2024-2025学年云南省文山州重点学校高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.圆：与圆：的位置关系为( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含
4.学校组织知识竞赛，某班名学生的成绩单位：分分别是，，，，，，，，则这名学生成绩的分位数是( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
5.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，则( )
A. B. C. D.
6.把一个高的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是( )
A. B. C. D.
7.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积据此得某椭圆面积为，且在轴上的两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，为底面上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若两直线：与：平行，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则( )
A. B. 是平面的一个法向量
C. 共面 D. 点到平面的距离为
11.如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值若点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 面积的最大值为 D. 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若直线与圆：相交于，两点，则 ______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点若，且，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，．
求恒过的定点的坐标；
若经过点，求直线的方程．
16.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，为的中点，的面积为，求的长．
17.本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到以上含的同学将得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有人获得优秀奖的概率．
18.本小题分
如图，底面四边形是正方形，平面，平面，，．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆：的相似椭圆已知椭圆：的相似椭圆为：且，
求证：椭圆与椭圆的离心率相等；
若直线，与椭圆均有且只有一个公共点，且，的斜率之积为，求证：，的交点在椭圆的相似椭圆上；
若为椭圆上异于左、右顶点，的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由：，可得，
由解得，所以直线恒过点．
若经过点，直线：，，
所以，解得，
所以直线的方程为．
16.解：，由正弦定理可得，
可得，即，所以．
因为，所以．
因为，，的面积为，
所以，由知，可得，
因为，可得：，
解得，可得的长为．
17.解：已知只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，
规定比赛成绩达到以上含的同学将得优秀奖，
设事件为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
因为比赛成绩达到以上含的同学将得优秀奖，
甲以往的次比赛成绩中达到以上含的有，，，，共次，
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
由知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
设事件为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
乙以往的次比赛成绩中达到以上含的有，，，共次，
故，
事件为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
丙以往的次比赛成绩中达到以上含的有，，共次，
故，
则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有人获得优秀奖的概率为：
．
18.解：证明：因为底面四边形是正方形，
所以，
因为平面，且平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
因为平面，且四边形为矩形，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
由题可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
设二面角为，所以，
所以二面角的正弦值．
19.解：证明：当且时，把方程表示的椭圆称为椭圆：的相似椭圆，
椭圆：的相似椭圆为：且，
椭圆的离心率为，
可化为，
其离心率为，
，
椭圆与椭圆的离心率相等．
证明：直线，与椭圆均有且只有一个公共点，且，的斜率之积为，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为：与椭圆联立得：
，
，
即：亦即：，
用代换的得：，
式乘式得：，
两边同除得：，
即点在椭圆上，
亦即：在椭圆的相似椭圆上，
，的交点在椭圆的相似椭圆上．
为椭圆上异于左、右顶点，的任意一点，
直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，
椭圆的标准方程为：，
，
设，易知直线，的斜率均存在且不为，
，
在椭圆上，，即，
．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为．
由，得，
设，，则，
，
由替换可得，
．
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