【50道综合题专练】浙教版七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，∠B＝71°，∠1＝71°，∠D＝45°.
（1）试说明AB∥CD；
（2）求∠A的度数，（要求写出每一步的依据）
2．如图，已知△ABC．
（1）若AB=4，AC=5，则BC边的取值范围是 ；
（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=55°，∠ACD=125°，求∠B的度数．
3．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画L1∥OA；
（2）过P画L2∥OB；
（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
4．如图，在三角形 中， 是 延长线上一点， 是 延长线上一点， ， ，
（1） 和 平行吗？为什么？
（2） 是多少度？为什么？
5．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B'，补全△A′B′C′；
（3）在图中画出△ABC的高CD．
6．已知如图，已知，.
（1）判断与是否平行，并说明理由；
（2）说明的理由.
7．如图，已知：DC∥FP，∠1=∠2，∠DEF=30°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG．
（1）求证：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
8．已知：如图，.
（1）判断FH与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若求∠2的度数.
9．如图，，．
（1）试说明：；
（2）若DG是的平分线，，求的度数。
10．如图，已知直线与交于点，，且.
（1）求的度数；
（2）过点在上方作射线，若，求的度数.
11．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数；
（2）若∠1＝∠2，求证：．
12．P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，
（1）补全图形；
（2）猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．
13．如图，，点是上一点，连接，平分交于点，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，连接，若平分，，判断与平行吗？为什么？
14．如图，直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线相交于点E，设∠ABC＝，∠ADC＝．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，探究∠BED与、之间的关系并加以证明：
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，（1）中关系是否依然成立？说明理由．
15．在四边形ABCD中，，．
（1）如图①，若，求出的度数；
（2）如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
（3）如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
16．如图，已知
（1）判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数.
17．如图1，AB、BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）求证：AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
18．如图，点，分别在直线，上，，.射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止.射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当射线经过点时，直接写出此时的值；
（2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
（3）当EM//FN时，求的值.
19．如图，∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B
（1）求证：∠ADE=∠DEF；
（2）判定 DE 与 BC 的位置关系，并说明理由.
20．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1.
（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角.
（2）求证：DF∥AC.
（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值.
21．如图，∠1＝70°，∠2 ＝40°，∠B ＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE平分∠ADC，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
22．如图
如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A B 的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C D 的位置. ①若EF∥C G，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）； ②若B F⊥C G，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数.
23．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．
（1）在动点A运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？
（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；
（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．
24．如图，已知 ， ，线段 上从左到右依次有两点 、 （不与 、 重合）
（1）求证： ；
（2）比较 、 、 的大小，并说明理由；
（3）若 ， 平分 ，且 ，判断 与 的位置关系，并说明理由.
25．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行.如图标注有∠1 ∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°.
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；
（2）直接写出 的度数.
26．如图，直线 与 相交于点O， 平分 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）在 的内部作射线 ，探究 与 之间有怎样的关系？并说明理由．
27．如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2．
（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由．
（2）当∠A=∠C，∠1=40°时，求∠D的度数．
28．如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1+∠2=180°，求证：∠BEC+∠B=180°
（3）在(2)的基础上，若∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数
29．直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ（α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°）
（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请写出这些．
30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD
（1）若∠AOC＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若OF平分∠COB，能判断OE⊥OF吗？（直接回答）
31．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．
32．已知：如图 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
33．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，点D在直线BC上，点F在直线GE上，且∠1=50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交直线BC于点Q，且∠Q=18°，则∠ACB的度数为 °.（直接写出答案）
34．如图，平移线段AB，使点A移动到点A1．
（1）画出平移后的线段A1B1，分别连接AA1，BB1．
（2）分别画出AC⊥A1B1于点C，AD⊥BB1于点D．
（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段 的长度．
（4）线段AB平移的距离，就是线段 的长度．
（5）线段BD的长度，是点B到直线 的距离．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，将线段OA平移至CB，使点A
与点B重合，点D在X轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）写出点C的坐标；
（2）当的面积是 的面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）设 ， ， ，判断 ，之间的数量关系，并说明理由．
36．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D.E.H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3=180°，
（1）求证：∠CEF=∠EAD；
（2）若DH平分∠BDE，∠2=α，求∠3的度数.(用α表示).
37．如图，CD//AB，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°
（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由；
（2）AC和BD有何位置关系？请你说明判断的理由。
38．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝ 时，α＝ ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： ．
39．如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)。
（图①）（图②）（图③）
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1=，S2=，S3=；
（3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
（图④）（图⑤）
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
40．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.
（1）AE与FC会平行吗？说明理由；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么.
41．如图，宏达蔬菜基地内有一块长为216m，宽为108m的长方形土地，三条宽均为xm的田间小路把它分成面积相等的六块，分别种植西红柿、黄瓜、辣椒、芸豆、韭菜、茄子．
（1）求每块种植蔬菜的长方形的面积．（用含x的多项式表示）
（2）当x=1.6m时，求每块种植蔬菜的长方形的面积．（精确到0.01m2）
42．如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面上表示时间的四个数字。
（1）请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可。
（2）若这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字。
43．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别点D、E、F．
（1）直接写出图中与AD相等的线段．
（2）若AB＝3，则AE＝ ．
（3）若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数．
44． 如图，，平分交于点，平分交于点．交于点，平分．
（1）求证：；
（2）试探究和满足的数量关系：
（3）若，求的度数．
45．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
（1）如图2，当与重合时，求证：；
（2）当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
46．如图，直线，点、分别在直线、上，点在和之间，且满足，，点为线段上一点（端点除外），的平分线与的平分线交于点.
（1）当时，求；
（2）请用等式表示与的数量关系；
（3）若时，判断线段与的大小关系，并说明理由.
47．已知三角板中，，，，长方形DEFG中，．将三角板的顶点A放在长方形的边上，与相交于点M．
（1）如图1，若 于点N，则的度数是 ，的度数是 ；
（2）如图2，请你猜想并写出与 的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究与的数量关系？请直接写出数量关系．
48．问题情境
我们知道“如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．
已知三角板ABC中，，，，长方形DEFG中，．
问题初探
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，于点N，则∠EMC的度数是多少呢？
此题有多种解答方法，下面是小军同学的分析过程：
过点C作，则，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
（1）请你直接写出 ， ；
（2） 类比再探
若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并说明理由；
（3） 方法迁移
请你总结（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系，并直接写出结果．
49．在平面直角坐标系中，，，满足，中，的边与轴分别交于、两点，与直线分别交于、两点．
（1）求 ； ．
（2）将直角三角形如图1位置摆放，求证：；
（3）将直角三角形如图2位置摆放，为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由
50．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，
（1）操作发现：如图1，当点落在线段上时，写出图中相等的角（写出三对即可）；
（2）问题解决：如图2，若线段与交于点．
①若时，求的度数；
②当为何值时，使线段最短；
（3）深化拓展：如图3，将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出的度数．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
【50道综合题专练】浙教版七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，∠B＝71°，∠1＝71°，∠D＝45°.
（1）试说明AB∥CD；
（2）求∠A的度数，（要求写出每一步的依据）
【答案】（1）解：∵∠B＝71°，∠1＝71°（已知），
∴∠B＝∠1（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
（2）解：∵AB∥CD（已证），
∴∠A+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠D＝45°（已知），
∴∠A＝180°﹣∠D＝135°（等式的性质）
【解析】【分析】（1）求出∠B=∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠A+∠D=180°，代入求出即可.
2．如图，已知△ABC．
（1）若AB=4，AC=5，则BC边的取值范围是 ；
（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=55°，∠ACD=125°，求∠B的度数．
【答案】（1）1＜BC＜9
（2）解：∵∠ACD=125°，
∴∠ACB=180°﹣∠ACD=55°，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB=55°．
∵∠E=55°，
∴∠B=180°﹣∠E﹣∠BDE=180°﹣55°﹣55°=70°
【解析】【分析】首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数，然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可．
3．如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画L1∥OA；
（2）过P画L2∥OB；
（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
（3）解：L1与L2夹角有两个，∠1，∠2，∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以L1和L2夹角与∠O相等或互补
【解析】【分析】（1），将直尺与线段OA重合，平行移动，使得直尺过点P，再沿直尺画直线l1即可；
（2），根据以上平行线的画法，自己试着画出OB的平行线l2；
（3），分析可知l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2，用量角器测得∠1=∠O，∠2+∠O=180°，由此即可解答本题.
4．如图，在三角形 中， 是 延长线上一点， 是 延长线上一点， ， ，
（1） 和 平行吗？为什么？
（2） 是多少度？为什么？
【答案】（1）解：判断：DE∥BC
理由：∵∠D=∠B=31°
∴DE∥BC
（2）解：∠C=69°，
理由：∵DE∥BC，∠E=69°
∴∠C=∠E=69°
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定定理，因为内错角相等，所以两直线平行；
（2）根据平行线的性质，可知两直线平行，内错角相等.
5．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B'，补全△A′B′C′；
（3）在图中画出△ABC的高CD．
【答案】（1）8
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示；
【解析】【解答】解：（1）S△ABC= ×4×4=8．故答案为：8；
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据图形平移的性质画出图形即可；（3）过点C向AB的延长线作垂线即可．
6．已知如图，已知，.
（1）判断与是否平行，并说明理由；
（2）说明的理由.
【答案】（1）解：BD∥CE，理由如下：
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BD∥CE；
（2）解：理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C=∠4.
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F.
【解析】【分析】（1）对图形进行角标注，根据对顶角的性质可得∠2=∠3，由已知条件可得∠1=∠2，则∠1=∠3，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据平行线的性质可得∠C=∠4，由已知条件可知∠C=∠D，则∠D=∠4，推出AC∥DF，然后根据平行线的性质进行解答.
7．如图，已知：DC∥FP，∠1=∠2，∠DEF=30°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG．
（1）求证：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
【答案】（1）证明：∵ ∠1=∠2，
∴AB∥FP．
∵ DC∥FP，
∴DC∥AB．
（2）解：∵ DC∥FP，
∴∠EFP=∠DEF=30°．
∵FP∥AB，
∴∠GFP=∠AGF=80°．
∴∠EFG=∠EFP+∠GFP=30°+80°=110°．
∵FH平分∠EFG，
∴∠3=∠EFG= ×110°=55°．
∴∠PFH=∠GFP－∠3=80°－55°=25°
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法求出 AB∥FP，再证明求解即可；
（2）根据平行线的性质求出∠EFP=∠DEF=30°，再根据角平分线求出∠3=∠EFG= ×110°=55°，最后计算求解即可。
8．已知：如图，.
（1）判断FH与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若求∠2的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∴FH∥CD；
（2）解：由（1）知，
∴∠2=180°-∠DCB=180°-20°=160°.
【解析】【分析】（1）FH∥CD，理由如下，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠DCB，利用已知及等量代换可得∠2+∠DCB=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得FH∥CD；
（2）由已知易得∠BCD=20°，进而根据∠2+∠DCB=180°，可求出∠2的度数.
9．如图，，．
（1）试说明：；
（2）若DG是的平分线，，求的度数。
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵且，
∴，
∵DG是的平分线，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据AB∥DG得到∠1=∠BAD，再根据AD∥EF，得到∠2+∠BAD=180°，进而得到∠1+∠2=180°；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答该题.
10．如图，已知直线与交于点，，且.
（1）求的度数；
（2）过点在上方作射线，若，求的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用 和可求出度数，根据对顶角相等可知度数，从而求出 的度数；
（2）根据度数和 可求出度数，从而求出 的度数.
11．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数；
（2）若∠1＝∠2，求证：．
【答案】（1）解：∵，∴∠ABD＋∠D＝180°
∵∠D＝100°，∴∠ABD＝80°
∵BC平分∠ABD，
∴
（2）证明：∵，
∴∠1＝∠FGC
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABD＝180° - ∠D =80°，利用角平分线的定义可得 ；
（2）由平行线的性质可得∠1＝∠FGC ，结合已知，利用等量代换可得∠2＝∠FGC ，根据平行线的判定即证结论.
12．P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，
（1）补全图形；
（2）猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如下图所示：
（2）解：．
理由如下：
，
，
，
，即．
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）利用平行线的性质计算求解即可。
13．如图，，点是上一点，连接，平分交于点，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，连接，若平分，，判断与平行吗？为什么？
【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为平分，所以，
因为，所以．
（2）解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为平分，所以，
因为平分，所以，
所以，所以．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AED+∠MDE=180°，∠AEM=∠EMD，从而得出∠AED=127°，再根据角平分线的定义得出∠AEM=63.5°，即可得出∠EMD=63.5°；
（2）根据题意先求出∠AEM=60°，根据平行线的性质得出∠EMD=∠AEM=60°，从而得出∠CME=120°，再根据角平分线的定义得出∠AME=60°，∠MED=60°，即可得出MA∥DE.
14．如图，直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线相交于点E，设∠ABC＝，∠ADC＝．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，探究∠BED与、之间的关系并加以证明：
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，（1）中关系是否依然成立？说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β．
（2）解：当点B在点A的右侧时，（1）中关系不成立，理由如下，
过点E作EF∥AB，如图，
则∠BEF+∠EBA=180°，
∴∠BEF=180°-∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．
【解析】【分析】（1） 过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠EBA，根据平行线的性质可EF∥CD，∠FED=∠EDC，则∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，由角平分线定义得∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，则∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β；
（2）过点E作EF∥AB，则∠BEF+∠EBA=180°，∠BEF=180°-∠EBA，根据平行线的性质可得EF∥CD，∠FED=∠EDC，则∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC，即∠BED=∠EBA+∠EDC，由角平分线定义得∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，则∠BED=∠EBA+∠EDC=α+β。
15．在四边形ABCD中，，．
（1）如图①，若，求出的度数；
（2）如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
（3）如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
【答案】（1）解：∵四边形的内角和是360°，，
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵CE平分
∴
∵
∴
（3）解：∵BE，CE分别平分和
∴，
∴
∴在中，．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的内角和是360度，结合已知条件即可求解；
（2）根据平行线的性质得出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质进行求解即可；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求出，再进一步即可求解。
16．如图，已知
（1）判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
（2）解：由（1）知，
.
【解析】【分析】（1），理由：根据补角的性质可求出，根据平行线的判定即得结论；
（2） 由（1）知，，可得，从而得出∠3=∠ADE=∠B，根据平行线的判定可得DE∥BC，由平行线的性质可得，继而得解.
17．如图1，AB、BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）求证：AE∥BC；
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∠B＝∠E＝75°，
∴∠BAE=180°-∠E=105°，
∴∠B+∠BAE=180°，
∴AE∥BC.
（2）解：如图2，过点D作DF∥AE，
∴∠E=∠EDF=75°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-∠EDF=15°，
∵AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
∴AE∥PQ，
∴DF∥PQ，
∴∠Q=∠FDQ=15°.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质结合∠B＝∠E＝75°，求得∠BAE的度数，进而得∠B+∠BAE=180°，由同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）如图2，过点D作DF∥AE，即得∠E=∠EDF=75°，再由角的互余关系求出∠FDQ= 15°，由平移性质得AE∥PQ，根据平行线传递性得DF∥PQ，再由平行线性质可求出∠Q的度数.
18．如图，点，分别在直线，上，，.射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止.射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当射线经过点时，直接写出此时的值；
（2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
（3）当EM//FN时，求的值.
【答案】（1）解：的速度为每秒，，
当射线经过点时，所用的时间为：；
（2）解：过点作直线，如图所示：
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：与的速度不相等，
当时，与不平行；
当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：
，
，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
解得：.
【解析】【分析】（1）利用∠CFE的度数除以每秒旋转的度数可得所用的时间；
（2）过点P作直线HQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ=∠CFP=2t，∠EPQ=∠KEP=3t，则∠EPF=t，然后根据∠KPE=90°-∠EPF进行解答；
（3）易得当0
（1）求证：∠ADE=∠DEF；
（2）判定 DE 与 BC 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°.
∴∠BDC=∠DFE，
∴EF∥AB，
∴∠DEF=∠ADE；
（2）解：DE∥BC，理由如下：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°.
∴∠BDC=∠DFE，
∴EF∥AB，
∴∠DEF=∠ADE.
∵∠DEF=∠B，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等可得∠BDC=∠DFE，根据内错角相等两直线平行可得EF∥AB，然后由两直线平行内错角相等可得∠DEF=∠ADE；
（2）由（1）可得∠DEF=∠ADE；结合已知可得∠B=∠ADE，再根据同位角相等两直线平行可得DE∥BC.
20．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1.
（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角.
（2）求证：DF∥AC.
（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值.
【答案】（1）与∠A构成的同旁内角：∠AFD，∠AED，∠B，∠C；
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠BFD＝∠1，
∵∠A＝∠1，
∴∠BFD＝∠A，
∴DF∥AC；
（3）解：∵DE∥AB，
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵DF∥AC，
∴∠CDF+∠C＝180°，
∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，
∵∠BDE+∠CDF＝215°，
∴∠B+∠C＝145°.
【解析】【分析】（1）两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，据此解答；
（2）根据平行线的性质可得∠BFD＝∠1，结合∠A＝∠1可得∠BFD＝∠A，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3） 根据平行线的性质可得∠B+∠BDE＝180°，∠CDF+∠C＝180°，则∠B+∠BDE+∠CDF+∠C=360°，据此求解.
21．如图，∠1＝70°，∠2 ＝40°，∠B ＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE平分∠ADC，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠1=70°∠B=70°
∴∠1=∠B
∴AD∥BC
∴∠C=∠2=40°
（2）解：如果DE平分∠ADC，则AB∥DE
理由：∵DE平分∠ADC，∠2 =40°
∴∠ADE=∠CDE===70°
又∵∠1=70°
∴∠ADE=∠1=70°
∴DE∥AB．
【解析】【分析】（1）先证明AD//BC，再利用平行线的性质可得∠C=∠2=40° ；
（2）先利用角平分线的定义求出∠ADE=∠CDE===70°，再根据∠ADE=∠1=70°，即可得到DE//AB。
22．如图
如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A B 的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C D 的位置. ①若EF∥C G，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）； ②若B F⊥C G，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数.
【答案】（1）解：如图，
由题意可知A’E∥ B’F， ∴∠1=∠4=a°，
∵AD∥BC， ∴∠4=∠B’FC=a°
由折叠可知∠2=∠BFE=(90- a) °
（2）解：①由题（1）可知∠BFE=(90- a) °
∵EF∥C G，
∠BFE=∠C’GB =(90- a) °，
再由折叠可知：∠3+∠HGC=180 °-(90- a) °
∠3=∠HGC=(45+ a) °
②由B F⊥C G可知：∠B’FC+∠FGC’=90 °
所以∠1+180°-2∠3=90 °
再根据∠3=∠1+20 °
解得∠1=50 °
【解析】【分析】(1)由平行线的性质得到∠3=∠B' FC=a，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
(2)①由(1)知，∠BFE=90° -， 根据平行线的性质得到∠BFE=∠C' GB=90° -，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由(1)知，∠BFE=∠EFB' =90° -∠1， 由B' F⊥C' G可知，∠B' FC+∠FGC’=90°，再根据折叠的性质得到∠1+180° - 2∠3=90°，最后根据∠3=∠1+20°即可求解.
23．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．
（1）在动点A运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？
（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；
（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．
【答案】（1）是
（2）解：∠B＝∠ACB，理由如下：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACB．
（3）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠EBF＝50°，
∴∠BAC＝40°，
∵AD∥BC，
∴AD⊥AC．
【解析】【解答】解：（1）是，理由如下：
要使AD平分∠EAC，
则要求∠EAD＝∠CAD，
由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，
则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
故答案为：是；
【分析】（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；
（2）根据角平分线得出∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质得出∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，即可得出结论；
（3）由AC⊥BC，得出∠ACB＝90°，则∠BAC＝40°，由平行线的性质即可得出结论。
24．如图，已知 ， ，线段 上从左到右依次有两点 、 （不与 、 重合）
（1）求证： ；
（2）比较 、 、 的大小，并说明理由；
（3）若 ， 平分 ，且 ，判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵∠C=50°，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∠1＞∠2＞∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，
∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，
∴∠1＞∠2＞∠3；
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠1=∠BDC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵BE平分∠ABF，
设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，
∴∠ABE=∠EBF=4x°，
∴4x+4x+x+4x=130°，
∴x=10°，
∴∠1=4x+x+4x=90°，
∴BE⊥AD.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A+∠ADC=180°，据此可得∠ADC的度数，求得∠C+∠ADC=180°，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，据此比较；
（3）由平行线的性质可得∠1=∠EBC，∠BDC=∠ABD，结合已知条件可得∠ABE=∠DBC，设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，∠ABE=∠EBF=4x°，然后根据∠ADC=130°求出x的值，进而得到∠1的度数，据此解答.
25．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行.如图标注有∠1 ∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°.
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；
（2）直接写出 的度数.
【答案】（1）解：如图，
由题意可得AC∥BD，AB∥CD，CD∥EF，
∴同位角有∠1与∠2，∠3与∠4；
内错角有∠5与∠7；
同旁内角有：∠1与∠3
（2）∠2=64°，∠3=116°，∠6=42°，∠8=138°.
【解析】【解答】解：（2）由（1）得∠1和∠2为同位角，∠1和∠3为同旁内角，
∴∠1=∠2=64°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-64°=116°，
由题意可得CD∥EF，
∴∠5=∠7，∠5=∠6，∠6+∠8=180°，
∴∠6=42°，
∴∠8=180°-∠6°=138°.
【分析】（1）根据同位角，内错角，同旁内角的定义写出角即可；
（2）根据平行线的性质即可求出 的度数.
26．如图，直线 与 相交于点O， 平分 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）在 的内部作射线 ，探究 与 之间有怎样的关系？并说明理由．
【答案】（1）解：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，
又∵∠EOF＝54°
∵∠EOD=∠DOF －∠EOF = 90°－54°＝36°，
∵OE平分∠BOD
∴∠EOD=∠EOB=36°，∴∠BOD=72°.
∴∠BOD=∠AOC=72°
（2）解：∠AOG＝∠EOF
理由：如图，
∵OG⊥OE，∴∠EOG＝90°
∴∠AOG+∠BOE＝180°－90°=90°
又∵OF⊥CD，∴∠EOF+∠EOD＝90°，
∵∠EOD=∠EOB
∴∠AOG＝∠EOF
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义求出∠DOF的度数，就可求出∠EOD的度数；再利用角平分线的定义求出∠BOD，然后利用对顶角相等可再求出∠AOC的度数。
（2）利用两直线垂直的定义可证得∠EOG=90°，再利用等角的补角相等，可证得结论。
27．如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2．
（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由．
（2）当∠A=∠C，∠1=40°时，求∠D的度数．
【答案】（1）AD与BC平行 ，
证明∵ BE平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠EBC，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠EBC，
∴AD∥BC.
（2） 解：∵∠1=40°，
∴∠2=40°，
∴∠ABC=2∠2=80°，
∵AD∥BC
∴∠A=180°-∠ABC=180°-80°=100°，
∴∠C=∠A=100°，
∴∠D=180°-100°=80°。
【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC得∠ABE等于∠EBC，已知∠1等于∠2，等量代换得∠1等于∠EBC，内错角角相等两直线平行，所以 AD与BC平行。
（2）由∠1等于40°，得到∠2等于40°，则∠ABC等于80°，由AD平行BC，求得∠A，则∠C可知，再由平行得∠D的度数。
28．如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1+∠2=180°，求证：∠BEC+∠B=180°
（3）在(2)的基础上，若∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数
【答案】（1）证明：∵ ，
又∵
∴
∴
（2）证明：∵ ，
∴
∴
∴
（3）解：∵ ，
∴
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，可进行证明。
（2）根据平行线所分的同旁内角互补，可进行求解。
（3）根据平行线的性质，可换算得到结论。
29．直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ（α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°）
（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请写出这些．
【答案】（1）解：如图1中，结论：γ=α+β．
理由：作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠PCD，
∴γ=α+β．
（2）解：如图2中，结论：γ=β-α．
理由：作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE，
∴γ=β-α．
（3）解：如图3中，有γ=α-β．
如图4中，有γ=β-α．
如图5中，有γ=360°=β-α．
如图6中，有γ=α-β．
【解析】【分析】（1）如图1中，结论：γ=α+β．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可．（2）如图2中，结论：γ=β-α．作PE∥AB，利用平行线的性质解决问题即可．（3）分四种情形分别画出图形，利用平行线的性质解决问题即可．
30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD
（1）若∠AOC＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若OF平分∠COB，能判断OE⊥OF吗？（直接回答）
【答案】（1）解：因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝ ∠BOD，
因为∠BOD＝∠AOC＝50°
所以∠BOE＝ ∠BOD＝25°；
（2）解：因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝ ∠BOD，
因为OF平分∠COB，
所以∠BOF＝ ∠BOC，
所以∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝ （∠BOD+∠BOC）＝90°，
所以OE⊥OF．
【解析】【分析】（1）根据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝ ∠BOD，再根据∠BOD＝∠AOC＝50°即可得出答案；（2）根据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝ ∠BOD，OF平分∠COB，可得∠BOF＝ ∠BOC，计算出∠EOF＝90°，即可判断OE⊥OF．
31．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）解：CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∵垂直于同一直线的两直线互相平行，
∴CD∥EF
（2）解：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠ACB＝∠3＝115°．
【解析】【分析】 （1）CD与EF平行，根据垂直于同一直线的两直线互相平行进行解答即可；
（2）根据两直线平行同位角相等，可得∠2＝∠BCD， 利用等量代换可得∠1＝∠BCD， 根据内错角相等两直线平行可得DG∥BC， 利用两直线平行同位角相等即得∠ACB＝∠3＝115°．
32．已知：如图 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明： ，
，
，
．
（2）证明： ，
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质证明即可．（2）证明 即可．
33．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，点D在直线BC上，点F在直线GE上，且∠1=50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交直线BC于点Q，且∠Q=18°，则∠ACB的度数为 °.（直接写出答案）
【答案】（1）解： ∵ BC∥GE，
∴∠1=∠E=50°
∵AF∥DE
∴∠AFG=∠E=50°；
（2）86
【解析】【解答】（2）解：过点A作AM∥BQ
∵BC∥GE
∴BC∥EG∥AM，
∴∠FAM=∠AFG=50°
∴∠QAM=∠Q=18°
∴∠FAQ=∠FAM+∠QAM=68°
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC=∠FAQ=68°，
∴∠MAC=∠QAC+∠QAM=68°+18°=86°.
∵AM∥BC，
∴∠ACB=∠MAC=86°
故答案为：86°
【分析】（1）由BC∥GE，可知∠1=∠E，求出∠E的度数，再根据AF∥DE，可证∠E=∠AFG，就可求出∠AFG的度数。
（2）过点A作AM∥BQ，利用平行线的判定，可证得BC∥EG∥AM，再利用平行线的性质，就可求出∠FAM、∠MAQ，再利用角平分线的定义求出∠CAQ的度数，就可求出∠MAC的度数，然后根据平行线的性质，可证得∠ACB=∠MAC，即可求解。
34．如图，平移线段AB，使点A移动到点A1．
（1）画出平移后的线段A1B1，分别连接AA1，BB1．
（2）分别画出AC⊥A1B1于点C，AD⊥BB1于点D．
（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段 的长度．
（4）线段AB平移的距离，就是线段 的长度．
（5）线段BD的长度，是点B到直线 的距离．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）AD
（4）AA1
（5）AD
【解析】【解答】（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段AD的长度．
故答案为：AD
；（4）线段AB平移的距离，就是线段AA1的长度．
故答案为：AA1
；（5）线段BD的长度，是点B到直线AD的距离．
故答案为：AD．
【分析】（1）根据平移的性质将线段AB进行平移即可。
（2）根据题意，画出线段AC和线段AD。
（3）根据平行线之间的距离，就是线段的长度。
（4）线段AB平移的距离，即为线段AC的长度。
（5）线段BD的长度，即为点B到AD的距离。
35．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，将线段OA平移至CB，使点A
与点B重合，点D在X轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）写出点C的坐标；
（2）当的面积是 的面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）设 ， ， ，判断 ，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：设 ，当 的面积是 的面积的3倍时，
若点D在线段OA上，
，
，
；
若点D在线段OA延长线上，
，
，
，
D（9，0）
综上所述，满足题意的点D的坐标为 或D（9，0）
（3）解：点D在线段OA上时 ，
点D在线段OA延长线上 ．
理由如下：
如图，过点D作 ，交直线BC于点G．
由平移可得四边形OABC为平行四边形，
，
．
， ．
若点D在线段OA上，
，
即 ；
若点D在线段OA延长线上，
，
即
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得点C的坐标；
（2）△ODC与△ABD等高，根据三角形的面积公式可得， 当△ODC的面积是 △ABD的面积的3倍时，OD=3AD。设AD=x，则OD=6-x，然后将AD、OD代入OD=3AD，即可求出x的值，继而可得D点坐标。
（3）作DG∥OC，则DG∥AB，由平行线的性质可证得三个角的关系。
36．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D.E.H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3=180°，
（1）求证：∠CEF=∠EAD；
（2）若DH平分∠BDE，∠2=α，求∠3的度数.(用α表示).
【答案】（1）解：∵∠3+∠DFE=180°，∠1+∠3=180°，
∴∠DFE=∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF=∠EAD
（2）解：∵AB∥EF，
∴∠2+∠BDE=180°
又∵∠2=α
∴∠BDE=180° α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1= ∠BDE= (180° α)
∴∠3=180° (180° α)=90+ α
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可.
37．如图，CD//AB，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°
（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由；
（2）AC和BD有何位置关系？请你说明判断的理由。
【答案】（1）解：BD∥CE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠DCF，
∴BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
∴∠2= ∠ABC，∠4= ∠DCF，
∴∠2=∠4，
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：AC⊥BD，
理由：∵BD∥CE，
∴∠DGC+∠ACE=180°，
∴∠ACE=90°，
∴∠DGC=180°-90°=90°，
即AC⊥BD．
【解析】【分析】（1）根据平行线性质得出∠ABC=∠DCF，根据角平分线定义求出∠2=∠4，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出∠DGC+∠ACE=180°，根据∠ACE=90°，求出∠DGC=90°，根据垂直定义推出即可．
38．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°．
（1）当∠AEF＝ 时，α＝ ；
（2）当MN⊥EF时，求α；
（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值： ．
【答案】（1）120°
（2）解：如图所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD． ∵∠ANM＝160°， ∴∠NMP＝180°﹣160°＝20°， 又∵NM⊥EF，
∴∠NMF＝90°，∠PMF＝∠NMF﹣∠NMP＝90°﹣20°＝70°．
∴α＝180°﹣∠PMF＝180°﹣70°＝110°；
（3）40°
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠CFE＝α，∠AEF＝ ，
∴α+ ＝180°，
∴α＝120°；如图2，∵FQ平分∠CFE，
∴∠QFM＝ ，
∵AB∥CD，
∴∠NEM＝180°﹣α，
∵MN∥FQ，
∴∠NME＝ ，
∵∠ENM＝180°﹣∠ANM＝20°，
∴20°+ +180°﹣α＝180°，
∴α＝40°．
故答案为120°，40°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图2，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
39．如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)，在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)。
（图①）（图②）（图③）
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b)：S1=，S2=，S3=；
（3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
（图④）（图⑤）
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
【答案】（1）解：画图如下：
（2）解：S1=ab-b，S=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b
猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b
方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2、将左侧的草地向右平移一个单位；3、得到一个新的矩形
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b.其水平方向的长变成了a-1，
所以草地的面积就是：b（a-1）=ab-b
（3）解：∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位，
∴空白部分表示的草地面积是（a-2）b
（4）解：∵小路任何地方的宽度都是1个单位，
∴空白部分表示的草地面积是ab-a-2b+2
【解析】【分析】（1）根据题意直接画图即可，注意：答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线且得到一个封闭图形即可.
（2）根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可以看作是以（a-1）为长，b为宽的长方形的面积.
（3）由于小路任何地方的水平宽度都是2个单位，利用平移的性质，可得空白部分表示的草地是一个长为（a-2），宽为b的一个矩形，利用矩形的面积公式即得.
（4）结合（3）知，空白部分表示的草地是一个长为（a-2），宽为（b-1）的一个矩形，利用矩形的面积公式即得.
40．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.
（1）AE与FC会平行吗？说明理由；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么.
【答案】（1）解：平行.理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义），
∴∠1＝∠CDB，
∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）
（2）解：平行.理由如下：
∵AE∥CF，
∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
（3）解：平分.理由如下：
∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD，
∴BC平分∠DBE.
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等，可得∠1＝∠CDB，利用同位角相等，两直线平行，即得证AE∥FC.
（2）根据两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠CBE，利用等量代换，可得∠A＝∠CBE，根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC.
（3）利用角平分线的定义，可得∠FDA＝∠ADB， 根据平行线的性质，可得∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，从而可得∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE.
41．如图，宏达蔬菜基地内有一块长为216m，宽为108m的长方形土地，三条宽均为xm的田间小路把它分成面积相等的六块，分别种植西红柿、黄瓜、辣椒、芸豆、韭菜、茄子．
（1）求每块种植蔬菜的长方形的面积．（用含x的多项式表示）
（2）当x=1.6m时，求每块种植蔬菜的长方形的面积．（精确到0.01m2）
【答案】（1）解：每块种植蔬菜的长方形的面积= （216﹣2x）（108﹣x）=3888﹣72x+ x2，
答：每块种植蔬菜的长方形的面积（3888﹣72x+ x2）m2．
（2）解：把x=1.6代入上式得到，
3888﹣72x+ x2=3888﹣72×1.6+ ×1.62≈3773.65m2．
【解析】【分析】（1）把三条路平移到矩形的一边，求出六块总面积，即可解决问题．
（2）把x=1.6代入（1）中的式子可求得.
42．如图，是一个时钟，过它的中心点O可以画两条相互垂直的直线，使得这两条直线经过钟面上表示时间的四个数字。
（1）请你在图中画出符合条件的两条相互垂直的直线即可。
（2）若这四个数字的和是22，求出这四个数字中最小的一个数字。
【答案】（1）解：根据题意得：
（2）解：设这四个数字中最小的一个数字是x，根据题意得，
x+（x+3）+（x+6）+（x+9）=22
解得：x=1，
∴这四个数字中最小的一个数字是1．
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义和钟面的特点即可画图；
（2）由题意知，这四个数字从最小的数字起依次相差3，可设未知数，并根据这四个数之和为22可列方程求解。
43．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别点D、E、F．
（1）直接写出图中与AD相等的线段．
（2）若AB＝3，则AE＝ ．
（3）若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数．
【答案】（1）解：与AD相等的线段有：BE，CF；
（2）5
（3）解：∵由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF，
∴∠E＝∠ABC＝75°，
∴∠CFE+∠E＝180°，
∴∠CFE＝105°．
【解析】【解答】解： (2)∵AB＝3，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，
∴BE＝2，
则AE＝BE+AB＝5．
故答案为5；
【分析】(1)直接利用平移的性质得出相等线段；(2)直接平移的性质得出BE的长，进而得出答案；(3) 由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF，再根据平行线的性质即可得到∠CFE的度数．
44． 如图，，平分交于点，平分交于点．交于点，平分．
（1）求证：；
（2）试探究和满足的数量关系：
（3）若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，过点作，
．
，
．
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作．
平分．
．
平分．
．
由（1）知．
（3）解：设，则．平分，则．
平分平分，
．
．
，即，解得．
．
【解析】【分析】（1）为进一步利用已知平行线的条件信息，可以在拐点处再作一组平行线，从而实现条件与问题的关联，从而利用平行线的性质得证；
（2）由(1)中得出∠E与两角和的关系，同理利用平行线及角平分线性质过拐点作平行线得出∠AFC与两角和的关系，从而得出∠E与∠AFC的关系；
（3）在(1)(2)的基础上同理进行角度关系探究，依题意不妨设，则，后逐步推理表示角度关系利用平行线性质建立等量关系解之即可.
45．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．
（1）如图2，当与重合时，求证：；
（2）当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵是的角平分线，且与重合，
∴，
∴．
（2）或
【解析】【解答】解：（2）如图1，当PN在PM的上方，
∵，， ∴AB∥CD∥PM，
图1 图2
∴∠B=∠BPM，∠D=∠MPD，
∵PN平分∠BPD，
∴∠BPN=∠DPN，
∵∠MPN=∠DPN-∠DPM=∠BPN-∠D=∠BPM-∠MPN-∠D=∠B-∠MPN-∠D，
∴∠B-∠D=2∠MPN，
如图2，当PN在PM的下方，
同理可求出∠D-∠B=2∠MPN，
综上所述：或
【分析】（1）由平行线的判定可得AB∥CD∥PM，利用平行线的性质可得， ， 由角平分线的定义知，利用等量代换即得结论；
（2）分两种情况：当PN在PM的上方和当PN在PM的下方，据此分别画出图形，利用平行线的判定与性质、角平分线的定义及角的和差分别求解即可.
46．如图，直线，点、分别在直线、上，点在和之间，且满足，，点为线段上一点（端点除外），的平分线与的平分线交于点.
（1）当时，求；
（2）请用等式表示与的数量关系；
（3）若时，判断线段与的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）解：过作，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则
（2）解：设，，
则，，
∵平分，
∴，
过作，过作，则，
∴，
，
又∵平分，
∴，
可得，
，
∴.（或
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴，得，
则，
∴，
∴
【解析】【分析】 （1）过C作EG∥EF，得EF∥MN∥EG，根据平行线的性质即可解决问题；
（2）设∠FAC=x，∠CAP=y，则∠CBN=2x，∠EAP=180°-∠FAC-∠CAP=180°-x-y，过K作KH∥EF，过P作PI∥EF，则EF∥KH∥PI，根据平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（2）得y=90°-3x，证明AP⊥PC，进而可以解决问题．
47．已知三角板中，，，，长方形DEFG中，．将三角板的顶点A放在长方形的边上，与相交于点M．
（1）如图1，若 于点N，则的度数是 ，的度数是 ；
（2）如图2，请你猜想并写出与 的数量关系，并说明理由；
（3）请你总结（1），（2）的思路，在图3中探究与的数量关系？请直接写出数量关系．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
过C作，
∵，，
∴
∴，，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH//GF，则CH//DE，如图：
∴∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∵AB⊥DE，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°，
故答案为：30°，60°；
（3）结论：。
证明：过B作BK//GF，如图：
∴∠BAG=∠KBA，
∵BK//GF，DE//GF，
∴BK//DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°，
故答案为.
【分析】（1）利用平行线的性质及角的运算求解即可；
（2）利用平行线的性质及等量代换和角的运算求解即可；
（3）利用平行线的性质及角的运算求解即可。
48．问题情境
我们知道“如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．
已知三角板ABC中，，，，长方形DEFG中，．
问题初探
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，于点N，则∠EMC的度数是多少呢？
此题有多种解答方法，下面是小军同学的分析过程：
过点C作，则，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
（1）请你直接写出 ， ；
（2） 类比再探
若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并说明理由；
（3） 方法迁移
请你总结（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系，并直接写出结果．
【答案】（1）30°；60°
（2）解：∠EMC＋CAF＝90°，理由如下：
过点C作CH∥GF，
∵DE∥GF，
∴DE∥CH．
∴∠EMC＝∠MCH，∠CAF＝∠ACH．
∴∠EMC＋∠CAF＝∠MCH＋∠ACH＝90°．
（3）∠BAG－∠BMD＝30°
【解析】【解答】（1）根据题意可得：
∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°，
故答案为：30°，60°；
（3）如图：
过点B作BK//GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK//GF，DE//GF，
∴BK//DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°。
故答案为：∠BAG－∠BMD＝30°.
【分析】（1）利用角的运算求解即可；
（2）过点C作CH∥GF，根据平行线的性质可得∠EMC＝∠MCH，∠CAF＝∠ACH，再利用角的运算和等量代换可得∠EMC＋∠CAF＝∠MCH＋∠ACH＝90°；
（3）过点B作BK//GF，则∠BAG=∠KBA，再利用角的运算和等量代换可得∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°。
49．在平面直角坐标系中，，，满足，中，的边与轴分别交于、两点，与直线分别交于、两点．
（1）求 ； ．
（2）将直角三角形如图1位置摆放，求证：；
（3）将直角三角形如图2位置摆放，为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由
【答案】（1）-3；4
（2）证明：如图1，作CP∥x轴，
∵yD=yM，
∴轴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：∠AOG+∠NEF=90°，理由如下：
如图2，作CP∥x轴，
轴，
，，
∵，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
又∵，，
∴a+3=0，b-4=0，
解得a=-3，b=4；
故答案为：-3，4；
【分析】（1）根据二次根式的非负性、绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得关于字母a、b的方程，求解可得a、b的值；
（2）过点C作CP∥x轴，由D、M两点的纵坐标相等可得D、M所在的直线与x轴平行，由平行于同一直线的两条直线互相平行得OG∥CP∥DM，得∠KOC=∠OCP，∠CED=∠ECP，进而根据角的和差及等量代换即可得出∠KOC+∠CED=90°；
（3）∠AOG+∠NEF=90°，理由如下：过点C作CP∥x轴， 由二直线平行，同位角相等及二直线平行，同旁内角互补得∠AOG=∠ACP，∠ECP+∠CEF=180°，结合已知由同角的补角相等得∠ECP=∠NEF，进而根据角的和差及等量代换即可得出∠AOG+∠NEF=90°.
50．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，
（1）操作发现：如图1，当点落在线段上时，写出图中相等的角（写出三对即可）；
（2）问题解决：如图2，若线段与交于点．
①若时，求的度数；
②当为何值时，使线段最短；
（3）深化拓展：如图3，将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵是对顶角，是对顶角，
∴，，
∵，
∴，即
（2）解：①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
②根据题意得：当，即时，线段最短，
∵，
∴，
即当时，线段最短；
（3）解：或或或
【解析】【解答】（3）解：如图，当时，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
【分析】（1）利用对顶角的性质及角的运算和等量代换求解即可；
（2）①根据，可得，求出，再利用角的运算求出即可；
②利用角的运算求出，即可得到答案；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，再分别画出图象并求解即可。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
