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m<0
7．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．设道路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( )
A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20－x)(32－x)＝32×20－540
C．(20－2x)(32－2x)＝540 D．(20－2x)(32－2x)＝32×20－540
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是( )
9．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，连接CC′.有以下结论：①BC＝B′C′；②AC∥C′B′；③C′B′⊥BB′；④∠ABB′＝∠ACC′.其中所有正确结论的序号是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y1)，是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a＋2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m(am＋b)≥a＋b.其中正确结论的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．关于x的方程(a－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
12．在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是(2，3)，点A，点C关于点B成中心对称，若将点A向右平移4个单位长度，再向上平移10个单位长度，恰好与点C重合，则点A的坐标是________．
13．已知方程x2－2x－2＝0的两根分别为a，b，则a2－b2＋4b的值为________．
14．[2025北京朝阳区期末]对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h，初速度v，抛出后所经历的时间t，这三个量之间有如下关系：h＝vt－gt2(其中g是重力加速度，g取10 m/s2)．将一物体以21 m/s的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18 m高的地方时，t的值为________．
15．如图，已知点A(1，0)，B(5，0)，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，连接BC，再把△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB1C1，则点C1的坐标是__________________.
16．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．(8分)解下列方程：
(1)x2－2x＝99； (2)(x＋3)2＝－2(x＋3)．
18．(8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形，O为格点(网格线的交点)．
(1)画出与△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1.
19．(8分)如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE.
(1)求证：∠BCD＝∠ACE；
(2)若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
20．(10分)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上．设B(t，0)，当t＝2时，BC＝4.
(1)抛物线的解析式为______________．
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
21．(10分)社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路，铺花砖的面积为640 m2.
(1)求道路的宽是多少．
(2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 920元．
22．(10分)[2024武汉中考]16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b，其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
23．(12分)[2025苏州期中]定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(2，4)是函数y＝x＋2的图象的“2倍点”．
(1)一次函数y＝3x＋1的图象的“2倍点”的坐标是________，二次函数y＝x2－3的图象的“2倍点”的坐标是____________________；
(2)若关于x的二次函数y＝x2＋3x＋2－c(c为常数)的图象上存在两个“2倍点”，求c的取值范围；
(3)设关于x的函数y＝x2＋m的图象上有且只有一个“2倍点”，为点A，关于x的函数y＝x2－2nx－x＋4n＋2(n为常数且n>1)的图象上有两个“2倍点”，分别为点B，点C(点B在点C的左侧)，且BC＝3AB，求m，n的值．
答案
一、1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．A 8．A 9．B 10．C
二、11．a≠1 12．(0，－2) 13．4
14．1.2或3 15．(1－2 ，2 )
16．－＜b＜－1
三、17．解：(1)配方，得x2－2x＋1＝100，即(x－1)2＝100，
直接开平方，得x－1＝10或x－1＝－10，∴x1＝11，x2＝－9.
(2)移项，得(x＋3)2＋2(x＋3)＝0，
提公因式，得(x＋3)(x＋5)＝0，
则x＋3＝0或x＋5＝0，
∴x1＝－3，x2＝－5.
18．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C1即为所求．
19．(1)证明：由旋转可知∠DCE＝60°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠DCE.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
(2)解：由旋转知CD＝CE.
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE.∴AE＝BD＝10.
∵∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形．
∴∠CDE＝60°.又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°.
在Rt△ADE中，DE＝＝＝8.
20．解：(1)y＝x2－x
(2)由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.
当x＝t时，点C的纵坐标为t2－t，∴BC＝－t2＋t.
∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋.
∵－＜0，0
答：当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为.
21．解：(1)根据题意，得(52－2x)(28－2x)＝640，
整理，得x2－40x＋204＝0，
解得x1＝34(舍去)，x2＝6.
答：道路的宽为6 m.
(2)设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元，
根据题意，得(400＋a)＝10 920，整理，得a2＋250a－5 400＝0，
解得a＝20或a＝－270(舍去)．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元．
22．解：(1)①a＝－，b＝8.1.
②由①知火箭两级的运行路径的解析式为y＝－x2＋x，y＝－x＋8.1.
∵y＝－x2＋x＝－＋，∴最高点的高度为km.
－1.35＝2.4(km)．
当y＝2.4时，－x2＋x＝2.4，解得x1＝12(舍去)，x2＝3.
∵x＝9时，y＝3.6>2.4，
∴另一个比火箭运行最高点低1.35 km的位置在第二级运行路径上．
当y＝2.4时，－x＋8.1＝2.4，
解得x＝11.4.11.4－3＝8.4(km)，
∴这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)－
(2)∵关于x的二次函数y＝x2＋3x＋2－c(c为常数)的图象上存在两个“2倍点”，∴方程x2＋3x＋2－c＝2x，即方程x2＋x＋2－c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝12－4×1×(2－c)>0，解得c>，
∴c的取值范围为c>.
(3)令x2＋m＝2x，则x2－2x＋m＝0，
∵关于x的函数y＝x2＋m的图象上有且只有一个“2倍点”，
∴Δ＝4－4m＝0，∴m＝1.
将m＝1代入x2－2x＋m＝0，
得x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1，易知A(1，2)．
令x2－2nx－x＋4n＋2＝2x，
解得x＝2n＋1或x＝2，
∵n>1，∴2n＋1>3>2，
∵点B在点C的左侧，
∴易知点B的坐标为(2，4)，点C的坐标为(2n＋1，4n＋2)．
∴AB＝＝，
BC＝＝(2n－1)．
∵BC＝3AB，∴(2n－1)＝3 ，
解得n＝2.综上，m＝1，n＝2.
