浙江绍兴柯桥区2024-2025学年九年级上学期期末考数学试卷
1．（2024九上·绍兴期末）已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查用有理数估计无理数，先估算无理数的大小可得，再利用不等式的性质可得：，据此可找出的整数部分和和小数部分：，；再把a、b的值代入代数式中计算可求出答案.
2．（2024九上·绍兴期末）若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：A
【分析】本题考查分式化简和代数式求值.先进行提取公因式化简可得：原式，再进行约分，提取公因式可得：原式=，再将代入原式中进行计算可求出答案．
3．（2024九上·绍兴期末）一个不透明袋子中装有除颜色外其余都相同的个红球，个黄球，个蓝球，同时从中随机摸出两个球，这两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：记个红球为红，红，红伞，个黄球分别为黄，黄，故列表得：
由表可得：共有种等可能出现的结果，其中两个球颜色不同的结果有种，
∴两个球颜色不同的概率是，
故答案为：C
【分析】本题考查是用列表法或树状图法求概率键．记个红球为红，红，红伞，个黄球分别为黄，黄，再通过列找出所有等可能的结果数，再中两个球颜色不同的结果数，再利用概率公式进行计算可求出答案.
4．（2024九上·绍兴期末）在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点是直线与双曲线的其中一个交点，
∴将点代入中，可得，
解得，
∴点坐标为，
将点代入中，可得，
解得，
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题．根据点是直线与双曲线的其中一个交点，将点代入中，可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点M的坐标，再将点代入中可求出k的值，进而求出答案.
5．（2024九上·绍兴期末）如图，是的角平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点E，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.在上截取一点E，使，连接，利用角平分线的定义可得，再结合AE=AC，AD=AD，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用线段的运算可得：得，根据等边对等角可得：，再根据三角形外角的性质可得，进而可求出∠C．
6．（2024九上·绍兴期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵对任意实数x，抛物线在直线的上方，
即抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程，即没有实数根，
则，
解得，
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式．根据题意可得抛物线与直线没有交点，进而可转化为：一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式可得：，解不等式可求出实数m的取值范围．
7．（2024九上·绍兴期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：如图：连接，连接格点D、F交于F，
由网格图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题考查平行线分线段成比例、求角的正切值．连接，连接格点D、F交于F，根据网格图可知：，根据，利用平行线分线段成比例定理可得，再利用对顶角可得，据此可求出答案．
8．（2024九上·绍兴期末）如图，将正方形折叠，使点A与的三等分点E重合，折痕为，设梯形的面积为，梯形的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵为边的三等分点，
∴，或，
如图，当时，连接，设正方形边长为，
由翻折知，，
设，则，设，则，
∵正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在、中，，
∴，
∴，，
∵梯形面积为，梯形面积为，且，
∴；
如图，当时，
同理，；
综上，，
故答案为：A
【分析】本题考查正方形的性质、翻折的性质、勾股定理、梯形的面积公式.根据三等分点的性质可得：，或， 分两种情况：，或，连接，设正方形边长为，设，则，设，则，在、、中，利用线段的运算可列出方程：，，解方程可求出x，n的值，再利用梯形的面积计算公式进行计算可得：；或，据此可求出答案.
9．（2024九上·绍兴期末）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动一周．若点的运动速度为，设点的运动时间为的长度为与的函数图象如图所示．当是的一条三等分线时，（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由图可知，
，
，
如图所示，、是的三等分线，
则，
，
，
，，
，
，
同理可得：，
在和中，，，
，
，
，
整理得：，
解得：或(舍去)，
同理可得：，
点从点运动到点时需要的时间为，
点从点运动到点时需要的时间为，
当是的一条三等分线时，运动的时间为秒或秒，
故答案为：B
【分析】本题考查函数图象、相似三角形的判定和性质．首先根据函数图象可以得到，根据，利用三角形的内角和定理可以求出，假如、是的三等分线，可得，利用角的运算可推出，根据等角对等边可得：AC=DC， 同理可得：，再根据，， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，解方程求出的长度，同理可求出的长度，当点运动到点和的位置时恰好是的三等分线，根据运动的路程和运动速度可求出 点从点运动到点时需要的时间 ，进而可求出答案．
10．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理． 取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则 ，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，， 再利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出：，进而可推出当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，利用勾股定理可推出， 再通过计算可得：， 再结合， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则，进而可选出答案．
11．（2024九上·绍兴期末）已知实数满足，则 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴代入到上式，即原式，
，
，
，
故答案为：
【分析】本题考查分式混合运算的应用：分式的化简求值．根据题意得：，再将原式进行化简可得：，再将代入原式，可得原式，再进行化简可求出答案.
12．（2024九上·绍兴期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲的帕斯卡1654年才发现这一规律，比杨辉要迟393年．如图，若代表杨辉三角的第i行第j个数，则 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得，第3行的第3个数为，
第4行的第3个数为，
第5行的第3个数为，
第6行的第3个数为，
……
第行的第3个数为，
∴第行的第3个数为，
即．
故答案为：
【分析】本题考查数字类规律．观察图形可得：第3行的第3个数为，第4行的第3个数为，第5行的第3个数为，第6行的第3个数为，据此可推出到第行的第3个数为，再进行计算可求出答案．
13．（2024九上·绍兴期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示：
故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或，
故答案为：或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质.先利用二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，画出函数图象，再根据直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，观察函数图象可求出实数m的取值范围.
14．（2024九上·绍兴期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个，
第二只猴子所分的桃子有个，即个，
第一只猴子所分的桃子有个，即个，
，
且和均为正整数，
为正整数，
是的倍数，
的最小值为，
当时，，
桃子至少有个，
故答案为：
【分析】本题考查列代数式．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个，再根据题意可得第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子所分的桃子有个，根据题意可得，根据和均为正整数，可推出x+1是的倍数，进而可求出x的值，据此可求出桃子至少有的个数.
15．（2024九上·绍兴期末）如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时， ．
【答案】2
【知识点】圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，取中点O，连接，延长至点，使得，连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
由题意得，，
∴，
∴点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∴当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，如图：
∵点G是上靠近点A的三等分点，
∴
∵半径为3，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴在中，由勾股定理得，，
故答案为：2
【分析】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆的切线性质．取中点O，连接，延长至点，使得，连接，利用等边三角形的性质可得，， 再根据，据此可得，则点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，由题意得，，利用三角形的中位线定理得到，故点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，那么当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，利用余弦的定义可得：，利用正弦的定义可得：，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理可求出FG的值．
16．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
【答案】30
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵正整数a，b，c，满足，，均为正整数，
∴，，，
∴，，
假设，则，，则为正整数，为正整数，，
∴为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
故的最大值为，因此，，，此时，，，满足题意，
∴的最大值是，
故答案为：
【分析】本题考查比例的性质. 根据题意可得：，，，利用不等式的性质可推出，，，假设，则，，则为正整数，为正整数，，再根据，，均为正整数可推出为正整数，再分四种情况：，，，，依次求出的值，进而可求出k的最大值，求出a，b，c的值，求出的最大值.
17．（2024九上·绍兴期末）已知函数的图象与x轴交于，点M是直线上的动点．
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：∵点M为直线上一动点，
∴的高为定值2，
，
，
当时，，
解得：，，
，
，
．
（2）解：，∵的两个不等根分别为，，
∴，
，
，
，
令，
抛物线的对称轴为，
，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查求解抛物线与坐标轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质；
（1）根据点M为直线上一动点，可推出的高为定值2，当时，令y=0，列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出点A和点B的坐标为：，再利用两点间的距离公式进行计算可得：，再利用三角形的面积公式计算可求出答案；
（2）由的两个不等根分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据，将括号展开可得：
，再结合，令，利用二次函数的性质可求出的最小值，据此可求出式子的取值范围.
（1）解：∵点M为直线上一动点，
∴的高为定值2，
，
，
当时，，
解得：，，
，
，
．
（2）解：，
∵的两个不等根分别为，，
∴，
，
，
，
令，
抛物线的对称轴为，
，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为，
∴．
18．（2024九上·绍兴期末）如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长度．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴。
（2）解：过点E作，则，
∴；
设．
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，负值已舍去．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．（1）先利用正方形的性质可得，，，利用角的运算可得，再结合CH=CE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，，可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出，利用等腰直角三角形的性质求得，据此可证明结论成立；
（2）过点E作，根据等角对等边可得：，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出，根据，利用全等三角形的性质可得：，利用正方形的性质可得：，即，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，解方程可求出BG的值，进而可求出答案．
（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：过点E作，
则，
∴；
设．
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，负值已舍去．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴．
19．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
。
（2）解：∵，∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，二次函数的图象和性质．
（1） 当，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数可得：，再根据都是正整数，可列出方程组或，解方程组可求出k的值，据此可求出答案；
（2）当 时，一次函数为，进而可得，变形可得：，采用换元法令，则，再由函数图象所有交点的横坐标都大于，令，通过配方可得：，利用二次函数的性质可求出m的最大值.
（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
；
（2）解：∵，
∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
20．（2024九上·绍兴期末）已知a，b为实数，函数，其中．
（1）若，求y的最大值；
（2）若在内恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
，
∴当时有最小值，当时有最大值，
，
∴，
∴的最大值是7。
（2）解：∵在内恒成立，
∴，
，
，
，
，
，
，
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，
所以，此时，
所以；
当时，即，
从而，解得，
所以，
此时，
所以；
综上所述：的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题考查二次函数与不等式、方程的综合应用．
（1）由，通过配方可得，进而可求出当时有最小值，当时有最大值，求出当得，进而可求出的最大值；
（2）由在内恒成立，据此可转化为：，再进行取绝对值化简可得：，再进行化简可得：，再进行整理可得在内恒成立，分三种情况：当时；当时；当时；可列出对应的不等式；；，解不等式可求出实数a的取值范围，再根据，据此可求出的取值范.
（1）解：∵，
∴，
，
∴当时有最小值，当时有最大值，
，
∴，
∴的最大值是7；
（2）解：∵在内恒成立，
∴，
，
，
，
，
，
，
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，
所以，此时，
所以；
当时，即，
从而，解得，
所以，
此时，
所以；
综上所述：的取值范围是．
21．（2024九上·绍兴期末）如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F．
（1）若，求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
∵，
∴，
解得，
，
∴，
∴，即，
。
（2）解：作的平分线交于点G，连接，
∴，
又∵，
∴，
，，
，
设，则，
又
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．
（1）先根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出EF的值；
（2）作的平分线交于点G，得，利用角的运算可得：，据此可推出，，再由平行线的性质可得，设，则，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，进而可得：，再利用勾股定理可列出关于x的方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案．
（1）解：，
，
，
∵，
∴，
解得，
，
∴，
∴，即，
；
（2）解：作的平分线交于点G，连接，
∴，
又∵，
∴，
，，
，
设，则，
又
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
浙江绍兴柯桥区2024-2025学年九年级上学期期末考数学试卷
1．（2024九上·绍兴期末）已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·绍兴期末）若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2024九上·绍兴期末）一个不透明袋子中装有除颜色外其余都相同的个红球，个黄球，个蓝球，同时从中随机摸出两个球，这两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·绍兴期末）在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·绍兴期末）如图，是的角平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·绍兴期末）若对任意实数x，抛物线在直线的上方，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·绍兴期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（2024九上·绍兴期末）如图，将正方形折叠，使点A与的三等分点E重合，折痕为，设梯形的面积为，梯形的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2024九上·绍兴期末）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动一周．若点的运动速度为，设点的运动时间为的长度为与的函数图象如图所示．当是的一条三等分线时，（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·绍兴期末）已知实数满足，则 ．
12．（2024九上·绍兴期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲的帕斯卡1654年才发现这一规律，比杨辉要迟393年．如图，若代表杨辉三角的第i行第j个数，则 ．（用含n的代数式表示）
13．（2024九上·绍兴期末）若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是 ．
14．（2024九上·绍兴期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个．
15．（2024九上·绍兴期末）如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时， ．
16．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
17．（2024九上·绍兴期末）已知函数的图象与x轴交于，点M是直线上的动点．
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围．
18．（2024九上·绍兴期末）如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长度．
19．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
20．（2024九上·绍兴期末）已知a，b为实数，函数，其中．
（1）若，求y的最大值；
（2）若在内恒成立，求的取值范围．
21．（2024九上·绍兴期末）如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F．
（1）若，求的长；
（2）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查用有理数估计无理数，先估算无理数的大小可得，再利用不等式的性质可得：，据此可找出的整数部分和和小数部分：，；再把a、b的值代入代数式中计算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：A
【分析】本题考查分式化简和代数式求值.先进行提取公因式化简可得：原式，再进行约分，提取公因式可得：原式=，再将代入原式中进行计算可求出答案．
3．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：记个红球为红，红，红伞，个黄球分别为黄，黄，故列表得：
由表可得：共有种等可能出现的结果，其中两个球颜色不同的结果有种，
∴两个球颜色不同的概率是，
故答案为：C
【分析】本题考查是用列表法或树状图法求概率键．记个红球为红，红，红伞，个黄球分别为黄，黄，再通过列找出所有等可能的结果数，再中两个球颜色不同的结果数，再利用概率公式进行计算可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点是直线与双曲线的其中一个交点，
∴将点代入中，可得，
解得，
∴点坐标为，
将点代入中，可得，
解得，
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题．根据点是直线与双曲线的其中一个交点，将点代入中，可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点M的坐标，再将点代入中可求出k的值，进而求出答案.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点E，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.在上截取一点E，使，连接，利用角平分线的定义可得，再结合AE=AC，AD=AD，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用线段的运算可得：得，根据等边对等角可得：，再根据三角形外角的性质可得，进而可求出∠C．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵对任意实数x，抛物线在直线的上方，
即抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程，即没有实数根，
则，
解得，
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式．根据题意可得抛物线与直线没有交点，进而可转化为：一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式可得：，解不等式可求出实数m的取值范围．
7．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：如图：连接，连接格点D、F交于F，
由网格图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题考查平行线分线段成比例、求角的正切值．连接，连接格点D、F交于F，根据网格图可知：，根据，利用平行线分线段成比例定理可得，再利用对顶角可得，据此可求出答案．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵为边的三等分点，
∴，或，
如图，当时，连接，设正方形边长为，
由翻折知，，
设，则，设，则，
∵正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在、中，，
∴，
∴，，
∵梯形面积为，梯形面积为，且，
∴；
如图，当时，
同理，；
综上，，
故答案为：A
【分析】本题考查正方形的性质、翻折的性质、勾股定理、梯形的面积公式.根据三等分点的性质可得：，或， 分两种情况：，或，连接，设正方形边长为，设，则，设，则，在、、中，利用线段的运算可列出方程：，，解方程可求出x，n的值，再利用梯形的面积计算公式进行计算可得：；或，据此可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由图可知，
，
，
如图所示，、是的三等分线，
则，
，
，
，，
，
，
同理可得：，
在和中，，，
，
，
，
整理得：，
解得：或(舍去)，
同理可得：，
点从点运动到点时需要的时间为，
点从点运动到点时需要的时间为，
当是的一条三等分线时，运动的时间为秒或秒，
故答案为：B
【分析】本题考查函数图象、相似三角形的判定和性质．首先根据函数图象可以得到，根据，利用三角形的内角和定理可以求出，假如、是的三等分线，可得，利用角的运算可推出，根据等角对等边可得：AC=DC， 同理可得：，再根据，， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，解方程求出的长度，同理可求出的长度，当点运动到点和的位置时恰好是的三等分线，根据运动的路程和运动速度可求出 点从点运动到点时需要的时间 ，进而可求出答案．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理． 取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则 ，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，， 再利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出：，进而可推出当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，利用勾股定理可推出， 再通过计算可得：， 再结合， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则，进而可选出答案．
11．【答案】
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴代入到上式，即原式，
，
，
，
故答案为：
【分析】本题考查分式混合运算的应用：分式的化简求值．根据题意得：，再将原式进行化简可得：，再将代入原式，可得原式，再进行化简可求出答案.
12．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得，第3行的第3个数为，
第4行的第3个数为，
第5行的第3个数为，
第6行的第3个数为，
……
第行的第3个数为，
∴第行的第3个数为，
即．
故答案为：
【分析】本题考查数字类规律．观察图形可得：第3行的第3个数为，第4行的第3个数为，第5行的第3个数为，第6行的第3个数为，据此可推出到第行的第3个数为，再进行计算可求出答案．
13．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示：
故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或，
故答案为：或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质.先利用二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，画出函数图象，再根据直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，观察函数图象可求出实数m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个，
第二只猴子所分的桃子有个，即个，
第一只猴子所分的桃子有个，即个，
，
且和均为正整数，
为正整数，
是的倍数，
的最小值为，
当时，，
桃子至少有个，
故答案为：
【分析】本题考查列代数式．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个，再根据题意可得第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子所分的桃子有个，根据题意可得，根据和均为正整数，可推出x+1是的倍数，进而可求出x的值，据此可求出桃子至少有的个数.
15．【答案】2
【知识点】圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，取中点O，连接，延长至点，使得，连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
由题意得，，
∴，
∴点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∴当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，如图：
∵点G是上靠近点A的三等分点，
∴
∵半径为3，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴在中，由勾股定理得，，
故答案为：2
【分析】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆的切线性质．取中点O，连接，延长至点，使得，连接，利用等边三角形的性质可得，， 再根据，据此可得，则点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，由题意得，，利用三角形的中位线定理得到，故点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，那么当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，利用余弦的定义可得：，利用正弦的定义可得：，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理可求出FG的值．
16．【答案】30
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵正整数a，b，c，满足，，均为正整数，
∴，，，
∴，，
假设，则，，则为正整数，为正整数，，
∴为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
故的最大值为，因此，，，此时，，，满足题意，
∴的最大值是，
故答案为：
【分析】本题考查比例的性质. 根据题意可得：，，，利用不等式的性质可推出，，，假设，则，，则为正整数，为正整数，，再根据，，均为正整数可推出为正整数，再分四种情况：，，，，依次求出的值，进而可求出k的最大值，求出a，b，c的值，求出的最大值.
17．【答案】（1）解：∵点M为直线上一动点，
∴的高为定值2，
，
，
当时，，
解得：，，
，
，
．
（2）解：，∵的两个不等根分别为，，
∴，
，
，
，
令，
抛物线的对称轴为，
，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查求解抛物线与坐标轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质；
（1）根据点M为直线上一动点，可推出的高为定值2，当时，令y=0，列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出点A和点B的坐标为：，再利用两点间的距离公式进行计算可得：，再利用三角形的面积公式计算可求出答案；
（2）由的两个不等根分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据，将括号展开可得：
，再结合，令，利用二次函数的性质可求出的最小值，据此可求出式子的取值范围.
（1）解：∵点M为直线上一动点，
∴的高为定值2，
，
，
当时，，
解得：，，
，
，
．
（2）解：，
∵的两个不等根分别为，，
∴，
，
，
，
令，
抛物线的对称轴为，
，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为，
∴．
18．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴。
（2）解：过点E作，则，
∴；
设．
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，负值已舍去．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．（1）先利用正方形的性质可得，，，利用角的运算可得，再结合CH=CE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，，可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出，利用等腰直角三角形的性质求得，据此可证明结论成立；
（2）过点E作，根据等角对等边可得：，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出，根据，利用全等三角形的性质可得：，利用正方形的性质可得：，即，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，解方程可求出BG的值，进而可求出答案．
（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：过点E作，
则，
∴；
设．
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，负值已舍去．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴．
19．【答案】（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
。
（2）解：∵，∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，二次函数的图象和性质．
（1） 当，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数可得：，再根据都是正整数，可列出方程组或，解方程组可求出k的值，据此可求出答案；
（2）当 时，一次函数为，进而可得，变形可得：，采用换元法令，则，再由函数图象所有交点的横坐标都大于，令，通过配方可得：，利用二次函数的性质可求出m的最大值.
（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
；
（2）解：∵，
∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
，
∴当时有最小值，当时有最大值，
，
∴，
∴的最大值是7。
（2）解：∵在内恒成立，
∴，
，
，
，
，
，
，
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，
所以，此时，
所以；
当时，即，
从而，解得，
所以，
此时，
所以；
综上所述：的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题考查二次函数与不等式、方程的综合应用．
（1）由，通过配方可得，进而可求出当时有最小值，当时有最大值，求出当得，进而可求出的最大值；
（2）由在内恒成立，据此可转化为：，再进行取绝对值化简可得：，再进行化简可得：，再进行整理可得在内恒成立，分三种情况：当时；当时；当时；可列出对应的不等式；；，解不等式可求出实数a的取值范围，再根据，据此可求出的取值范.
（1）解：∵，
∴，
，
∴当时有最小值，当时有最大值，
，
∴，
∴的最大值是7；
（2）解：∵在内恒成立，
∴，
，
，
，
，
，
，
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意；
当时，即，从而，解得，
所以，此时，
所以；
当时，即，
从而，解得，
所以，
此时，
所以；
综上所述：的取值范围是．
21．【答案】（1）解：，
，
，
∵，
∴，
解得，
，
∴，
∴，即，
。
（2）解：作的平分线交于点G，连接，
∴，
又∵，
∴，
，，
，
设，则，
又
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．
（1）先根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出EF的值；
（2）作的平分线交于点G，得，利用角的运算可得：，据此可推出，，再由平行线的性质可得，设，则，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，进而可得：，再利用勾股定理可列出关于x的方程，解方程可求出x的值，进而可求出答案．
（1）解：，
，
，
∵，
∴，
解得，
，
∴，
∴，即，
；
（2）解：作的平分线交于点G，连接，
∴，
又∵，
∴，
，，
，
设，则，
又
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
