2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期初态考试数学试题
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（）
A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收；
B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问；
C. 一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查；
D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌．
2.若直线：ax＋4y－2＝0与直线：2x－5y＋b＝0垂直于点(1，c)，则a＋b＋c＝( )
A. 2 B. 4 C. －2 D. －4
3.要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）
A. 24 B. 72 C. 144 D. 288
4.如图,某电子元件由A,B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,B,C三种部件不能正常工作的概率分别为,,,各个部件是否正常工作相互独立,则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是 .
6.若直线与直线平行，则 .
7.若事件与事件是独立的，，，则 .
8.已知圆C直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .
9.若的展开式中的系数为，则a的值为 ．
10.将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 .
11.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 .
12.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为 .
13.设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含的代数式表示）附参考公式：
14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动，设，若，则四面体体积的最大值为 ．
15.设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达）
16.一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动－步.设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为1．
（Ⅰ）求实数a和n的值；
（Ⅱ）求展开式中系数最小的项．
18.(本小题12分)
已知圆，点，点，
(1)若直线，与圆相交于、两点，且，求直线的方程，
(2)在圆上是否存在点，使？若存在求出点的个数，若不存在，说明理由.
19.(本小题12分)
已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示.
(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)若点满足.
（i）平面，求的值；
（ii）若与平面所成角为，求的最大值.
20.(本小题12分)
现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆.
(1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；
(2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”.
（i）求直线的方程；
（ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题12分)
折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国．折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点，此时圆弧上与点重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点．
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)设直线l：与曲线交于两点．
①若直线过点，且的面积为，求实数的值；
②若直线过定点，为坐标平面上的动点，直线斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理．
答案
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】或
9.【答案】2
10.【答案】1275
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：(Ⅰ)仅有第5项的二项式系数最大,则n=8.
令x=1,则=1，又a0,则a=2.
故n=8；a=2.
(Ⅱ) 二项展开式的通项为:
==，
假设第k+1项的系数的绝对值最大,由通项可得:
，
解得:5k6.
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又因为展开式中奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,
故展开式中系数最小的项是第6项:
==-.
18.【答案】（1）解：由得，，
∴圆心，半径，
由题意得，，直线的斜率，
设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
∵，
∴，即：，解得或，
∴直线的方程为：或；
（2）设圆上存在点使，
即，化简得，
∴点在圆心为，半径为2的圆上，
∵，
∴圆与圆有两个交点，
∴点的个数为2.
19.【答案】（1）如图，取中点，连接，，
由图①可知，、是正三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、、、，
因为，，
设平面的一个法向量，
所以，
令，得，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
则平面与平面夹角的正弦值为.
（2）（i）因为，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
所以，
令，得，，所以，
因为平面，所以，即，
解得.
（ii）则，，
因为，设，以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
若与平面所成角为，则，
设，其中，
则，
当时，；
当时，
，
当时，取最小值，的最大值为.
20.【答案】（1）设，因为点为圆的“上进点”，
所以，即，又，得到，
所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心 为半径的圆.
（2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”，
由为圆的“上进点”，得，所以，
即点在圆上，
由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上，
所以点是圆和的交点.
因为均为圆“”的“牵连点”，
所以直线为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为.
（ii）因为的圆心为，半径为，
又的圆心为，半径为，
所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，则，
所以圆的方程为，
假设轴上存在点满足题意，设.
则，即，整理得.
将，代入上式可得，
整理得①，
联立，消可得，，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以，
故轴上存在点，满足题意恒成立.
21.【答案】（1）以所在的直线为x轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知且，
则曲线是以为左右焦点，长轴长，焦距的椭圆，
其中，，，所以曲线的标准方程为．
（2）（2）①由（1）知，直线l：过，
可得：，即，
所以由直线l：与曲线的标准方程联立方程组，
消去y得，．
设两交点，，则有，，
所以，
又椭圆左焦点到直线l：的距离为，
所以，
解得或（舍去），即;
（2）②解：设点，设点、，
因为直线l过定点，所以直线的方程为，
联立消去y得，．
∴，，，，，
因为直线斜率的倒数成等差数列，即，
所以，，即，
将，代入上述等式可得，
当时点N在l上，显然满足
当时，，
整理可得，
可得，
即，
即对任意的恒成立，
所以，，解得或．
由于的斜率不为0，所以，故；
所以点是在定直线上．
第1页，共1页
