贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期12月期末统考数学试题
1．（2024高二上·水城期末）过点和点的直线的斜率为（ ）
A．7 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解： 过点和点的直线的斜率为.
故答案为：B.
【分析】直接根据斜率公式求解即可.
2．（2024高二上·水城期末）英文单词mango所有字母组成的集合记为，英文单词banana所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集概念直接求解即可.
3．（2024高二上·水城期末）复数的模为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，其模为.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式求解即可.
4．（2024高二上·水城期末）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，
得到，则.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
5．（2024高二上·水城期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：易知圆柱的底面半径和高以及半球的半径均为米，
则鼎的容积为立方米.
故答案为：B.
【分析】由题意，可知圆柱的底面半径和高以及半球的半径均为米，再利用柱体和球体的体积公式计算即可.
6．（2024高二上·水城期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．18 D．28
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，，则，
根据椭圆的对称性可得：点关于原点对称，设，，
且，
当最大时，面积最大，此时为短轴顶点，.
故答案为：B.
【分析】易知的值，根据椭圆的对称性可得，当为短轴顶点，求面积的最大值即可.
7．（2024高二上·水城期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；空间向量基本定理；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知：共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，则，解得，故，
向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度，
所以向量在上的投影向量的模为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得共面，再根据空间向量共面定理求出，最后求出向量在上的投影长度即可.
8．（2024高二上·水城期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，渐近线的方程为，，
根据双曲线的定义，可得，
则的周长为，
当且仅当三点共线时等号成立，又因为的周长的最小值为，
所以，即，故该双曲线的离心率.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的性质可得再由双曲线的定义可得，结合三角形性质可得的周长最小值为，从而可得，代入离心率公式求解即可.
9．（2024高二上·水城期末）已知点在圆的外部，则的值可能为（ ）
A．0 B．4 C．2 D．
【答案】A,B,D
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆化为，
所以圆心半径，
在圆的外部，
所以，解得或，
综上所述，的取值范围是.
因为，
故选：ABD.
【分析】根据题意，化简圆M为标准方程，求得圆M的圆心坐标和半径，根据在圆的外部，结合点到圆心的距离大于半径，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案.
10．（2024高二上·水城期末）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为3，且，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，，
，
则，则，故选项A正确；
因为，
所以，故选项B错误；
因为，，，
所以，故选项C正确；
因为，
所以，
，
点到直线的距离为，
故选项D正确
故选：ACD.
【分析】根据题意，求得点，得出，可判定A选项；根据空间向量的坐标运算法则，求得，可判定B选项；利用空间向量的距离公式，求得点到直线的距离，可判定D选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定C选项.
11．（2024高二上·水城期末）已知定义在上的函数不是奇函数，且，则（ ）
A．
B．
C．的解析式可以是
D．的解析式可以是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数不是奇函数，且，
所以无法判断是否成立，故A错误；
对于B，因为函数不是奇函数，所以，故B正确；
对于C，假设，则，
即，解得，
所以，
又，所以函数不是奇函数，
所以的解析式可以是，故C正确；
对于D，假设，
因为，所以函数不是奇函数，
又因为，则，
所以的解析式可以是，故D正确.
故选：BCD.
【分析】由函数不是奇函数，得到无法判断是否成立且，可判定A错误，B正确；假设，由，解得，得到，可判定C正确；由，得到，可判定D正确.
12．（2024高二上·水城期末）若直线与直线平行，则 ．
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，
经检验，符合题意，则.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的充要条件列出方程求解即可.
13．（2024高二上·水城期末）随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为：共种，
符合题意的有，共种，
则得到的两个数字恰好都是奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
14．（2024高二上·水城期末）如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：连接CE，由正八面体性质可得两两互相垂直，
则以O为坐标原点，所在直线为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
由正八面体的各棱长均为，根据正八面体的对称性，
可得，
则，
又，所以，，
设点，则，
因为，所以，
即，又，
所以
，
故当，，即时，取到最小值为．
故答案为：.
【分析】根据正八面体的性质，以O为坐标原点，所在直线为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算求解最值即可.
15．（2024高二上·水城期末）当为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线．
【答案】（1）解：因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）解：因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为.
（3）解：因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据圆的方程的特征，列出不等式，即可求解；
（2）根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（3）根据双曲线的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（1）因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为；
（3）因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
16．（2024高二上·水城期末）已知直线，圆．
（1）若，求直线被圆所截得的弦长；
（2）已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程．
【答案】（1）解：圆的圆心，半径，
，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
（2）解：直线变形得，
令，则，
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述所求直线方程为或.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的方程，先求得圆心坐标和半径，结合的弦长公式，求得弦长，即可得到答案；
（2）先求出定点，分切线的斜率是否存在，分类讨论，结合据圆心到切线的距离等于半径，列出方程，求得斜率k的值，即可得解.
（1）圆的圆心，半径，
，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
（2）直线变形得，
令，则，
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述所求直线方程为或.
17．（2024高二上·水城期末）如图，在四边形中，，且．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求．
【答案】（1）解：因为
所以
，
，即；
（2）解：，且，
，
，
；
（3）解：由
.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的余弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量数量积的定义，列出方程，即可求解；
（2）由，根据向量共线的性质，求出且，在中，利用余弦定理，即可求解；
（3）在中，利用余弦定理求出，由二倍角的余弦公式，进行计算，即可求解.
（1）因为
所以
，
，即；
（2），且，
，
，
；
（3）
18．（2024高二上·水城期末）如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）解：由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面，证得，再由又，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）以为原点，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的一个法向量和，利用空间向量夹角余弦公式，进行计算，即可求解.
（1）平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
19．（2024高二上·水城期末）已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等．
（1）求椭圆与的标准方程．
（2）若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若（异于的左、右顶点）为椭圆上的点，直线与交于点，直线与交于点，求的值．
【答案】（1）解：对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，且离心率.
对椭圆：（）.
由，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）解：如图所示：因为点在椭圆上，所以，
又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0.
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得：，
整理得：.
由
整理得：，
化成.
设直线，的斜率分别为，，
则.
所以直线，的斜率之积为定值.
（3）解：因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、.
则直线：，
由得：.
设，则.
同理可得：.
所以.
由得：.
设，，则，.
所以，
所以.
同理，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据椭圆的长轴长和经过点，联立方程组，求得椭圆的方程，并求出其离心率，再根据椭圆的短轴长和离心率，联立方程组，求得m和n的值，得到椭圆的方程.
（2）设过点的椭圆的切线方程为，与椭圆方程联立，由，得到，该方程的两解分别为直线、的斜率，利用韦达定理以及，求得直线、的斜率之积，化简得出定值，即可求解.
（3）设直线、的斜率分别为、，根据为椭圆上的点，探索、的关系，与椭圆的方程联立，设，，则，，利用弦长公式，表示出和，进而求得的值，得到答案.
（1）对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，且离心率.
对椭圆：（）.
由，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
因为点在椭圆上，所以，
又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0.
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得：，
整理得：.
由
整理得：，
化成.
设直线，的斜率分别为，，
则.
所以直线，的斜率之积为定值.
（3）因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、.
则直线：，
由得：.
设，则.
同理可得：.
所以.
由得：.
设，，则，.
所以，
所以.
同理，
所以.
贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期12月期末统考数学试题
1．（2024高二上·水城期末）过点和点的直线的斜率为（ ）
A．7 B． C． D．3
2．（2024高二上·水城期末）英文单词mango所有字母组成的集合记为，英文单词banana所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．（2024高二上·水城期末）复数的模为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024高二上·水城期末）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·水城期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
6．（2024高二上·水城期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．18 D．28
7．（2024高二上·水城期末）已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（ ）
A．12 B． C． D．
8．（2024高二上·水城期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·水城期末）已知点在圆的外部，则的值可能为（ ）
A．0 B．4 C．2 D．
10．（2024高二上·水城期末）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为3，且，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为
11．（2024高二上·水城期末）已知定义在上的函数不是奇函数，且，则（ ）
A．
B．
C．的解析式可以是
D．的解析式可以是
12．（2024高二上·水城期末）若直线与直线平行，则 ．
13．（2024高二上·水城期末）随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为 ．
14．（2024高二上·水城期末）如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为 .
15．（2024高二上·水城期末）当为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线．
16．（2024高二上·水城期末）已知直线，圆．
（1）若，求直线被圆所截得的弦长；
（2）已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程．
17．（2024高二上·水城期末）如图，在四边形中，，且．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求．
18．（2024高二上·水城期末）如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2024高二上·水城期末）已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等．
（1）求椭圆与的标准方程．
（2）若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若（异于的左、右顶点）为椭圆上的点，直线与交于点，直线与交于点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解： 过点和点的直线的斜率为.
故答案为：B.
【分析】直接根据斜率公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集概念直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，其模为.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，
得到，则.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
5．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：易知圆柱的底面半径和高以及半球的半径均为米，
则鼎的容积为立方米.
故答案为：B.
【分析】由题意，可知圆柱的底面半径和高以及半球的半径均为米，再利用柱体和球体的体积公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，，则，
根据椭圆的对称性可得：点关于原点对称，设，，
且，
当最大时，面积最大，此时为短轴顶点，.
故答案为：B.
【分析】易知的值，根据椭圆的对称性可得，当为短轴顶点，求面积的最大值即可.
7．【答案】D
【知识点】向量的模；空间向量基本定理；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知：共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，则，解得，故，
向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度，
所以向量在上的投影向量的模为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得共面，再根据空间向量共面定理求出，最后求出向量在上的投影长度即可.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，渐近线的方程为，，
根据双曲线的定义，可得，
则的周长为，
当且仅当三点共线时等号成立，又因为的周长的最小值为，
所以，即，故该双曲线的离心率.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的性质可得再由双曲线的定义可得，结合三角形性质可得的周长最小值为，从而可得，代入离心率公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆化为，
所以圆心半径，
在圆的外部，
所以，解得或，
综上所述，的取值范围是.
因为，
故选：ABD.
【分析】根据题意，化简圆M为标准方程，求得圆M的圆心坐标和半径，根据在圆的外部，结合点到圆心的距离大于半径，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，，
，
则，则，故选项A正确；
因为，
所以，故选项B错误；
因为，，，
所以，故选项C正确；
因为，
所以，
，
点到直线的距离为，
故选项D正确
故选：ACD.
【分析】根据题意，求得点，得出，可判定A选项；根据空间向量的坐标运算法则，求得，可判定B选项；利用空间向量的距离公式，求得点到直线的距离，可判定D选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定C选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数不是奇函数，且，
所以无法判断是否成立，故A错误；
对于B，因为函数不是奇函数，所以，故B正确；
对于C，假设，则，
即，解得，
所以，
又，所以函数不是奇函数，
所以的解析式可以是，故C正确；
对于D，假设，
因为，所以函数不是奇函数，
又因为，则，
所以的解析式可以是，故D正确.
故选：BCD.
【分析】由函数不是奇函数，得到无法判断是否成立且，可判定A错误，B正确；假设，由，解得，得到，可判定C正确；由，得到，可判定D正确.
12．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，
经检验，符合题意，则.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的充要条件列出方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为：共种，
符合题意的有，共种，
则得到的两个数字恰好都是奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：连接CE，由正八面体性质可得两两互相垂直，
则以O为坐标原点，所在直线为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
由正八面体的各棱长均为，根据正八面体的对称性，
可得，
则，
又，所以，，
设点，则，
因为，所以，
即，又，
所以
，
故当，，即时，取到最小值为．
故答案为：.
【分析】根据正八面体的性质，以O为坐标原点，所在直线为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算求解最值即可.
15．【答案】（1）解：因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）解：因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为.
（3）解：因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据圆的方程的特征，列出不等式，即可求解；
（2）根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（3）根据双曲线的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解；
（1）因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为；
（3）因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
16．【答案】（1）解：圆的圆心，半径，
，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
（2）解：直线变形得，
令，则，
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述所求直线方程为或.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的方程，先求得圆心坐标和半径，结合的弦长公式，求得弦长，即可得到答案；
（2）先求出定点，分切线的斜率是否存在，分类讨论，结合据圆心到切线的距离等于半径，列出方程，求得斜率k的值，即可得解.
（1）圆的圆心，半径，
，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
（2）直线变形得，
令，则，
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述所求直线方程为或.
17．【答案】（1）解：因为
所以
，
，即；
（2）解：，且，
，
，
；
（3）解：由
.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的余弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量数量积的定义，列出方程，即可求解；
（2）由，根据向量共线的性质，求出且，在中，利用余弦定理，即可求解；
（3）在中，利用余弦定理求出，由二倍角的余弦公式，进行计算，即可求解.
（1）因为
所以
，
，即；
（2），且，
，
，
；
（3）
18．【答案】（1）证明：平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）解：由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面，证得，再由又，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）以为原点，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的一个法向量和，利用空间向量夹角余弦公式，进行计算，即可求解.
（1）平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
19．【答案】（1）解：对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，且离心率.
对椭圆：（）.
由，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）解：如图所示：因为点在椭圆上，所以，
又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0.
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得：，
整理得：.
由
整理得：，
化成.
设直线，的斜率分别为，，
则.
所以直线，的斜率之积为定值.
（3）解：因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、.
则直线：，
由得：.
设，则.
同理可得：.
所以.
由得：.
设，，则，.
所以，
所以.
同理，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据椭圆的长轴长和经过点，联立方程组，求得椭圆的方程，并求出其离心率，再根据椭圆的短轴长和离心率，联立方程组，求得m和n的值，得到椭圆的方程.
（2）设过点的椭圆的切线方程为，与椭圆方程联立，由，得到，该方程的两解分别为直线、的斜率，利用韦达定理以及，求得直线、的斜率之积，化简得出定值，即可求解.
（3）设直线、的斜率分别为、，根据为椭圆上的点，探索、的关系，与椭圆的方程联立，设，，则，，利用弦长公式，表示出和，进而求得的值，得到答案.
（1）对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，且离心率.
对椭圆：（）.
由，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
因为点在椭圆上，所以，
又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0.
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得：，
整理得：.
由
整理得：，
化成.
设直线，的斜率分别为，，
则.
所以直线，的斜率之积为定值.
（3）因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、.
则直线：，
由得：.
设，则.
同理可得：.
所以.
由得：.
设，，则，.
所以，
所以.
同理，
所以.
