2024-2025学年第二学期3月份教学质量自查九年级数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D D B C C A D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 3 12. x≥2 13. 4 14. x-1 15. 2 37
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 解: 原式 7分
17. 解: (1)如答题17图所示, AD 即为所求.
…4分(画图3分，结论1分)
(2)△ABC∽△DBA, 理由如下:
∵AD平分∠BAC, ∠BAC = 2∠C,
∴∠BAD =∠BCA.
又∵∠B =∠B,
∴△ABC∽△DBA. 7分
18. 解: 在 Rt△ABC中, 由勾股定理得, 1分
在 Rt△BCD中,
…………… 3分
由题意得, BC+AB=BE+BD, 5分
6分
7分
答：物体上升的高度约为2.7m.
四、解答题(二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分.
卡片数字 1 2 3
1 1+1=2 1+2=3 1+3=4
2 2+1=3 2+2=4 2+3=5
3 3+1=4 3+2=5 3+3=6
由表可知，共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种，分别为3，3，5，5，和为偶数的有5种, 分别为2, 4,4, 4, 6, ∴P(和为奇数) P(和为偶数) 故小明、小亮获胜的概率分别为 5分
∴第(1)问的游戏规则不公平；
设定新的游戏规则：若两张牌数字之和小于4则小明胜，若两张牌数字之和大于4则小亮胜，若两张牌数字之和等于4则重新抽取. (答案不唯一) 9分
20. 解：设考生甲的平均速度为 vm/s， 1分
由题意，得 4分
解得v=2. 7分
经检验，v=2是原分式方程的解且符合实际. 8分
1.25v=1.25×2=2.5.
答：考生甲的平均速度为2m/s，考生乙的平均速度为2.5m/s. 9分
21. 解: 任务一. 如答题21图所示, 过点C作CP⊥AO于点 P, CQ⊥BO于点Q.
∵∠OAB=45°, CP⊥AO,
∴△APC 为等腰直角三角形.
设PC=AP= xm,
在Rt△APC中,
即 解得 舍去).
同理可得 2分
∴点 …………… 3分
设该反比例函数的解析式为
将点C代入，得
∴该反比例函数的解析式为 5分
任务二. 由任务一知，当直线HG与外墙OM的夹角为 且 米时，箱子能顺利通过.
在长方形EFGH中, ∠ 4
∴△FGN 为等腰直角三角形.
∴GN=FG=n m.
同理可得MH=EH=n m.
即m+2n<2. 9分
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13 分,第23题14分,共27分.
22. (1)证明: ∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠BAC=∠BCA=45°, AB=BC.
∵∠ABC=∠EBF=90°,
∴∠ABE=∠CBF.
又∵BE=BF,
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴∠BCF=∠BAE=45°.
∴∠ACF=90°.
∴AC⊥CF. 3分
(2)①证明: ∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵BE=BF, ∠EBF=90°,
∴∠BFH=∠BCE=45°.
∴∠AEB=180°-∠BEF-∠AEG=135°-∠AEG,
∴∠AEB=∠AGE.
∴△ABE∽△AEG.
∵AE=GD, AB=AD,
7分
②解: 设AE=GD=x, AD=AB=m,
由①得
得
解得 舍去)，
即
由①得
23. (1)解: 当x=2时,
如答题23-1图所示,过点 T 作 TM⊥x轴于点M, TN⊥y轴于点 N, 连接TQ,
∴TN=2, ∠TNQ=90°.
∵⊙T与x轴相切, TM⊥x轴,
在Rt△TNQ中,
∴PQ=2NQ=3. 4分
(2)证明: 当x=m时,
过点T作TM⊥x轴于点 M, TN⊥y轴于点 N, 连接TQ, 见答题23-1图.
∴TN=|m|, ∠TNQ=90°.
∵⊙T与x轴相切, TM⊥x轴,
在Rt△TNQ中, ∠TNQ=90°,
①当 时, 见答题23-1图
∴Q(0, 1).
②当 时, 见答题23-2图,
∴P(0, 1).
∴⊙T 始终经过y轴上的定点(0, 1). 8分
(3)解: 由(2)知
①当 时, 此时Q(0, 1).
若点A 与点 Q 重合, 则OA=1.
∴当⊙T 与线段OA 有交点时, S≥1.
②当 时，
由(2)知
若点A 与点 Q 重合, 则OA=OQ.
即 解得
此时
当点T在y轴上时，
故
综上所述， 或，S≥1. 14分2024-2025学年第二学期3月份教学质量自查
九年级数学
注意事项：本试卷共4页，23 小题，满分120分，考试用时120分钟.
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名等填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算 (-3)+5 的结果等于
A. 2 B. - 2 C. 8 D. - 8
2. 中国代表队在第33 届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破. 以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是
3.第七次全国人口普查主要数据结果显示，我国人口约为 1440000000 人. 将1440000000 用科学记数法表示为
4. 如题4图所示, a∥b , 点A, C在直线a上, 点B在直线b上, AB⊥BC. 若∠1=35°, 则∠2 的度数是
A. 25° B. 35°
C. 45° D. 55°
5.下列计算正确的是
6.广告公司欲招聘广告策划人员一名，对候选人进行了创新能力、综合知识、语言能力三项测试，候选人甲的得分分别为67分、70分、67分. 根据实际需要，公司将创新能力、综合知识、语言能力三项测试的得分按题6图中扇形统计图所示比例确定，则候选人甲的得分为
A. 68分 B. 67.9分
C. 67.6分 D. 68.5分
数学 第1页(共4页)
7. 如题7图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时, 已知AB =4 cm，则剪下来的图形的周长为
B. 16 cm
D. 32 cm
8. 如果三点P (1, y ), P (3, y )和P (4, y )在抛物线 的图象上，那么y ，y 与y 之间的大小关系是
9. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活. 欣欣通过题9-1图和题9-2图中两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程
A. 24(x-10)=32×9 B. 24×9=32(x-10)
C. 24(x+10)=32×9 D. 24×9=32(x+10)
10. 已知一次函数 与 的图象如题10图所示，下列结论错误的是
A. abk<0
B. 当x>2时,
C. 关于x的方程 kx= ax+b的解是x=2
D. 将 向下平移|b|个单位，则平移后与 的交点为(0,1)
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 一组数据: 0, 3, - 1, 3, 的众数为 .
12. 不等式3x-4≥2的解集是 .
13. 一元二次方程 的一个解为x=2, 则a= .
14. 计算:
15. 如题15图所示, 正方形ABCD的边长为32, 在AB 和CD边上分别有点E、点F, EF∥AD且BE=24, 线段EF上有一点G,GF=GB, 过点G作GH∥AB交AD于点H, 点P是BF上的动点, 则 HP+GP 的最小值为 .
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 计算:
17. 如题17图所示, 在△ABC中, ∠BAC = 2∠C.
(1)在图中作出△ABC 的内角平分线AD. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明)
(2)在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由.
18. 如题18-1图所示，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起. 起始位置示意图如题18-2图所示，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m,AB=6m; 停止位置示意图如题18-3图所示, 此时测得∠CDB=37°, 求物体上升的高度 CE (结果精确到0.1m). (参考数据： 0.80, tan37°≈0.75, ≈1.73)
注：点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，题18-3图中所有点在同一平面内. 定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 小明和小亮两人进行摸牌游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3(背面完全相同)，现将卡片标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，最后计算小明和小亮抽得的两个数字之和.
(1)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜.请计算小明和小亮获胜的概率.
(2)请判断第 (1)问中的游戏规则是否公平；若不公平，请重新设定一个规则使得游戏公平.
20. 体育中考足球绕杆运球项目的规则如下：如题20图所示，从起点A 开始计时，沿规定路线A→B→C→ →L运球绕杆跑，以人、球都过终点为标准停止计时，每位考生有两次机会.假设这条路线的总路程为30米，考生乙的平均速度是考生甲的平均速度的1.25倍. 如考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，分别求两位考生的平均速度.
21. 综合与实践
【项目主题】用“数”法搬家.
【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究：
【任务一：实地勘测】
如题21-1图所示，小明将一根长为2米的细木棍AB抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点C 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通
过弯道(木棍厚度忽略不计).此时， ∠OAB =45°.小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的解析式.
【任务二：实物测试】
如题21-2图所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线HG与外墙分别交于点M，N.假设长方形箱子的长为m米，宽为n米，则m和n需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过
五、解答题(三):本大题共2 小题,第22题13分,第23 题14分,共27分.
22. 【知识技能】
如题22-1图所示，在正方形ABCD中，点E 是对角线 CA上的一点，线段BE绕点 B 顺时针旋转90°至 BF, 连接CF.
(1) 求证: AC⊥CF.
【拓展探索】
(2) 如题22-2图所示, 连接EF, 直线EF 交AD 于点G, 交BC于点H, 若AE=GD:
①求证：
②求出 的值.
23. 【问题背景】
如题23-1图所示，点T是抛物线 图象上的动点，以点 T 为圆心的⊙T与x轴相切. 设点T的横坐标为m， ⊙T的半径为r.
【构建联系】
(1) 当m=2时, ⊙T与y轴交于P、Q两点, 其中OP>OQ, 求PQ的长.
(2)求证：无论m为何值，⊙T始终经过y轴上的一个定点.
【深入探究】
(3) 如题23-2图所示, 点A在y轴上, 以线段 OA 为边作正方形OABC.当⊙T与线段OA有交点时，求正方形OABC面积S的范围.
