2024年广东省广州市增城区中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024九下·增城模拟）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：0-2024=-2024
故答案为：D.
【分析】互为相反数的两个数之和为0.
2．（2024九下·增城模拟）如图所示的几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第二列有一个小正方形，即看到的图形如下：
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．（2024九下·增城模拟）下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
A、当x=-1时，y=-3，A不符合题意；
B、当x=0时，y=-1，B不符合题意；
C、当x=1时，y=1，C不符合题意；
D、当x=2时，y=3，故在函数图象上，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征将ABCD选项代入即可求解。
4．（2024九下·增城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的加法，同底数幂的除法，积的乘方和合并同类项逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九下·增城模拟）如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ）
A．120 B．130 C．140 D．150
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAE=50°，
∴∠CAB=180°-50°=130°.
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=130°.
故答案为：B.
【分析】先根据补角的性质求出∠CAB，再根据平行线的性质求出∠BAC即可.
6．（2024九下·增城模拟）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，
当时，，
∴，，
当，，
解得：
故答案为：C．
【分析】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可．
7．（2024九下·增城模拟）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设绳子长x尺，长木长y尺，
由题意得： ；
故答案为：C.
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，由“ 用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可列方程x-y=4.5，由“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可列方程y-x=1，继而得解.
8．（2024九下·增城模拟）如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据三角形面积可得，再根据余弦定义即可求出答案.
9．（2024九下·增城模拟）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵直线与相切于点C，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：D．
【分析】连接，根据切线性质可得，由正切定义可得，勾股定理可得AC，根据特殊角的三角函数值可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2024九下·增城模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图象上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵其对称轴为直线
∴，则，
由图可知，当时，函数值大于0，
∴，故②正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，，
∴ ；故③不正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，交y轴于点，
∴抛物线经过，
∴当或时，，
即当或时，，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故答案为：C．
【分析】根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2024九下·增城模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
12．（2024九下·增城模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ．
【答案】8
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为4，
∴的周长为8，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，再根据其相似比即可求出答案.
13．（2024九下·增城模拟）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为 ．
【答案】－2
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣2b＝0的解，
∴ ，
即： ，
∴ ，
故填：－2．
【分析】将x=1代入一元二次方程x2+ax﹣2b＝0，可得，所以，再将代入2a-4b计算即可。
14．（2024九下·增城模拟） 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】∵BC=2，∠BAC=90°，
∴AB=BC=，
设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可得：，
解得：，
∴圆锥的底面圆的半径是，
故答案为：.
【分析】先求出AB的长，再设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥底面的周长等于侧面展开的弧长列出方程求出r的值即可.
15．（2024九下·增城模拟）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过D点作于E，如图所示，
，
，
又，是的角平分线，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
【分析】先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解．
16．（2024九下·增城模拟）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得
，作GM⊥CD，垂足为点M，利用三角形中位线定理可得 ， 从而求出，继而得出MH=MC-CH=，利用勾股定理求出GH的长.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九下·增城模拟）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
由①可得：，
由②可得：，
在数轴上表示如图所示：
由数轴可知，原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答．
18．（2024九下·增城模拟）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行的性质可得，再根据三角形内角和定理可以得到，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．（2024九下·增城模拟）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）解：
（2）解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）通分，化成同分母，进行计算即可；
（2）根据负整数指数幂的运算法则计算a的值，代入（1）中结果进行求解即可．
20．（2024九下·增城模拟）为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生的阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生总人数是______，统计表中的______；
（2）在扇形统计图中，求“C漫画类”对应扇形的圆心角度数；
（3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团，小文、小明同时报名了四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求小文、小明选择同一社团的概率．
【答案】（1）80，32
（2）解：在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
；
（3）解：树状图如下：
从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
21．（2024九下·增城模拟）某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔AB的高度
方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角．
测量 示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量 数据
（1）根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为 米．
（2）根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）52
（2）解：如图，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴塔的高度为米．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
故答案为：52；
【分析】（1）由题意可知，从而得出，代值计算即可求出答案.
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2024九下·增城模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴点，
把A、B的坐标代入得，
解得，
故一次函数表达式为：；
（2）解：把一次函数的图象向下平移t个单位得直线，
根据题意可得只有一组解，
即只有一个解，
∴有两个相等实数根，
∴，即，
解得或（因反比例函数在第一象限，舍去），
∴t的值为1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再将点B坐标代入反比例函数解析式可得点，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象平移规律可得把一次函数的图象向下平移t个单位得直线，再联立反比例函数，解方程即可求出答案.
23．（2024九下·增城模拟）如图，是等边三角形，．
（1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
证明：在和
∴
∴绕点A逆时针旋转得到；
（2）证明：由（1）可知：，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，
分两种情况讨论：
①当时，
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
③当时，点E不在线段上，
故此种情况不存在；
综上所述：当是等腰三角形时，的长为或3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作，然后截取，连接即可完成作图，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，再根据等边三角形性质可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，根据等边三角形性质可得，根据菱形性质可得，，由含30°角的直角三角形性质可得，，即可求出答案；②当时，根据三角形外角性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.③当时，点E不在线段上.
24．（2024九下·增城模拟）已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l．
（1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；
（3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：
∴顶点坐标为；
（2）解：根据题意得：与x轴交点，
∵直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，
令，则，
解得：或，
联立：，
整理得：，
∴，
当时，
，即，
，
当时，
，即，
，
综上，k的值为2或；
（3）解：当时，直线解析式为，
令，则，
令，则，
解得，
∴，
令，
∴或，
∵在抛物线对称轴左侧的点记为P，
∴，
当时，此时，此时是直角三角形，
当时，即，此时为钝角三角形；
当时，，此时是直角三角形；
当时，即，此时为钝角三角形；
∵，，点到x轴的距离为3，
∴P点在以为直径的圆外或圆上，
∴始终为锐角或直角；
综上所述：当或时，为钝角三角形．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求出答案.
（2）根据题意得：与x轴交点，根据题意可得，解方程可得或，联立抛物线与直线解析式时可得，根据只有一个交点，则判别式，代值m的值，解方程即可求出答案.
（3）当时，直线解析式为，求出点A，B坐标，求出点P坐标，分别求出当为直角三角形时m的值，以此为界点，确定为钝角三角形时m的取值范围即可.
25．（2024九下·增城模拟）如图，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t秒．
（1）若．
①当点落在上时，求此时t的值；
②是否存在t，使得？若存在，求t的值？若不存在，请说明理由；
（2）当点P不与C重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
【答案】（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即；
②如图1-1所示，当时，此时点落在上，
由折叠的性质可得，由矩形的性质得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-3所示，当时，
由折叠的性质可得，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴；
综上所述，t的值为2或6或；
（2）解：对于的任意时刻，结论“”总是成立，理由如下：
如图2-1所示，
∵，
∴，
∴
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
如图2-2所示，
设，则，
∴，
∵
∴，
∴，
由折叠的性质可得
∴，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①先利用勾股定理求出长，再根据全等三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
②分情况讨论：当时，此时点落在上，根据折叠性质可得，由矩形的性质得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得BD，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，此时点在的延长线上，根据勾股定理可得B'D，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据折叠性质可得，再根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，即可求出答案.
（2）如图2-1，根据以及翻折的性质可以证明得到，从而可得，如图2-2所示，设，则，则，证明，得到，再由折叠的性质可得，由此即可证明．
2024年广东省广州市增城区中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024九下·增城模拟）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·增城模拟）如图所示的几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·增城模拟）下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·增城模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·增城模拟）如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ）
A．120 B．130 C．140 D．150
6．（2024九下·增城模拟）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
7．（2024九下·增城模拟）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·增城模拟）如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·增城模拟）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
10．（2024九下·增城模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图象上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2024九下·增城模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024九下·增城模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ．
13．（2024九下·增城模拟）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为 ．
14．（2024九下·增城模拟） 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是
15．（2024九下·增城模拟）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ．
16．（2024九下·增城模拟）如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九下·增城模拟）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（2024九下·增城模拟）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：．
19．（2024九下·增城模拟）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
20．（2024九下·增城模拟）为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生的阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 学生人数
A文学类 24
B科幻类 m
C漫画类 16
D数理类 8
（1）本次抽查的学生总人数是______，统计表中的______；
（2）在扇形统计图中，求“C漫画类”对应扇形的圆心角度数；
（3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团，小文、小明同时报名了四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求小文、小明选择同一社团的概率．
21．（2024九下·增城模拟）某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔AB的高度
方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角．
测量 示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量 数据
（1）根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为 米．
（2）根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，）
22．（2024九下·增城模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值．
23．（2024九下·增城模拟）如图，是等边三角形，．
（1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长．
24．（2024九下·增城模拟）已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l．
（1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；
（3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．
25．（2024九下·增城模拟）如图，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t秒．
（1）若．
①当点落在上时，求此时t的值；
②是否存在t，使得？若存在，求t的值？若不存在，请说明理由；
（2）当点P不与C重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：0-2024=-2024
故答案为：D.
【分析】互为相反数的两个数之和为0.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第二列有一个小正方形，即看到的图形如下：
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
A、当x=-1时，y=-3，A不符合题意；
B、当x=0时，y=-1，B不符合题意；
C、当x=1时，y=1，C不符合题意；
D、当x=2时，y=3，故在函数图象上，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征将ABCD选项代入即可求解。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的加法，同底数幂的除法，积的乘方和合并同类项逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAE=50°，
∴∠CAB=180°-50°=130°.
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=130°.
故答案为：B.
【分析】先根据补角的性质求出∠CAB，再根据平行线的性质求出∠BAC即可.
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，
当时，，
∴，，
当，，
解得：
故答案为：C．
【分析】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设绳子长x尺，长木长y尺，
由题意得： ；
故答案为：C.
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，由“ 用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可列方程x-y=4.5，由“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可列方程y-x=1，继而得解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据三角形面积可得，再根据余弦定义即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵直线与相切于点C，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：D．
【分析】连接，根据切线性质可得，由正切定义可得，勾股定理可得AC，根据特殊角的三角函数值可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵其对称轴为直线
∴，则，
由图可知，当时，函数值大于0，
∴，故②正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，，
∴ ；故③不正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，交y轴于点，
∴抛物线经过，
∴当或时，，
即当或时，，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故答案为：C．
【分析】根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，
∴x≠2，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
12．【答案】8
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为4，
∴的周长为8，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，再根据其相似比即可求出答案.
13．【答案】－2
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣2b＝0的解，
∴ ，
即： ，
∴ ，
故填：－2．
【分析】将x=1代入一元二次方程x2+ax﹣2b＝0，可得，所以，再将代入2a-4b计算即可。
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】∵BC=2，∠BAC=90°，
∴AB=BC=，
设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可得：，
解得：，
∴圆锥的底面圆的半径是，
故答案为：.
【分析】先求出AB的长，再设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥底面的周长等于侧面展开的弧长列出方程求出r的值即可.
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过D点作于E，如图所示，
，
，
又，是的角平分线，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
【分析】先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形的性质得出OK=2，KC=2，利用三角形中位线定理可得
，作GM⊥CD，垂足为点M，利用三角形中位线定理可得 ， 从而求出，继而得出MH=MC-CH=，利用勾股定理求出GH的长.
17．【答案】解：，
由①可得：，
由②可得：，
在数轴上表示如图所示：
由数轴可知，原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答．
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行的性质可得，再根据三角形内角和定理可以得到，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
∴原式
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）通分，化成同分母，进行计算即可；
（2）根据负整数指数幂的运算法则计算a的值，代入（1）中结果进行求解即可．
20．【答案】（1）80，32
（2）解：在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
；
（3）解：树状图如下：
从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
21．【答案】（1）52
（2）解：如图，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴塔的高度为米．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
由题意可知，
∴，即，
解得，
∴塔的高度为米；
故答案为：52；
【分析】（1）由题意可知，从而得出，代值计算即可求出答案.
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴点，
把A、B的坐标代入得，
解得，
故一次函数表达式为：；
（2）解：把一次函数的图象向下平移t个单位得直线，
根据题意可得只有一组解，
即只有一个解，
∴有两个相等实数根，
∴，即，
解得或（因反比例函数在第一象限，舍去），
∴t的值为1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再将点B坐标代入反比例函数解析式可得点，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象平移规律可得把一次函数的图象向下平移t个单位得直线，再联立反比例函数，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如图，即为所求；
证明：在和
∴
∴绕点A逆时针旋转得到；
（2）证明：由（1）可知：，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，
分两种情况讨论：
①当时，
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
③当时，点E不在线段上，
故此种情况不存在；
综上所述：当是等腰三角形时，的长为或3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作，然后截取，连接即可完成作图，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，再根据等边三角形性质可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，根据等边三角形性质可得，根据菱形性质可得，，由含30°角的直角三角形性质可得，，即可求出答案；②当时，根据三角形外角性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.③当时，点E不在线段上.
24．【答案】（1）解：
∴顶点坐标为；
（2）解：根据题意得：与x轴交点，
∵直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，
令，则，
解得：或，
联立：，
整理得：，
∴，
当时，
，即，
，
当时，
，即，
，
综上，k的值为2或；
（3）解：当时，直线解析式为，
令，则，
令，则，
解得，
∴，
令，
∴或，
∵在抛物线对称轴左侧的点记为P，
∴，
当时，此时，此时是直角三角形，
当时，即，此时为钝角三角形；
当时，，此时是直角三角形；
当时，即，此时为钝角三角形；
∵，，点到x轴的距离为3，
∴P点在以为直径的圆外或圆上，
∴始终为锐角或直角；
综上所述：当或时，为钝角三角形．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求出答案.
（2）根据题意得：与x轴交点，根据题意可得，解方程可得或，联立抛物线与直线解析式时可得，根据只有一个交点，则判别式，代值m的值，解方程即可求出答案.
（3）当时，直线解析式为，求出点A，B坐标，求出点P坐标，分别求出当为直角三角形时m的值，以此为界点，确定为钝角三角形时m的取值范围即可.
25．【答案】（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即；
②如图1-1所示，当时，此时点落在上，
由折叠的性质可得，由矩形的性质得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-3所示，当时，
由折叠的性质可得，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴；
综上所述，t的值为2或6或；
（2）解：对于的任意时刻，结论“”总是成立，理由如下：
如图2-1所示，
∵，
∴，
∴
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
如图2-2所示，
设，则，
∴，
∵
∴，
∴，
由折叠的性质可得
∴，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①先利用勾股定理求出长，再根据全等三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
②分情况讨论：当时，此时点落在上，根据折叠性质可得，由矩形的性质得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得BD，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，此时点在的延长线上，根据勾股定理可得B'D，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据折叠性质可得，再根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，即可求出答案.
（2）如图2-1，根据以及翻折的性质可以证明得到，从而可得，如图2-2所示，设，则，则，证明，得到，再由折叠的性质可得，由此即可证明．
