2024-2025学年江苏省常州市北郊高级中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数满足，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数的取值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.定义在上的奇函数满足：，且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为( )
A.
B.
C.
D.
8.若函数在区间上有且仅有条对称轴，则取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，且的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的图象不经过第四象限
10.已知，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.对于函数和，下列说法正确的是( )
A. 与有相同的最小正周期 B. 与一定不存在相同的零点
C. 与的图象有相同的对称轴 D. 存在区间Ⅰ，与均单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______．
13.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
14.若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
已知，且，求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
求；
求的值．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值，并用定义证明的单调性；
若时，不等式有解，求实数的取值范围．
若对任意的，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：令，，
得，，
故的单调递增区间为，．
由可知，当时，在单调递减，在单调递增，
而，
从而在单调递减，在单调递增，
故，．
16.解：，
由题意得，解得，
所以的定义域为，关于原点对称，为奇函数，证明如下：
，都有，对于，
又，
所以为奇函数；
因为为奇函数，，即，
即，故，
解，得到或，解，得，
综上，，即的取值范围是．
17.解：由，得，或，
是第三象限角，则，
，
；
，，
则，，
，则，
故，
．
18.解：平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，
终边交单位圆于点，则．
则根据，可得，故点，．
将角的终边按逆时针方向旋转得到角，则，
故．
．
19.解：证明：由于是定义在上的奇函数，因此，
所以，所以，因此函数，
所以函数，那么，符合题意，
，，令，所以，
由于，因此，所以，由于，因此，
因此函数在上单调递增．
由于函数在定义域上单调递增，又因为函数是定义在上的奇函数，
因此在有解，
等价于在上有解，
所以在上有解，所以，有解，
设函数，，因此函数在上单调递减，
因此，因此．
如果对任意的，时，恒成立，
那么有不等式恒成立，
当时，函数，因此，
所以因此，因此恒成立，
当时，有，化简得，解得或，
当时，有，化简得，解得或．
综上所述，的取值范围是．
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