专题03 解决角平分线问题的四种途径
1．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
5. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．
6. 已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
7．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 度．
8. 如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
9．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
10．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 ．
11．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
12. 如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
14．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
专题03 解决角平分线问题的四种途径（解析版）
1．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
∵AB∥CD，∠AEC＝40°，
∴∠ECD＝∠AEC＝40°,
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCD＝∠DCE＝20°,
∵AB∥CD,
∴∠ABC＝∠BCD＝20°.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，，
∵平分交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
【答案】52°．
【解析】根据平行线的性质得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，
∴∠BCD＝∠B＝26°，
∵CB平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝52°．
5. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．
【答案】2＋2
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2，
故答案为：2＋2．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6. 已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
【答案】
【解析】根据题意得到，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
．
【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 度．
【答案】60
【解析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．
解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°．
8. 如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
【答案】
【解析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
9．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
故答案为28．
【分析】由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，进而可求解BE的长，即可求得BC的长，再根据平行四边形的周长可求解．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
10．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】；2+．
【解析】由点E是一边BC上的中点及AE平分∠BAC，可得△ABC是等边三角形，根据菱形ABCD的面积为2，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D重合时，PE+PC的值最大．
解：根据图形可画出图形，如图所示，
过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，
∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，
∵点E是BC的中点，
∴△ACE≌△FBE（AAS），
∴BF＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF＝AC，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；
∴∠ABC＝60°，
设AB＝a，则BD＝，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝2，即＝2，
∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A和点C关于BD对称，
∴PE+PC＝AP+EP，
当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝；
点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC＝DC＝2，
过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，
∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝60°，
∴CG＝1，DG＝，
∴EG＝2，
∴DE＝＝，
此时PE+PC＝2+；
即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+．
故答案为：；2+．
11．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图，连接，设垂直平分线交于点，
为垂直平分线，
，
，
，
．
（2）设，，
又，，
在中，．
．
12. 如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；
（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
14．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解答过程；（2）①AD+AB＝AC，②25．
【分析】（1）由题意可得∠ACD＝∠ACB＝30°，从而有AD＝，．则AD+AB＝AC；
（2）①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．证△CFB≌△CED，得FB＝DE，则AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，由（1）知：AE+AF＝AC，代入即可；
②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD+S△ABC，结合①的结论可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°
∵∠ADC＝∠ABC＝90°
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴AD＝，．
∴AD+AB＝AC，
（2）①AD+AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，CF⊥AB，
∴CF＝CE
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠FBC＝∠EDC
在△CED和△CFB中，
，
∴△CFB≌△CED（AAS），
∴FB＝DE，
∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，
在四边形AFCE中，由（1）题知：AE+AF＝AC，
∴AD+AB＝AC，
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵AC＝10
∴CE＝AC，
∵CF＝CE，AD+AB＝AC，
∴＝．
