第8章 实数（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 金东区期末）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平方根
【分析】、根据算术平方根的定义即可判定；
、根据平方根的定义即可判定；
、根据算术平方根的定义即可判定；
、根据平方根的定义即可判定．
【解析】、表示9的算术平方根，故选项错误；
、，故选项错误；
、等式左右两边不可能相等，故选项错误；
、，故选项正确．
故选：．
2．（2024秋 上蔡县期中）在实数：1.414、、、0、、、、中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】算术平方根；无理数；立方根
【分析】根据有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定．
【解析】，
所以在实数：1.414、、、0、、、、中，无理数有、、，共3个．
故选：．
3．（2024秋 长兴县期末）下列说法不正确的是
A．16的平方根是 B．16的算术平方根是4
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．64的立方根是
【答案】
【考点】平方根；算术平方根；立方根
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可．
【解析】、16的平方根是，正确，故此选项不符合题意；
、16的算术平方根是4，正确，故此选项不符合题意；
、0的平方根与算术平方根都是0，正确，故此选项不符合题意；
、64的立方根是4，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：．
4．（2024秋 新华区期末）如图，数轴上点表示的数可能是
A．7的算术平方根 B．6的立方根
C．9的平方根 D．8的立方根
【答案】
【考点】算术平方根；平方根；实数与数轴；立方根
【分析】先根据数轴判断点对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案．
【解析】根据数轴可知点的位置在2和3之间，且靠近3，
而，，，，
只有6的算术平方根符合题意．
故选：．
5．（2024春 曲阜市期中）若，则的值是
A． B．2 C．4 D．
【答案】
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根
【分析】直接利用非负数的性质得出，，进而得出答案．
【解析】，
，，
解得：，．
故选：．
6．（2024秋 高新区校级月考）下列各组数中互为相反数的一组是
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】
【考点】算术平方根；立方根；实数的性质
【分析】根据绝对值的意义，二次根式的性质，立方根的意义，分母有理化，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】、，，
，
故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，
与互为相反数，
故符合题意；
、
故不符合题意；
故选：．
7．（2024春 科尔沁区校级月考）若一个正数有两个不同的平方根为和，则的值是
A．1 B．2 C．1或 D．
【答案】
【考点】实数
【分析】根据一个正数有两个的平方根，且互为相反数列方程求解．
【解析】一个正数有两个不同的平方根为和，
，
解得，
故选：．
8．（2024 茅箭区一模）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】实数的运算
【分析】：根据实数减法的运算方法判断即可．
：根据绝对值的非负性判断即可．
：根据一个数的算术平方根的求法判断即可．
：根据一个数的立方根的求法判断即可．
【解析】，
选项不正确；
，
选项不正确；
，
选项不正确；
，
选项正确．
故选：．
9．（2024秋 三水区期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】
【考点】估算无理数的大小
【分析】根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可．
【解析】由题意，得：正方体的棱长为，
，
；
故选：．
10．（2023春 启东市期中）对于实数、，定义，的含义为：当时，，；当时，，，例如：，．已知，，，，且和为两个连续正整数，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】算术平方根；实数大小比较
【分析】先运用定义确定出，的值，再代入计算．
【解析】由题意得，，，
，，
，，
和为两个连续正整数，
，，
，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 沈河区期末）的算术平方根是 ．
【答案】4
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解析】，
则的算术平方根是4，
故答案为：4．
12．（2024春 海淀区校级期中）实数与互为倒数，则的值是 ．
【答案】
【考点】立方根；实数的性质
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解析】与互为倒数，，
，
．
故答案为：．
13．（2023春 邹城市期中）在实数：3.14159，，，，，，有理数的个数是 ．
【答案】4．
【考点】实数
【分析】根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解析】有理数有：3.14159，，，，
无理数有：，，
有理数的个数是4个．
故答案为：4．
14．（2024秋 驿城区校级期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】．
【考点】实数的性质；实数与数轴
【分析】由数轴可得，估算出得出，最后由绝对值的性质化简即可．
【解析】由数轴可得：，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
15．（2024秋 湖州期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为16时，输出的值是 ．
【答案】
【考点】实数的运算
【分析】本题先求出16的算术平方根式4，再求出4的算术平方根式2，最后求出2的算术平方根是，即可求出的值．
【解析】的算术平方根式4，4是有理数，
又的算术平方根式2，2是有理数，
还需求2的算术平方根是，
是无理数，
的值是．
故答案为：．
16．（2024春 安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：个3，2024个 ．
【答案】个．
【考点】计算器—数的开方
【分析】根据题意可得规律个3，个的值为个，据此规律求解即可．
【解析】，
，
，
，
，
以此类推可知，个3，个的值为个，
个3，2024个的值为个，
故答案为：个．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 南开区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算
【分析】（1）根据算术平方根的定义、立方根的定义和绝对值的性质计算即可；
（2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方的性质计算即可．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．（2023秋 泗洪县期末）求下列各式中的
（1）；
（2）．
【考点】平方根；立方根
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据立方根的定义求解．
【解析】（1）根据题意得，
；
（2）根据题意得，
，
．
19．（2024秋 西安期末）如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1．
（1）求和的值．
（2）求的算术平方根．
【考点】平方根；算术平方根
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出的值，进而求出，利用算术平方根即可求出；
（2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可．
【解析】（1）一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得：，
，
，
的算术平方根是1
；
（2）由（1）得，，
，
的算术平方根为6．
20．（2023春 安阳期末）对于结论：当时，也成立，若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与的值互为相反数，求的值．
【考点】立方根；实数的性质
【分析】（1）这个结论很简单，可选择，则2与互为相反数进行说明；
（2）利用（1）的结论，列出方程，从而解出的值，代入可得出答案．
【解析】（1）答案不唯一．如，则2与互为相反数；
（2）由已知，得，
解得，
．
21．（2024春 遵义期末）根据下表解答下列问题：
3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39
10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921
（1）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
（2）已知物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：的关系是．一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位）
【考点】算术平方根
【分析】（1）根据表格数据，，得出，即可作答．
（2）依题意，，结合表格数据，得出（负值舍去），即可作答．
【解析】（1），理由如下：
，，
；
（2）由题意得：，
，
（负值舍去），
答：物体到达地面约需要3.35秒．
22．（2024春 八步区校级月考）（1）用“”“ ”或“”填空：
；
（2）由上可知：
① ，② ，③ ；
（3）计算：．
【考点】实数大小比较
【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可；
（2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可；
（3）根据（2）先去括号，然后根据实数的运算法则求解即可．
【解析】（1），
，
故答案为：；；；
（2）①；②；③；
故答案为：①；②；③；
（3）
．
23．（2023春 潮安区期中）课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．小明的解法如下：
解：，因为，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
（1）根据上述材料填空（在横线上填“”“ ”或“”
①若，则 ；
②若，则 ；
③若，则 ．
（2）利用上述方法比较实数与的大小．
【考点】实数大小比较
【分析】（1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②；
（2）根据作差法即可比较大小．
【解析】（1）①若，则；
②若，则；
③若，则．
故答案为：①，②，③；
（2）
，
，
，
，
．
24．（2024秋 南山区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，则 ， ．
（2）已知的小数部分为，的小数部分为．求的值；
（3）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根．
【考点】平方根；估算无理数的大小
【分析】（1）由，，即可得到，的值；
（2）由，利用不等式的性质，即可得到，，从而得到，的值，由此得解；
（3）由，即可得到，的值，代入可求出的值，再计算平方根即可；
【解析】（1），即，
的整数部分为2，小数部分，
，即，
的整数部分为．
（2），
，，
的小数部分为，
的小数部分为，
．
（3），
，，
，
的平方根为：．
第8章 实数（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 金东区期末）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 上蔡县期中）在实数：1.414、、、0、、、、中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024秋 长兴县期末）下列说法不正确的是
A．16的平方根是
B．16的算术平方根是4
C．0的平方根与算术平方根都是0
D．64的立方根是
4．（2024秋 新华区期末）如图，数轴上点表示的数可能是
A．7的算术平方根 B．6的立方根
C．9的平方根 D．8的立方根
5．（2024春 曲阜市期中）若，则的值是
A． B．2 C．4 D．
6．（2024秋 高新区校级月考）下列各组数中互为相反数的一组是
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（2024春 科尔沁区校级月考）若一个正数有两个不同的平方根为和，则的值是
A．1 B．2 C．1或 D．
8．（2024 茅箭区一模）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
9．（2024秋 三水区期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
10．（2023春 启东市期中）对于实数、，定义，的含义为：当时，，；当时，，，例如：，．已知，，，，且和为两个连续正整数，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 沈河区期末）的算术平方根是 ．
12．（2024春 海淀区校级期中）实数与互为倒数，则的值是 ．
13．（2023春 邹城市期中）在实数：3.14159，，，，，，有理数的个数是 ．
14．（2024秋 驿城区校级期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简 ．
15．（2024秋 湖州期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为16时，输出的值是 ．
16．（2024春 安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：个3，2024个 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 南开区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 泗洪县期末）求下列各式中的
（1）；
（2）．
19．（2024秋 西安期末）如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1．
（1）求和的值．
（2）求的算术平方根．
20．（2023春 安阳期末）对于结论：当时，也成立，若将看成的立方根，看成是的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与的值互为相反数，求的值．
21．（2024春 遵义期末）根据下表解答下列问题：
3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39
10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921
（1）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
（2）已知物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：的关系是．一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位）
22．（2024春 八步区校级月考）（1）用“”“ ”或“”填空：
；
（2）由上可知：
① ，② ，③ ；
（3）计算：．
23．（2023春 潮安区期中）课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．小明的解法如下：
解：，因为，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
（1）根据上述材料填空（在横线上填“”“ ”或“”
①若，则 ；
②若，则 ；
③若，则 ．
（2）利用上述方法比较实数与的大小．
24．（2024秋 南山区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，则 ， ．
（2）已知的小数部分为，的小数部分为．求的值；
（3）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根．
