2024-2025学年湖北省咸宁市崇阳第二高级中学高二（下）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为椭圆
C. 若，则点的轨迹为直线 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支
4.已知等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线平行，则两平行线间的距离( )
A. B. C. D.
6.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
8.已知椭圆的左焦点为，轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. 的前项和为 B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 平面
C. 点到直线的距离为
D. 在上的投影向量为
11.双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点若双曲线的方程为，则( )
A. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
B. 若，则
C. 当过点时，光线由所经过的路程为
D. 反射光线所在直线的斜率为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足为正整数，，若，则的所有可能取值之和为______．
13.已知圆：及直线：，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为______．
14.已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上．
求圆的标准方程；
若倾斜角为的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
17.本小题分
已知数列各项均为正数，设数列的前项和为，其中．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，，分别为，的中点．
求证：平面；
求证：平面；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知，分别是椭圆：的左、右顶点，异于点，是上的一个动点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
记直线，的斜率分别为，，求的值；
直线交椭圆于，两点异于，两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
参考答案
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14.
15.解：设等差数列的公差为，
因为，
所以，
又，所以，解得，
所以．
．
16.解：因为点，，
所以直线的斜率，线段的中点为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为．
由解得，，
故圆心，半径，
故圆的标准方程为．
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为．
因为弦长，所以圆心到直线的距离．
设直线的方程为，则点到直线的距离．
由，解得或，
所以直线的方程为或．
17.解：因为，
所以当时，，得或舍，
当时，，
得：，
即，
因为数列的各项均为正数，即，
所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
因为，
所以，
，
得：
，
所以．
18.解：证明：在四棱锥中，取的中点，连接，，由，分别为，的中点，
，
又四边形是菱形，
则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
证明：取的中点，连接，由，得，又平面平面，
平面平面，平面，
则平面，
而平面，于是，由平面，平面，
得，又，，平面，
所以平面．
由知，，又四边形是菱形，则四边形是正方形，
直线，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
假定在棱上存在一点，满足条件，令，
，，
设平面的一个法向量，
则，则，
取，得，
则直线与平面所成角正弦值为，
解得，所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，点为中点．
19.解：因为，分别是椭圆的左、右顶点，
所以，
当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，
此时的面积，
解得，
则椭圆的方程为．
设，
因为点在椭圆上，
所以，
则；
证明：由题意知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，，
因为，
所以，
即，
所以，
解得或舍去，
当时，满足，
此时的方程为．
故直线过定点．
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