【50道填空题专练】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
2． 计算： ．
3．若，都是实数，，则的值为 ．
4．已知 是整数，自然数n的最小值为 .
5．若 是正整数，则整数n的最小值为 .
6．若，则a的值是 ．
7．若最简二次根式与可以合并，则的值 ．
8． 若，则的值等于
9．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为相a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦﹣秦九韶公式，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算以下△ABC的面积为 ．
10． 已知，则代数式的值是 ．
11．若是整数，写出一个符合条件的整数n的值： ．
12．若最简二次根式与可以合并，则 ．
13． ．
14．若a，b为有理数，且，则a+b= ．
15．下列运算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．(填序号)
16．若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是 ．
17．在函数)y= 中，自变量x的取值范围是 。
18．如果 与最简二次根式 可以合并成一个二次根式，则a=
19．计算： ＝ .
20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
21．如图，将边长为的正三角形ABC绕它的中心O旋转60°，阴影部分的面积为 ．
22．若，则 ．
23．已知，，则代数式的值为 ．
24．已知，则的值是 ．
25．使 成立的条件是 .
26．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，则剩余木料(阴影部分)的面积为 dm2．
27．已知（m-3）≤0.若整数a满足m+a＝5，则a＝ .
28．若实数a、b满足等式 ，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 .
29．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设 ，易知 ，故 ，由 ，解得 ，即 。根据以上方法，化简 的结果为 ．
30．设实数 的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝ ．
31．已知 ，则代数式 ．
32．若 是整数，则满足条件的自然数n可以是 (写出一个即可)
33．已知 ，化简： .
34．已知：x＝，计算x2-x+1的值是 .
35．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 ．
36．比较大小： ．
37．已知 ，则 ．
38．写出一个使二次根式 有意义的x的值为 ．
39．已知 ，则 的值为 ．
40．下列二次根式，不能与 合并的是 （填写序号）
① ；② ；③ ；④
41．已知 ﹣ =2，则 的值为 ．
42．要使分式 有意义，x的取值范围为 ．
43．化简 + = ．
44． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
45．若y= 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为
46．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
47．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
48．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
49．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
50．的一个有理化因式是 ．
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【50道填空题专练】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤3
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤3.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式即可得出答案.
2． 计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可.
3．若，都是实数，，则的值为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得
则b=-3
故
故答案为8
【分析】利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质即可求出答案。
4．已知 是整数，自然数n的最小值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ 是整数，且n为自然数
∴n的最小值为2，此时
故答案为：2.
【分析】利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解.
5．若 是正整数，则整数n的最小值为 .
【答案】3
【解析】【解答】 =2 ，
∵n是一个整数， 是正整数，
∴n的最小值是3.
故答案为：C.
【分析】先化简二次根式为2 ，然后根据二次根式为整数，即可确定n的最小值.
6．若，则a的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴ a=2
故答案为：2.
【分析】本题考查二次根式的加减法计算。二次根式加减法法则，把每一项先化简成最简二次根式，再把被开方数相同的项进行合并，把根号前的有理数系数相加减。
7．若最简二次根式与可以合并，则的值 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得：，解得：．
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据同类二次根式的定义求出a，再进行计算即可.
8． 若，则的值等于
【答案】
【解析】【解答】解：，
∴1-2a=0，3b+a=0，
解得：，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得1-2a=0，3b+a=0，分别求出a和b的值，再计算a+b即可.
9．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为相a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦﹣秦九韶公式，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算以下△ABC的面积为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：2.
【分析】先求出p，再代入面积公式求解.
10． 已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
，
故答案为：．
【分析】把的值代入原式，先根据完全平方公式及平方差公式分别将括号展开，再根据二次根式的性质化简，最后计算有理数的加减法运算即可.
11．若是整数，写出一个符合条件的整数n的值： ．
【答案】1，4，16（答出其中一个即可）
【解析】【解答】解：当n=1时，==4
当n=4时，===2，
当n=16时，==1，
若是整数，则整数n的值可以是1，4，16（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】利用算术平方根的定义得出符合题意的答案即可。
12．若最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵
又∵最简二次根式与可以合并，
∴
解得：．
故答案为：3．
【分析】本题考查二次根式的加法，同类二次根式，最简二次根式的含义．先化简根式可得，再根据同类二次根式概念可列出方程，解方程可求出m的值．
13． ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式和乘方的运算法则，平方差公式．先把原式化成，再利用平方差公式进行化简，再进行运算可求出答案．
14．若a，b为有理数，且，则a+b= ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
且，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据二次根式的加减运算进行化简，进而对应数值即可得到a和b，从而即可求解。
15．下列运算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．(填序号)
【答案】④
【解析】【解答】，故①计算错误不符合题意；与不能直接相加减，故②错误，不符合题意；计算错误，故③不符合题意；，计算正确，故④符合题意；⑤，故⑤不符合题意；
正确的只有④ .
【分析】根据二次根式的性质可判断①⑤错误；根据二次根式额加减可判断② 错误；根据二次根式的乘法可判断③错误，④正确.
16．若 的整数部分为x，小数部分为y，则 的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】∵ 的整数部分为1,小数部分为 1，
∴x=1,y= 1，
∴x y= ( 1)=1.
故答案为1.
【分析】根据题意得到, 求值即可.
17．在函数)y= 中，自变量x的取值范围是 。
【答案】x>5
【解析】【解答】解：根据题意可知
x-5＞0
x＞5
【分析】由分式以及二次根式有意义的条件，即可得到x的条件。
18．如果 与最简二次根式 可以合并成一个二次根式，则a=
【答案】5
【解析】【解答】解：∵ ，
而最简二次根式 与 可以合并成一个二次根式，即它们是同类二次根式，
∴3a﹣8＝7，
∴a＝5．
故答案为5．
【分析】根据同类二次根式的定义可得到3a﹣8＝7，然后解方程即．
19．计算： ＝ .
【答案】2 ＋1
【解析】【解答】解：原式==
故答案为：
【分析】根据二次根式的除法法则，先计算后化简即可解答。
20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：6※3= =1．
故答案为：1
【分析】根据新定义得到算式，再化简二次根式可得.
21．如图，将边长为的正三角形ABC绕它的中心O旋转60°，阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为 ×3=1，且面积是△ABC的，
∴△ABC的高是，一个小等边三角形的高是，
∴△ABC的面积是，一个小等边三角形的面积是，
所以重叠部分的面积是．
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为1，面积是ΔABC的，重叠部分的面积是ΔABC与三个小等边三角形的面积之差，计算可得答案．
22．若，则 ．
【答案】0
【解析】【解答】解：∵，
∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，
当x＞0，y＜0时，
原式==1-1=0，
当x＜0，y＞0时，
原式==0，
∴原式的值为0；
故答案为：0.
【分析】由，可得x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，分两种情况，利用二次根式的性质分别化简，即可求值.
23．已知，，则代数式的值为 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：18.
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可.
24．已知，则的值是 ．
【答案】11
【解析】【解答】解：∵
∴ =（a+1）2=（-1+1）2=11；
故答案为：11.
【分析】将原式化为（a+1）2，再代入计算即可.
25．使 成立的条件是 .
【答案】x≤4
【解析】【解答】解：∵，
∴x-4≤0且6-x≥0，
解得x≤4.
故答案为：x≤4.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质可得x-4≤0且6-x≥0，求解即可.
26．有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，则剩余木料(阴影部分)的面积为 dm2．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，
∵两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板 ，
∴AF=BC=，DE=AB=，
∴，
∴阴影部分的面积为.
故答案为：6
【分析】利用正方形的面积可求出AF，DE，AB的长，再求出AD+EF的长，然后根据阴影部分的面积=AB（AD+EF），代入计算可求解.
27．已知（m-3）≤0.若整数a满足m+a＝5，则a＝ .
【答案】5
【解析】【解答】解：∵（m-3）≤0，
∴，
∴2≤m≤3，
∵整数a满足m+a＝5，
∴m＝5-a，
∴2≤5-a≤3，
∴5-3≤a≤5-2，
∵7＜5＜8，
∴4＜a＜6
∴a是整数，
∴a＝5.
故答案为：5.
【分析】根据已知条件结合二次根式有意义的条件可得m-2≥0且m-3≤0，求出m的范围，根据m+a＝5表示出m，由m的范围可求出a的范围，进而可得整数a的值.
28．若实数a、b满足等式 ，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 .
【答案】20
【解析】【解答】解：根据题意得，a-4=0，8-b=0， 解得a=4，b=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8， ∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20.
故答案为：20.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的定义可得a-4=0，8-b=0，求出a、b的值，接下来分a为腰长、a为底，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
29．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设 ，易知 ，故 ，由 ，解得 ，即 。根据以上方法，化简 的结果为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设，
∴x＜0
∴
=
∴
∴原式=
【分析】根据阅读材料，设，利用平方法可求出x的值，然后代入进行化简，可求出结果.
30．设实数 的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
∴（2a+b）（2a﹣b）=4a2-b2=4×32-（-3）2=17+6.
故答案为：17+6.
【分析】先估算出3＜＜4，得出a=3，b=-3，代入原式进行计算，即可得出答案.
31．已知 ，则代数式 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x=-2，y=+2，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=（-2++2）（-2--2）=2×（-4）=-8.
故答案为：-8.
【分析】利用平方差公式将x2-y2因式分解为（x+y）（x-y），将x和y的值代入后，再利用二次根式的加减法、乘法计算即可求解.
32．若 是整数，则满足条件的自然数n可以是 (写出一个即可)
【答案】12或11或8或3
【解析】【解答】解：∵要使二次根式有意义，
∴12-n≥0，即n≤12，
∵n是自然数，是整数
∴n只能是3或8或11或12，
∴满足条件的n共有4个值，写出一个即可.
故答案为：3或8或11或12（填一个即可）.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出n≤12，在此范围内要使是整数，n只能是3或8或11或12，填写其中一个即可．
33．已知 ，化简： .
【答案】
【解析】【解答】解： 二次根式 ，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得y<0，再根据xy<0可得x>0，则待求式可变形为，然后结合绝对值的性质进行化简.
34．已知：x＝，计算x2-x+1的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵x===+1，
∴x2-x+1=（+1）2-（+1）+1
=4+2--1+1
=+4.
故答案为：.
【分析】利用分母有理化可得x=+1，然后代入x2-x+1中进行计算即可.
35．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b= ．故答案为 ．
【分析】利用绝对值的性质及二次根式的性质与化简进行解答.
36．比较大小： ．
【答案】＜
【解析】【解答】 解：
∵
∴即
故答案为： ＜ .
【分析】由观察可得，把两式分别分子有理化，由于分子相等，只要比较分母的大小。根据分子相等，分母越大分式的值反而小，得
37．已知 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】由题意得：
，
．
故答案为 ．
【分析】先利用完全平方公式和二次根式的性质化简，再去绝对值，最后合并同类项即可。
38．写出一个使二次根式 有意义的x的值为 ．
【答案】2021（不唯一）
【解析】【解答】解：∵ ， ，∴只要任取一个大于等于2020的数就可以，答案有无数个．
故答案是：2021（不唯一）．
【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可。
39．已知 ，则 的值为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
=1，
∴
=
=
=9
故答案为：9．
【分析】先求出a+b、ab的值，利用配方法将原式变形为= ，然后整体代入计算即可.
40．下列二次根式，不能与 合并的是 （填写序号）
① ；② ；③ ；④
【答案】②④
【解析】【解答】解： ，① ，② ；③ ；④ ．
不能与 合并的是 和 ．
故答案为：②④．
【分析】先将个二次化简为最简二次根式，然后找出与 被开方数不同的二次根式即可．
41．已知 ﹣ =2，则 的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵ ﹣ =2，
∴x+ ﹣2=4，
则x+ =6，
故（x+ ）2=36，
则x2+ +2=36，
故x2+ =34，
则 = =4 ．
故答案为：4 ．
【分析】直接利用完全平方公式进而得出x+ =6，进而得出x2+ =34，即可得出答案．
42．要使分式 有意义，x的取值范围为 ．
【答案】x≥0
【解析】【解答】解：要使分式 有意义，必须x≥0且x+5≠0，
解得：x≥0．
故答案为：x≥0．
【分析】根据已知得出x≥0且x+5≠0，求出即可．
43．化简 + = ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=2 + = ．
【分析】运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
44． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
45．若y= 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为
【答案】
【解析】【解答】解：y2=
=
∵1-x≥0，且x-≥0
得≤x≤1
∵
∴当x=时，y2取得最大值1，
故a=1.
当x=或1时，y2取得最小值
故b=
∴a2+b2=
故答案为：。
【分析】本题将原始进行平方计算，即可统一到一个根号下面。此时根号下面的式子是一个抛物线方程，即可在x的范围之内确定最大值和最小值，最后代入计算即可。
46．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
47．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
48．计算（5+ ）（ ﹣ ）= ．
【答案】
【解析】【解答】原式=（5+ ）（ － ）= + - - = ．
【分析】快速准确的进行二次根式的加减混合运算是学生学习本节的一项基本要求．
49．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
【答案】
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
50．的一个有理化因式是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴的一个有理化因式是，
故答案为： .
【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可，两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互相叫作有理化因式.
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