第7章 相交线与平行线（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨州期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是
A． B． C． D．
2．（2024秋 晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是
A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直 D．测量跳远成绩
3．（2024秋 海口期末）如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是
A． B． C． D．
4．（2024秋 龙华区校级期末）如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是
A．互为对顶角 B．相等 C．互补 D．互余
5．（2024秋 扬州期末）如图，直线截直线，，下列说法正确的是
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
6．（2024秋 阜宁县期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2024春 博野县校级月考）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
8．（2024秋 江都区期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024秋 沈丘县期末）如图，，用含，，的式子表示，则的值为
A． B．
C． D．
10．（2024秋 沈丘县期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2023春 绥棱县期末）过已知直线外一点有且 一条直线与已知直线平行．
12．（2024秋 泉州期末）命题“同位角相等，两直线平行”的条件是 ．
13．（2024秋 陵川县期中）如图，将△沿射线方向平移得到△，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ．
14．（2024秋 安阳月考）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则绿化面积为 ．
15．（2024秋 龙华区校级期末）如图是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作，则与的位置关系是 ， ．
16．（2024秋 衡东县期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则 度．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 渝中区校级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为点．
（1）请在图中画出三角形；
（2）过点画出线段的垂线段，垂足为．
18．（2024春 岳塘区期中）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
19．（2024秋 伊川县期末）完成下面的证明：
已知：如图．平分，平分，且．
求证：．
证明：平分（已知），
．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
．
（已知），
．
．
20．（2024秋 沛县期末）如图，在三角形中，点，分别在，上，且，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若平分，，求的度数．
21．（2024春 郧西县期末）如图，已知点在上，，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求证：．
22．（2024春 姜堰区期末）已知：如图，点、、分别是的边、、上的点．
（1）给出下列三个事项：①；②；③．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件： ，结论： （填序号）
证明：
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
23．（2024秋 新城区校级期末）如图，已知，点，分别在直线，上，点在和之间．
【习题回顾】
（1）如图1，若，是的平分线，求的度数；
【变式思考】
（2）如图2，连接，．求证：；
【深入探究】
（3）如图3，连接，，若，，和的平分线交于点，求的度数．
24．（2024秋 源城区期末）【感知】如图，，，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①所示，过点作，
，
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，即．
【探究】如图②所示，，，，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【应用】如图③所示，已知直线，点，在直线，点，在直线上（点在点的左侧），连接，，作平分，平分，且，所在的直线交于点，设，请画出图形并求出的度数（用含，的式子表示）．
第7章 相交线与平行线（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨州期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】生活中的平移现象
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
【解析】由图形可知，选项与原图形完全相同．其他选项、、与原图形都有差别．
故选：．
2．（2024秋 晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是
A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直 D．测量跳远成绩
【答案】
【考点】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解析】、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意；
故选：．
3．（2024秋 海口期末）如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点到直线的距离
【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可．
【解析】如图所示：
直线外一点到这条直线的垂线段最短，，
点到直线的距离是垂线段的长度，为，
故选：．
4．（2024秋 龙华区校级期末）如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是
A．互为对顶角 B．相等 C．互补 D．互余
【答案】
【考点】余角和补角；垂线；对顶角、邻补角
【分析】根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．
【解析】，
，
，
，
，
与互余．
故选：．
5．（2024秋 扬州期末）如图，直线截直线，，下列说法正确的是
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．
【解析】、与是同旁内角，故原说法正确，符合题意；
、与是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
、与是内错角，故原说法错误，不符合题意；
、与是同旁内角，故原说法错误，不符合题意．
故选：．
6．（2024秋 阜宁县期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算即可．
【解析】，
，
平分，
，
，
故选：．
7．（2024春 博野县校级月考）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】
【考点】垂线；平行线
【分析】根据平行线公理解答即可．
【解析】在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知，，
，
故选：．
8．（2024秋 江都区期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【考点】平行线的判定
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解析】①，由同旁内角互补，两直线平行判定，故①符合题意；
②，判定，不能判定，故②不符合题意；
③，由内错角相等，两直线平行判定，故③符合题意；
④，由同位角相等，两直线平行判定，故④符合题意．
⑤，判定，不能判定，故⑤不符合题意，
其中能判定的个数是3个．
故选：．
9．（2024秋 沈丘县期末）如图，，用含，，的式子表示，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】平行线的性质
【分析】先过点作，过点作，利用平行线的性质求得和，最后根据，求得即可．
【解析】过点作，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（2024秋 沈丘县期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【分析】由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．
【解析】由题意，得，，
，
，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．（2023春 绥棱县期末）过已知直线外一点有且 一条直线与已知直线平行．
【答案】只有．
【考点】平行公理及推论
【分析】根据平行公理解答即可．
【解析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：只有．
12．（2024秋 泉州期末）命题“同位角相等，两直线平行”的条件是 ．
【答案】同位角相等
【考点】平行线的判定；命题与定理
【分析】由命题的题设和和结论的定义进行解答即可．
【解析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，结论是由已知条件推出的事项，
命题中已知的事项是“同位角相等”，推出的事项是“两直线平行”，
命题的条件为：同位角相等，结论为：两直线平行．
故答案为：同位角相等．
13．（2024秋 陵川县期中）如图，将△沿射线方向平移得到△，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ．
【答案】3．
【考点】平移的性质
【分析】根据题意得出，再根据平移的性质得出，即可得到答案．
【解析】由条件可知，
由平移性质可知，
，
故答案为：3．
14．（2024秋 安阳月考）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则绿化面积为 ．
【答案】513．
【考点】生活中的平移现象
【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可．
【解析】根据题意，得，
故答案为：513．
15．（2024秋 龙华区校级期末）如图是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作，则与的位置关系是 ， ．
【答案】；．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】过点作，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：，从而利用平行线的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得：，然后利用平行线的性质可得：，从而可得：，再利用平行线的性质可得，最后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答．
【解析】过点作，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：；．
16．（2024秋 衡东县期末）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则 度．
【答案】
【考点】平行线的性质
【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【解析】如图，过作，
，
，
，，
，
；
和的平分线交点为
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
当度时，等于度．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 渝中区校级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为点．
（1）请在图中画出三角形；
（2）过点画出线段的垂线段，垂足为．
【考点】作图平移变换
【分析】（1）根据平移的性质，分别作出点、的对应点，再连线即可；
（2）根据垂线的定义作图即可．
【解析】（1）解：如图，就是所求的三角形；
（2）解：如图，线段就是线段的垂线段；
18．（2024春 岳塘区期中）如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义
【分析】（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；
（2）由题意得，根据，得到，然后与（1）的计算方法一样．
【解析】（1），平分，
，
；
（2），，
．
又平分，
．
19．（2024秋 伊川县期末）完成下面的证明：
已知：如图．平分，平分，且．
求证：．
证明：平分（已知），
．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
．
（已知），
．
．
【考点】平行线的判定
【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解析】证明：平分（已知），
角平分线的定义）．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
等式的性质）．
（已知），
等量代换）．
同旁内角互补两直线平行）．
20．（2024秋 沛县期末）如图，在三角形中，点，分别在，上，且，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若平分，，求的度数．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可求得，即可判定；
（2）由平行线的性质可得，从而可求得，再由角平分线的定义求得，即可求．
【解析】（1），理由如下：
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
平分，
，
，
．
21．（2024春 郧西县期末）如图，已知点在上，，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求证：．
【考点】角平分线的定义；垂线；平行线的判定
【分析】（1）由垂直的定义得到，由平角定义得到，由角平分线定义得到，由余角的性质得到，即可证明平分；
（2）由内错角相等，两直线平行，即可证明，，由此．
【解析】证明：（1），
，
，
平分，
，
，
平分；
（2）由（1）知，，
，
，
，
同理：，
．
22．（2024春 姜堰区期末）已知：如图，点、、分别是的边、、上的点．
（1）给出下列三个事项：①；②；③．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件： ，结论： （填序号）
证明：
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【考点】平行线的判定与性质；命题与定理
【分析】（1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可；
（2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得，则，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案．
【解析】（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下：
，
，
，
，
；
①③为条件，②为结论，证明如下：
，，
，，
；
②③为条件，①为结论，证明如下：
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
．
23．（2024秋 新城区校级期末）如图，已知，点，分别在直线，上，点在和之间．
【习题回顾】
（1）如图1，若，是的平分线，求的度数；
【变式思考】
（2）如图2，连接，．求证：；
【深入探究】
（3）如图3，连接，，若，，和的平分线交于点，求的度数．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）由，得到，结合已知的角度，得到结果；
（2）通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，得到，，即可得到结果；
（3）通过作平行线，得到，，结合角平分线，得到结果．
【解析】（1）解：图1，，，
，
是的平分线，
；
（2）证明：图2，过点作，
，
，
，，
；
（3）解：图3，过点作，
，
，
，，
平分，平分，，，
，，
，，
．
24．（2024秋 源城区期末）【感知】如图，，，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①所示，过点作，
两直线平行，内错角相等 ，
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，即．
【探究】如图②所示，，，，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【应用】如图③所示，已知直线，点，在直线，点，在直线上（点在点的左侧），连接，，作平分，平分，且，所在的直线交于点，设，请画出图形并求出的度数（用含，的式子表示）．
【考点】平行线的判定与性质；列代数式；平行公理及推论；角平分线的定义
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）依据题意，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数；
（3）画出图形，分点在点左侧和点在点右侧，两种情况，分别求解．
【解析】【感知】如图①所示，过点作，
两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，即，
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；
【探究】如图②所示，
是的平分线，是的平分线，
，，
过点作，
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
．
【应用】当点在左侧时，
如图，过点作，则，
，，
平分，平分，，，
，，
．
当点在右侧时，点在和外时，点在上方时，
如图，过点作，则，
，，
平分，平分，，，
，，
．
当点在右侧时，点在和外时，点在下方时，
同理可求．
当点在右侧时，点在和内时，
过点作，则，
，，
平分，平分，，，
，，
，
，或，
综上，的度数为或或或或．
