2.1 双曲线及其标准方程--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设,为定点,动点满足,则动点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线的方程为,则该双曲线的焦距为( )
A.2 B.4 C. D.6
3．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为( ).
A.9 B.1 C.1或9 D.2
4．已知,圆,动圆P经过M点且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
5．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知P是双曲线右支上的动点,,是双曲线C的左、右焦点,则的最小值为( )
A.12 B. C. D.
7．双曲线的焦距为( )
A.3 B.6 C. D.
8．双曲线的焦距为( ).
A.2 B. C. D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．过点且的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，点P是双曲线第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，垂直PM交PM于点E，则下列说法正确的是( )
A.当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为
B.当时，点M的坐标为
C.当时，的面积
D.若，则
11．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是( )
A.用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线C的方程为，则m的取值范围为_________.
13．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为____________.
14．已知方程表示双曲线,则实数m的取值范围为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知方程表示双曲线，求m的取值范围.
16．（例题）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
17．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.
18．对于求解方程的正整数解（）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法.例如已知是方程q的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程q的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解.进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程q的所有正整数解.已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)方程的所有正整数解为，且数列单调递增.
①求证：始终是4的整数倍；
②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为4.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：,
动点P的轨迹是以,为焦点的双曲线,且,,
,双曲线的方程为.
故选：B.
2．答案：D
解析：双曲线的方程为：,
可得,,所以,
所以双曲线的焦距长为：.
故选：D.
3．答案：A
解析：因为，所以，
所以，解得，
根据双曲线定义可得，
所以，解得或，
当时，不合题意，故舍去，
当时，，满足题意，
综上，.
故选：A
4．答案：C
解析：圆,即,圆心为,半径,
设动圆P的半径为R,
若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内,所以,,
所以,
所以动点P是以、为焦点的双曲线的右支,且、,
所以,
所以动圆圆心P的轨迹方程是,
若动圆P与圆C相外切,所以,,
所以,
所以动点P是以、为焦点的双曲线的左支,且、,
所以,
所以动圆圆心P的轨迹方程是,
综上可得动圆圆心P的轨迹方程是.
故选：C.
5．答案：A
解析：曲线为椭圆，焦点在y轴上，且.
因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线为，
即，则，解得，
所以所求双曲线方程为.故选A.
6．答案：C
解析：因为P是双曲线右支上的动点,
由双曲线C定义,得,,
则
,
当且仅当取得最小值.
故选:C.
7．答案：B
解析：双曲线,
则，
则
则.则焦距为.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为双曲线方程为,所以,,因为,所以,所以双曲线的焦距是4.
故选D.
9．答案：AC
解析：因为，所以可设双曲线的方程为或.将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，所以双曲线的方程为或.故选AC.
10．答案：ABD
解析：对A，易知点的坐标为，又双曲线的一条渐近线方程为，根据题意可得，又，故，则，则双曲线的离心率为，故A正确.
对B，因为，点P为双曲线第一象限内的动点，由双曲线的定义可得，又PM为的平分线，由角平分线定理可得，即，又，可得.又的坐标为，故点M的坐标为，B正确.
对C，由题可知，又，则，故，则的面积，故C错误.
对D，延长交于点H，连接OE，如图所示，易知，即，由，可得，则，故可得
.
又点P在第一象限，故直线OE的斜率必小于渐近线的斜率，不妨设渐近线的倾斜角为，由可得，则，即，整理得，又，则，解得，故D正确.故选ABD.
11．答案：AB
解析：因为马鞍面的标准方程为，
对于A，平行于平面的面中为常数，不妨设为，
得，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；
对于B，法向量为的平面中为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故B正确；
对于C，垂直于轴的平面中y为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故C错误；
对于D，不妨设平面上的点坐标为，
因为平面过原点且法向量为，由，得，
故，代入马鞍面标准方程，得，
当时，方程为，不是物物线，故D错误.
故选：AB.
12．答案：
解析：由双曲线方程特点知：，解得，
故m的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：
解析：
设双曲线的方程为，
由题意得，则，
，
则，，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由双曲线的标准方程可得:,解得.
所以实数m的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为方程表示双曲线，所以，
解得或，即.
16．答案：焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线
解析：设d是点M到直线l的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，
由此得.
将上式两边平方，并化简，得，
即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线（如图）.
17．答案：轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴上的双曲线，不含左右顶点
解析：设，因为，，
所以，整理得，
故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在x轴上的双曲线，不含左右顶点.
18．答案：(1)；
(2)①证明见解析；②是定值.
解析：（1）由题意知解得，则，
故双曲线E的标准方程为.
（2）①方法一：由得，其中是方程的一组正整数解，则，
在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，
注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同，
二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有
，，从而，
于是对任意的正整数，
，
因为是正整数，所以是4的整数倍.
方法二：
在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分；
第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，
故，
于是，
，
即，
由得，，
代入得，
整理得，即.
因为是正整数，所以是4的整数倍.
②，，设，的夹角为，
则的面积
，
由得，，
代入得，，
由得，从而，
故，，
.
，，，，即，
代入得，
于是的面积为定值.
19.
（1）答案：
解析：由条件知，，，
双曲线C的标准方程为.
（2）答案：面积为1
解析：由双曲线的定义可知，.
，，
，
的面积.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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