三角函数的图象及性质（六大考点）
考点01：三角函数的定义域与值域
1、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
（3）零次幂：中底数；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则
2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
1．若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称；
B．函数的对称轴是，；
C．若函数是偶函数，则的最小值为；
D．函数在的值域为，
4．函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点
C．，使得有最大值 D．，使得的值域为
5．已知，，则的值域为 .
6．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求函数的值域．
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围
7．已知函数.
(1)求；
(2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围；
(3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式.
①若函数在上的值域为；
②函数在上的最大值与最小值差为3.
8．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
9．已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
10．求函数的定义域.
考点02：三角函数性质的考察
1、求三角函数的周期，一般有三种方法
定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
2、与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．
（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．
3、与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．
（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为
，将变形为，再求函数的单调区间．
（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．
4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.
11．若函数的对称轴方程为，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的部分图象如图.若，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
14．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．不等式的解集为
C．在区间上单调递减
D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
15．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到
16．已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为37
B．的最小值为
C．在处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
17．大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于点对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上有2024个零点
18．已知函数，则（ ）
A．当时，的图象关于对称
B．当时，在上的最大值为
C．当为的一个零点时，的最小值为1
D．当在上单调递减时，的最大值为1
19．设，则函数的极值点为 .
20．设，向量，则的取值范围是 .
考点03：解三角不等式
求得函数的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可.(多周期）
21．已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．在上的最大值为0
D．不等式的解集为
22．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
23．已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数
B．不等式的解集为
C．在上单调递增
D．函数在的零点为且，则
24．已知函数.
(1)求函数的对称中心及不等式的解集；
(2)已知，求的值.
25．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在的值域；
(3)求不等式的解集．
26．已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，.
(1)求的解析式；
(2)若，求满足不等式的解集.
27．已知函数.
(1)已知，求的值域及单调区间；
(2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集.
28．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最值及取到最值时的值；
(3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
29．已知向量，函数，
(1)求不等式的解集；
(2)若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
30．在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________.
(1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间.
考点04：根据图像确定三角函数的解析式
秒杀：思路：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期
第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足
第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足
第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足
第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足
第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足
求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可
31．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（ ）
A．1， B．1， C．3， D．3．
32．如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．为偶函数
33．已知函数（，）的部分图象如图，则（ ）
A． B．函数的图象关于轴对称
C．函数在上单调递减 D．函数在有4个极值点
34．已知函数的图象如图，点，在的图象上，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若四边形为平行四边形，且面积为，则 ， .
35．已知函数的部分图象如图，则 .
36．如图，函数，则 ； .
37．已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 .
38．已知函数，的部分图象如图，则 .
39．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移与时间满足函数，点在该函数的图象上，且位置如图所示，则 .
40．如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式；
(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值．
考点05：三角函数的平移与变换
正规方法： 左加右减，上加下减，左右只针对而言（解决题干有平移信息的选择题）
秒杀：第一步：明确谁平移得到谁
第二步：:解出 :解出
第三步：确定左右平移了多少
注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别
41．为了得到函数的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度
B．将函数的图象向右平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度
D．将函数的图象向左平移个单位长度
42．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的；
B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
43．函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
44．已知函数.
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图；
(2)请说明由到的变换过程.
45．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)解不等式；
(3)函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标．
46．将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值.
47．已知函数.
(1)由的图象经过怎样的变换得到的图象；
(2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标．
48．已知函数．
(1)用“五点法”画出在一个周期内的图象；
(2)说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到．
49．已知函数的部分图象如图所示：
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象作怎样的变换可得到函数的图象？
50．要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．
考点06： 三角函数的卡根原理
①由于对称轴和对称中心的水平距离为,设，构造出函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根.
第一步：卡的形式
第二步：卡周期求的范围
②已知平移得到新函数表达式单调性
第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间.
第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分
第三步：建立不等式求解
51．已知函数的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
52．函数在内的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
53．函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
55．已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．当时，是的一条对称轴
B．若，且，则
C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数
D．若在上恰有5个零点，则的范围为
56．已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 .
57．已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是 .
58．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 .
59．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象在时，恰有一个最大值和一个最小值，求的范围；
(3)若对任意恒成立，求的最大值．
60．已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数在区间[，]上的单调递减区间；
(2)若对于恒成立，求实数m的范围
()考点巩固卷08 三角函数的图象及性质（六大考点）
考点01：三角函数的定义域与值域
1、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
（3）零次幂：中底数；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则
2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
1．若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可.
【详解】由已知可得,
则
,
,
所以，
所以.
故选:A.
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：令，则，，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：由题意得，故，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：CD.
3．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称；
B．函数的对称轴是，；
C．若函数是偶函数，则的最小值为；
D．函数在的值域为，
【答案】ABD
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，计算可判断A；求出函数的对称轴方程可判断B；根据为偶函数求出可判断C；根据的范围求出最大值可判断D.
【详解】对于A，因为
，
因为，所以函数的图象关于点对称，
故A正确；
对于B，令，解得，
所以函数的对称轴是，，故B正确；
对于C，因为为偶函数，
所以，解得，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，当，则，当，
即时，，，故D错误.
故选：ABD
4．函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点
C．，使得有最大值 D．，使得的值域为
【答案】AC
【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断.
【详解】，，.
对于，不防令，则，此时单调递减，故正确；
对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，
而，故不存在使上述区间长度为，故错误；
对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确；
对于，由，得，
，
又，故不存在，使得的值域为，故错误.
故选：.
5．已知，，则的值域为 .
【答案】
【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令，
则，故，
因为，所以，所以，
令，则在单调递增，
则当，
所以的值域为.
故答案为：.
6．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求函数的值域．
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围
【答案】(1)最小正周期
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）
，
所以函数最小正周期.
（2）当时，，
所以，，则，
因比，函数在区间上的值域为．
（3）因为，
，则，
若函数在上有且仅有两个零点，
则，解得，
即.
7．已知函数.
(1)求；
(2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围；
(3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式.
①若函数在上的值域为；
②函数在上的最大值与最小值差为3.
【答案】(1)
(2)
(3)选择①，或
选择②，
【分析】（1）根据题意，可得，从而得解；
（2）根据题意，，可得，再由则，且，可确定实数的取值范围；
（3）选择①，根据题意可得，又，，分和两种情况求解；
选择②，分析可知在上的最大值与最小值差为，由三角函数图象变换可知在上先增后减，最大值为1，故，可解.
【详解】（1）根据题意，，
即，则，又，所以；
（2）根据题意，在区间上有且仅有3个解，
即，在区间上有且仅有3个解，
所以，即，又，所以，
由于，
则，且，
根据正弦函数的图象性质，
可知，
所以；
（3）因为，
选择①，当时，，
根据题意，，所以，
所以，，
因为函数在上的值域为，即，
根据正弦函数的图象性质，可知，
当时，，此时，符合题意，
所以，
当时，，此时，符合题意，
所以，
综上，或；
选择②，由函数在上的最大值与最小值差为3，
即在上的最大值与最小值差为，
又因为，可由向左平移后再伸缩得到，
所以在上先增后减，最大值为1，
故，所以，
故.
8．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得.
（2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1），令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），因为，所以，
可得，则，
即函数在上的值域为．
9．已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.
（2）首先得到，的解析式，依题意可得关于的不等式在上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出，即可得解.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，
所以，
，
因为当，关于的不等式恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
因为，所以，所以在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围为.
10．求函数的定义域.
【答案】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案.
【详解】欲求函数定义域，则由，解得，
解得，取，
可得到定义域为
考点02：三角函数性质的考察
1、求三角函数的周期，一般有三种方法
定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
2、与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．
（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．
3、与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．
（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为
，将变形为，再求函数的单调区间．
（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．
4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.
11．若函数的对称轴方程为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得，代入即可得解.
【详解】由已知，且，，
由对称轴为，则相邻两条对称轴间距离为，即函数的最小正周期为，
令，，
令，，
则，即，，，
则，，，
又，
所以，为偶数，
则，
则，
故选：D.
12．已知函数的部分图象如图.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图可知，求出，再由可求出，从而可求出.
【详解】由图知，
所以，，
所以，，，
由，得，，
所以.
故选：C.
13．已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
14．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．不等式的解集为
C．在区间上单调递减
D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
【答案】AB
【分析】先应用两角和差及辅助角公式化简解析式，再结合周期判断A，再解三角不等式判断B，整体代换判断单调性判断C,根据三角函数图像平移判断D即可
【详解】,
对于A．最小正周期为，正确；
对于B．，即，，所以解集为，正确；
对于C．因为，即，在该区间不单调递减，错误；
对于D．为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，错误；
故选：AB.
15．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到
【答案】BCD
【分析】对于A：根据三角函数图象变换分析求解；对于B：根据正弦型函数周期公式运算求解；对于C：以为整体，结合正弦函数的对称性运算求解；对于D：根据三角函数图象变换分析求解.
【详解】对于选项A：由题意可得：，故 A错误；
对于选项B：函数的最小正周期为，故 B正确；
对于选项C：令，解得，故 C正确；
对于选项D：的图象向右平移单位长度，
可得，故D正确．
故选：BCD.
16．已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为37
B．的最小值为
C．在处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
【答案】BC
【分析】由已知可得可判断A；可判断B；由已知可得在处导数等于0，判断C；设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，进而求最小值判断D.
【详解】对于A：，
当时，最大值为，故A错误；
对于B：，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；
对于D：设，所以点的轨迹为直线，
令，则的轨迹方程为，
又表示点与的距离的平方，
又，
，故D错误.
故选：BC.
17．大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于点对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上有2024个零点
【答案】BC
【分析】根据周期的定义即可计算求解A，根据即可求解B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D.
【详解】函数，
对于A:，故A错误；
对于B：
，
故的图像关于点对称，B正确，
对于C，当，则，
故均在单调递增，
故函数在单调递增，C正确，
对于D，令，故或，
在故在区间,上有,共2个零点，
而均为周期为的周期函数，故在区间上有2024个零点，
又，故在有2025个零点，D错误，
故选：BC
18．已知函数，则（ ）
A．当时，的图象关于对称
B．当时，在上的最大值为
C．当为的一个零点时，的最小值为1
D．当在上单调递减时，的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．
【详解】时，，因为，
所以关于对称，故A正确；
时，由可得，
根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；
若，则，，所以，，且，
所以的最小值为1，故C正确；
因为在上单调递减，且，
根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：
，，，，
所以，，所以，故D正确．
故选：ACD．
19．设，则函数的极值点为 .
【答案】.
【分析】根据正弦型函数的性质和极值点的定义得到方程，解出即可.
【详解】根据三角函数极值点即为其最值点，则转化为求解其对称轴通式，
令
其对称轴为
则其极值点为.
故答案为：.
20．设，向量，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及正弦函数性质求解即得.
【详解】向量，则，
其中锐角由确定，而，则，
因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
考点03：解三角不等式
求得函数的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可.(多周期）
21．已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．在上的最大值为0
D．不等式的解集为
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可.
【详解】由题知.
A：由于的定义域为，且，
故为奇函数，故A错误；
B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误；
C：因为时，，
所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；
D：，则，则，
故，故D错误.
故选：C
22．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围.
【详解】对于A，的最大值为，故A错误；
对于B，令，得，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，不等式可化为，则，解得，
因此原不等式的解集为，故C正确；
对于D，由，，解得.
因为在区间上单调递增，所以，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD
23．已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数
B．不等式的解集为
C．在上单调递增
D．函数在的零点为且，则
【答案】BD
【分析】由三角恒等变换化简解析式，由解析式判断的奇偶性得A选项结果；由函数图像变换得函数解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD.
【详解】，
，为奇函数，A选项错误；
函数的图像横坐标缩短为原来的倍，得函数的图像，
再向左平移单位，得到函数的图像，
若，即，
则有，解得，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
时，有，函数在的零点为，
则有，，，
所以，D选项正确.
故选：BD
24．已知函数.
(1)求函数的对称中心及不等式的解集；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)对称中心为；
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式结合正弦函数的对称中心，结合正弦函数的单调性求解不等式即可；
（2）由可得，再根据同角三角函数的关系，结合求解即可.
【详解】（1）
由得，
故函数的对称中心为；
又由知，即，
所以，即-
故原不等式的解集为
（2）由得，即.
又
即
25．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求在的值域；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据周期求出，由求出，再由求出，即可得解；
（2）根据的范围求出的范围，再结合余弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意可得，
可得，解得，
而，可得，，又，
可得，
又，可得，解得，
所以；
（2）当，可得，
所以，
所以，
即函数在的值域为；
（3）由，可得，
可得，，
可得，，
所以不等式的解集为，．
26．已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，.
(1)求的解析式；
(2)若，求满足不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴和对称中心求出周期，再由关于点对称，求出，最后由解出函数；
（2）根据题意，得，结合函数的性质可解.
【详解】（1）根据题意，且在区间上单调递减，
在区间上单调递增，则为函数的对称轴，
又函数图象关于点对称，且，
所以，则，，
且，又，所以，
再由，即，所以，
所以；
（2）由，得，
而，则，，
则，则或，
解得或，
所以满足不等式的解集为.
27．已知函数.
(1)已知，求的值域及单调区间；
(2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简函数，然后由正弦函数的值域及单调区间求解即可；
（2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可.
【详解】（1）
，
由，则，所以，
所以，即的值域为，
令，解得，即的单调递增区间为，
令，解得，即的单调递减区间为，
所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为，
值域为；
（2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到，再将其图象向上平移个单位得到，
则，
故不等式即，
化为，化为，
即，
解得或（舍去），所以，
所以，
所以等式的解集为.
28．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最值及取到最值时的值；
(3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)当时取最小值，当时取最大值；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得.
（2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得.
（3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得.
【详解】（1）依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间是.
（2）当时，，则当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.
（3）由（1）知，，
当时，令，
原不等式等价于，
函数在上单调递减，当时，，因此，
所以实数的取值范围.
29．已知向量，函数，
(1)求不等式的解集；
(2)若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出并化简，再利用正弦函数性质解不等式.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出取值范围.
【详解】（1）由向量，得，
由，得，则，
解得，
所以不等式的解集是.
（2）在中，由，得，由，得，
则，即，由余弦定理得，
得，
解得，当且仅当时取等号，又，即，
所以的取值范围是.
30．在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________.
(1)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出，进而求出函数在的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.
（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质求出递增区间.
【详解】（1）选条件①在区间上单调递增，
又，得，
所以满足条件，得，
又，所以取，所以；
选条件②，得，
又，所以，得，所以
选条件③，知是的一条对称轴，
所以，则
又，所以，
所以，
当时，，所以，
由恒成立，得，
当时，的最大值为，的最小值为，
则
所以实数的取值范围
（2）由（1）知，
将函数的图象向右平移个单位后，得，
再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得，
由，得，
的单调增区间是
考点04：根据图像确定三角函数的解析式
秒杀：思路：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期
第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足
第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足
第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足
第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足
第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足
求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可
31．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（ ）
A．1， B．1， C．3， D．3．
【答案】A
【分析】根据函数经过的点，求得，，再由的单调性确定，即得.
【详解】因函数经过点，，则得，因，解得；
又，则得，解得，.
又由可得，
因函数在单调递增，则，解得，
故，经检验此时满足题意，.
故选：A.
32．如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．为偶函数
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示的坐标，由线段关系求解参数得，再判定选项即可.
【详解】由题可，则，
有，
，
把代入上式，得，解得(负值舍去)，
，由，解得，
解得，
显然其周期为，故A错误；
当时，，，故B错误；
，故C正确；
，显然是奇函数，故D错误.
故选：C
33．已知函数（，）的部分图象如图，则（ ）
A． B．函数的图象关于轴对称
C．函数在上单调递减 D．函数在有4个极值点
【答案】BD
【分析】由“五点法”求得，根据正弦函数的性质和极值点的概念依次判断选项即可.
【详解】A:由图可知的周期为：，又，所以；
由，，且，所以；
由，所以，故A错误；
B：由A的分析知，所以
因为为偶函数，故B正确；
C：由，得，故在上单调递增，故C错误；
D：因为，，，，故D正确.
故选：BD.
34．已知函数的图象如图，点，在的图象上，过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若四边形为平行四边形，且面积为，则 ， .
【答案】 3
【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，将代入解析式即可求解.
【详解】由四边形为平行四边形可知，
，设，则，
所以，所以，
解得，则，
将点代入得，，
即，由于点在的增区间上，
所以，，则，，
所以，
故.
故答案为：3；.
35．已知函数的部分图象如图，则 .
【答案】
【分析】根据图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求，再由求，由此求得的解析式，然后求得.
【详解】由图可知，函数的最大值为，最小值为，，
当时，函数取最大值，
又
所以，，
所以，
所以，又，
所以，
由于，
所以，
所以，.
故答案为：.
36．如图，函数，则 ； .
【答案】
【分析】由周期的定义结合图象可得，代入点后再结合余弦函数值可得.
【详解】由图象可知，函数的周期为，
所以；
根据五点法，当时，，
所以，
因为，所以；
故答案为：；.
37．已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 .
【答案】
【分析】设，得到，再由，得到，求得，结合题意，得出，进而求得的值，即可求解.
【详解】设，因为，可得，
又因为可知，所以或，
结合函数的图象，可得，
即，所以，
因为，且在单调递增区间内，所以，
即，所以，
所以.
故答案为：.
38．已知函数，的部分图象如图，则 .
【答案】
【分析】先求出周期，从而可得，根据可求得，最后由可得A，即可得的解析式和.
【详解】由题意可知：的最小正周期，
且，可得，
又因为，
且，则，
可得，即，
且，即，
可得，
所以．
故答案为：．
39．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移与时间满足函数，点在该函数的图象上，且位置如图所示，则 .
【答案】
【分析】由函数图象求出函数解析式，再确定与的比值.
【详解】由图象可知：，（），所以，
由，又，所以.
又，.
所以.
故答案为：
40．如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式；
(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过观察函数图象，求出对应点坐标，分别求出的值即得函数解析式；
（2）写出的解析式后，取，将其转化为在上的最小值问题，结合二次函数图象分类讨论即得.
【详解】（1）由题意得，，因，故，
函数的周期，
由可得，
把点代入中，得，
由，可解得.
故函数的解析式为.
（2）由，
不妨设，由可得，
则，，函数图象的对称轴为直线.
① 当，即时，，解得，符合题意；
② 当，即时，，解得，不合题意；
③ 当，即时，解得，不合题意.
综上所述，实数a的值是.
考点05：三角函数的平移与变换
正规方法： 左加右减，上加下减，左右只针对而言（解决题干有平移信息的选择题）
秒杀：第一步：明确谁平移得到谁
第二步：:解出 :解出
第三步：确定左右平移了多少
注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别
41．为了得到函数的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度
B．将函数的图象向右平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度
D．将函数的图象向左平移个单位长度
【答案】AB
【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】对于AD，，，
所以向右平移个单位可以得到，故A正确，D错；
对于B，，
所以向右平移个单位可以得到，故B正确；
对于C，和的图象一样，故C错.
故选：AB.
42．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（ ）
A．向左平移，再将横坐标缩短为原来的；
B．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
C．横坐标缩短为原来的，再向左平移；
D．向左平移，再将横坐标缩短为原来的.
【答案】AB
【分析】直接由三角函数的平移变换、伸缩变换法则对每个选项逐一验证即可.
【详解】将的图像向左平移，可得函数，
再将横坐标缩短为原来的，可得的图像，故A正确；
或者将的图像横坐标缩短为原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，可得的图像，故B正确；
对于C，横坐标缩短为原来的可得，再向左平移可得；故C错误；
对于D，向左平移可得，
再将横坐标缩短为原来的可得，故D错误.
故选：AB.
43．函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】BD
【分析】根据诱导公式化简再根据平移的大小验证每个选项即可.
【详解】,
若向左平行移动个单位长度，
得，故错误；
若向左平行移动个单位长度，
得故正确；
若向右平行移动个单位长度，
得故错误；
若向右平行移动个单位长度，
得故正确.
故选：
44．已知函数.
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图；
(2)请说明由到的变换过程.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定条件，列出对应值表，再在坐标系内描点连线即得.
（2）根据三角函数变换，叙述出变换过程即可.
【详解】（1）函数在上的取值，列表为：
0
0 1 0 0
描点连线，即得函数的图象，如图：
（2）先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，
再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，即的图象.
45．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)解不等式；
(3)函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
(3)．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）结合（1）可得，又，结合诱导公式及正弦函数的性质计算可得；
（3）首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
，
令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，．
（2）不等式，
即，
又
，
则，
所以，，
解得，，
所以不等式的解集为，．
（3）将向左平移个单位长度得到，
再将的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，
最后将关于轴对称得到，
令，，解得，，
所以的对称中心坐标为，，
当为，当为，当为，
在轴右侧第二个对称中心的坐标为．
46．将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值.
【答案】(1)
(2)2022或2023或1348
【分析】（1）先根据函数的图象变换求的解析式，再利用数形结合的思想求参数的取值范围；
（2）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值.
【详解】（1）由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得，
因为
所以，
如图：
方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点，
作图可得.
故实数的取值范围为.
（2）由题意可得，
设，，则函数等价为，
由，得.
因为，所以有两个不等的实数根，
当时，，此时在上恰有3个零点，
因为，所以，
所以；
当时，因为，.
所以，.
此时在上恰有2个零点，
因为，所以或，
或2023.
综上所述，的可能取值为2022或2023或1348.
47．已知函数.
(1)由的图象经过怎样的变换得到的图象；
(2)求出函数的对称轴方程和对称中心坐标．
【答案】(1)答案见解析
(2)对称轴方程为；对称中心坐标为，
【分析】（1）根据三角函数图象的变换规则写出变换过程；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）首先将的图象向左平移个单位得到，
再将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到，
最后将的图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得到.
（2）对于函数，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
令，解得，
所以函数的对称中心坐标为，.
48．已知函数．
(1)用“五点法”画出在一个周期内的图象；
(2)说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到．
【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析
【分析】（1）根据五点作图法画出图象.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】（1）列表如下：
0
0 1 0 0
在一个周期内的图象如图所示：
（2）方法一：函数先向左平移个单位得到函数；
再将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，即可得函数；
方法二：先将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数；
再向左平移个单位，即可得函数．
49．已知函数的部分图象如图所示：
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象作怎样的变换可得到函数的图象？
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】(1)由图象可得，，从而可得，所以，再代入，结合，可得，即可得函数的解析式；
(2) 方法一：先作平移变化，再作伸缩变化；
方法二：先作伸缩变化，再作平移变化.
【详解】（1）解：由图可知，，，
解得，
此时，因为函数图象过点，
所以，
所以，‘
所以，
因为，解得，
所以；
（2）解：方法一：先把的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象；
方法二：先把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），然后把图象上所有点向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象.
50．要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．
【答案】(1)答案见解析(2)作图见解析
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
（2）利用“五点法”画出图象.
【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
（2）列表：
考点06： 三角函数的卡根原理
①由于对称轴和对称中心的水平距离为,设，构造出函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根.
第一步：卡的形式
第二步：卡周期求的范围
②已知平移得到新函数表达式单调性
第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间.
第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分
第三步：建立不等式求解
51．已知函数的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
【答案】B
【分析】根据图象，结合三角函数的性质，求得和的值，得到函数的解析式，即可作出判断.
【详解】解:由题意，根据给定的函数的图象，可得，
且，所以，所以，所以A项正确；
又由点在函数的图象上，
所以，即，
由五点作图法可得,
即，
可得，所以，
所以B不正确；
当时，，所以C正确；
当时，，所以D正确,
故选:B.
52．函数在内的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，，，则，解得，选D.
53．函数的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移原则可得函数，转化条件为，即可得解.
【详解】依题意得，
若，则，
由题意，，解得
故选：D.
54．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用平移规律，得到平移后的图像，再根据条件确定，根据的取值，确定的最小值.
【详解】将的图象向右平移个单位后对应的函数为
函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，
又，故，所以的最小值是.
故选:A.
55．已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．当时，是的一条对称轴
B．若，且，则
C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数
D．若在上恰有5个零点，则的范围为
【答案】BD
【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将，代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B选项，由题设知，为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D选项，求出的范围，再确定区间右端点的范围，从而求出的范围.
【详解】
对于A，当时，，
所以，
所以不是的一条对称轴，故A错误；
对于B，由题意知，，
所以，
又因为，所以，故B正确；
对于C，向左平移个单位后，
得到，
假设为偶函数，则，，
解得，
而，所以假设不成立，故C错误；
对于D，时，，
令，
则，
因为在上恰有5个零点，
所以，解得，故D正确.
故选：BD.
56．已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 .
【答案】
【分析】作出和的图象，数形结合即可求得答案.
【详解】当时，如图为满足题意的两种情况：
即或，解得；
当时，如图：
则，解得.
综上，的范围是，
故答案为：.
57．已知“”表示小于x的最大整数，例如，.若恰好有四个解，那么的范围是 .
【答案】
【分析】作出和的图象，数形结合即可求得答案.
【详解】，如图为满足题意的两种情况：
即或，解得；
故的范围是，
故答案为：.
58．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 .
【答案】
【分析】由函数图象平移可得，根据在给定区间上单调，结合余弦函数的性质求参数的范围.
【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故，
又在即上单调，
∴，
,，
由或，
或，
综上，的范围为.
故答案为：.
59．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象在时，恰有一个最大值和一个最小值，求的范围；
(3)若对任意恒成立，求的最大值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先确定，然后代点可求出，则解析式可求；
（2）先通过平移变换和周期变换得到，再利用正弦函数的性质求解的范围；
（3）通过求出的范围，进而可得的最大值．
【详解】（1）由图可知，则，
所以，代入点得
，解得，
所以；
（2）根据题意得，
当时，，
因为函数的图象在时，恰有一个最大值和一个最小值，
所以，解得；
（3）因为，
所以，
整理得，
即，
解得，
所以，
解得，
若对任意恒成立，
则的最大值为.
60．已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数在区间[，]上的单调递减区间；
(2)若对于恒成立，求实数m的范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用辅助角公式可将化为，因[，]，则
，后由在上的单调递减区间可得答案；
（2）由题可得，后利用在单调性可得.
方法1：令，则等价于
，，后分三种情况，利用分离参数结合函数单调性可得答案；
方法2：令，则等价于
，，则，即可得答案.
【详解】（1）
.
因[，]，则，又分别在上单调递增和递减，
则，即函数在区间[，]上的单调递减区间为；
（2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
所得解析式为，
又将所得函数图象向右平移个单位长度，
解析式为，则.
因，则.
又在上单调递增，在上单调递减，
则，故.
方法1：令，则等价于
，.
当时，，则此时m可取任意值；
当时，，
注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；
当时，，
注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；
综上可得：.
方法2：令，则等价于
，.
则.
()
