【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题17 手拉手相似模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、任意三角形 2
2、直角三角形 2
3、等边三角形与等腰直角三角形 2
真题演练 3
巩固练习 4
压轴真题强化 5
手拉手相似模型（手拉手旋转型）定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1、任意三角形
如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2、直角三角形
如图，，（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3、等边三角形与等腰直角三角形
如图，M为等边三角形ABC和DEF的中点；
结论：△BME∽△CMF；.
如图，△ABC和ADE是等腰直角三角形；
结论：△ABD∽△ACE.
（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
（2021·四川乐山·中考真题）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ ；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．
某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)
三、解答题
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
4．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
6．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题17 手拉手相似模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、任意三角形 2
2、直角三角形 2
3、等边三角形与等腰直角三角形 2
真题演练 3
巩固练习 6
压轴真题强化 8
手拉手相似模型（手拉手旋转型）定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1、任意三角形
如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2、直角三角形
如图，，（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3、等边三角形与等腰直角三角形
如图，M为等边三角形ABC和DEF的中点；
结论：△BME∽△CMF；.
如图，△ABC和ADE是等腰直角三角形；
结论：△ABD∽△ACE.
（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
（2021·四川乐山·中考真题）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ ；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．
【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析
【详解】解：（1）∵，
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵点关于直线的对称点为点
∴AB⊥DE，
∴
故答案为：；
（2）①补全图如图2所示；
②与的数量关系为：；
证明：∵，．
∴为正三角形，
又∵绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）连接．
∵，，∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：结论：，
理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，与交于点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为6．
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①正确；
设，
∴,
∴，
∴，故②正确；
当点在的延长线上时，如图所示
∵，，
∴
∴
∵，．
∴，
∴
∴，故③正确；
④如图所示，以为圆心，为半径画圆，
∵，
∴当在的下方与相切时，的值最小，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
二、填空题
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)
【答案】①②④
【详解】解：①当时，是等边三角形，
∴
∴
∵等腰直角、，
∴
∴
∴；故①正确；
②∵等腰直角、，
∴，
∴
∴
∴；故②正确；
④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
又，
∴
又∵，
∴
同理得，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，即是的中点，故④正确，
∴，
设，则
在中，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴，
∴
∴
在中，
∴,故③错误
故答案为：①②④．
三、解答题
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【详解】（1）证明：在和中，
，，，
，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
．
是中点，是中点，
是中位线，
．
，
，
．
，
．
故答案为：；
②证明： ∵，
，
，
．
4．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或．
【详解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
综上，直角三角形的面积为4或16或12或．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】(1)，
(2)，，证明见解析
(3)
(4)或
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设交于点，
∵
∴，
故答案为：，．
（2）结论：，；
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如图所示，
连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，
延长至，使得，
则是等腰直角三角形，
∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
过点作于点，
设，则，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或
故答案为：或．
6．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
连接，，，
∴，
∴在上，且为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积为,
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或.
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