考点巩固卷20 抛物线方程及其性质(六大考点)
考点01：抛物线的定义与方程
1．设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
2．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
考点02：与抛物线有关距离的最值问题
11．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
18．设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
20．已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
考点03：抛物线的焦点弦问题
21．已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
22．设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点
23．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）
A．
B．
C．以为直径的圆与轴仅有1个交点
D．或
24．已知抛物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
25．已知抛物线的焦点为，准线为，过且斜率为的直线与交于两点，为的中点，且于点的垂直平分线交轴于点，四边形的面积为，（ ）
A． B． C． D．
26．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
27．在平面直角坐标系中，已知过点的抛物线的焦点为，过点作两条相互垂直的直线，，直线与相交于，两点，直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
28．双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
29．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
30．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
考点04：抛物线的简单几何性质
31．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
32．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A． B． C． D．
33．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，且它们的公共弦过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．过抛物线C：的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
35．已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
36．已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
37．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
38．已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为；
②；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
39．已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．16 B． C．8 D．
40．已知点在抛物线的准线上，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
考点05：抛物线的中点弦问题
41．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
42．已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（ ）
A．2 B． C．3 D．
43．已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
44．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
45．已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
47．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
48．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
49．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
50．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
考点06：直线与抛物线的综合问题
51．抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
52．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.
(1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.
(2)证明：线段的垂直平分线过定点.
53．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
54．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
55．已知动圆过点，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、．
（i）证明：四边形为平行四边形；
（ii）证明：成等比数列.
56．在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
57．如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
58．已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
59．已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.
①求直线的斜率：
②求面积的最大值.
60．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，
（i）求证直线过定点；
（ii）求与面积之和的最小值
()考点巩固卷20 抛物线方程及其性质(六大考点)
考点01：抛物线的定义与方程
已知抛物线， 是抛物线的焦点弦， 点 是 的中点. 垂直准线于 ，垂直准线于，垂直准线于，交抛物线于点，准线交 轴于点 . 求证：
结论1： ，
结论2：
结论3：以 为直径的圆与准线相切；
证明： 是梯形的中位线，
结论4：；
结论5： ；
1．设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可
【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．
设，，则．
而，所以，
l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，
可求得，可求得l斜率为，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
故选：D
2．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
【答案】B
【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，
设直线的方程为，，，
联立，可得，所以，，
则．因为，，所以，，
则，解得或．因为，所以．
故选：B
3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可．
【详解】已知拋物线的方程为，可得．
所以焦点为，准线为：．
抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离，
即，
又∵A到x轴的距离为，
由已知得，解得．
故选：D．
4．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故选：B．
5．已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【详解】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，
当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
6．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】由抛物线的定义列方程可得.
【详解】抛物线，准线，,
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
7．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且可求出，从而根据焦半径公式即可得解.
【详解】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为，
令，则由题，
因为，所以垂直于直线，故，
又M在抛物线上，所以由，
所以.
故选：C.
8．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果.
【详解】设，
由，得，所以，准线方程为，
因为，所以为的重心，
所以，所以，
所以
，
故选：C
9．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.
【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；
点到直线的距离为，到准线的距离为，
由抛物线的定义知：，
所以点到直线和准线的距离之和为，
且点到直线的距离为，
所以的最小值为.
故选：D
10．已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由题意,根据抛物线的性质,抛物线,则抛物线焦点为，若为 抛物线上一点,有,可得,解得.
【详解】因为抛物线为,
则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为,
由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3,
所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,
故选：C.
考点02：与抛物线有关距离的最值问题
结论：抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线
Ⅰ当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线）
Ⅱ当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点）
11．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.
【详解】
由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，
因为点在抛物线上，所以，
所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，
又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，
故选：C.
12．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.
【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为，
与的方程联立得，
设，则，故的方程为.
由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
联立抛物线与直线，化简得，
由得与相离.
分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接，
所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点，
所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即.
故选：D.
13．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质可得，则，设，得，，进而，结合换元法和二次函数的性质即可求解.
【详解】因为焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线，
所以圆的圆心恰好在焦点处，所以，
设，则，
所以，
令，则，
所以
，
当，即时，取得最小值，最小值为.
故选：D.
14．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时取得最小值，
此时点的横坐标为，则，解得，即.
故选：D.
15．已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由抛物线焦半径公式及两点间距离公式，转化为关于的函数关系，利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，
设，则，，
故．
令，则，由，得，
所以，
令，则，所以，
故当，即时，取得最小值．
故选：A．
16．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【详解】设，则PE的中点坐标为，代入，可得，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线，
由于，故在抛物线内部，
过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以，
故选：B．
17．已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】按点在直线上及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式求出并判断得解.
【详解】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为，
当点在直线上及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号，
此时，当且仅时取等号，
当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则，
，
当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而，
所以的最小值为.
故选：C
18．设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，
如图，
因为，且关于的对称点为，所以，
所以
.
当在线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
19．已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义结合三点共线即可解决.
【详解】
由抛物线的定义可知，，
所以，所以抛物线的方程为，
过点作垂直抛物线的准线，垂足为，
则，
当且仅当和三点共线时等号成立.
故选：A.
20．已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
根据抛物线焦半径公式得到，数形结合得到最小值.
【详解】由题意得，
由抛物线焦半径公式可知，，
故，显然连接，与抛物线交点为，
此时取得最小值，即当三点共线时，最小，
最小值为，
故的最小值为3.
故选：A
考点03：抛物线的焦点弦问题
结论1：
如图所示：
证明：根据定义，
根据定义,
结论2：
证明：根据焦比公式得，其中，
结论3：
证明：设到的距离为，则，
则
结论4：若交准线于点,则
如图所示：
证明：,，则
,，则
结论5：设,则，
证明：，
21．已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解.
【详解】由抛物线得，则，，
不妨设PQ的倾斜角为，
则由，得，，
所以，，
得，，
所以.
故选：B.
22．设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点
【答案】C
【分析】对于A，求出直线与轴的交点，可得抛物线的焦点，从而可求出，对于B，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得，对于C，先求出点到直线的距离，然后结合可求出的面积，对于D，设线段的中点为，求出点到直线的距离进行判断.
【详解】对于A，当时，，所以抛物线的焦点为，所以，得，所以A错误，
对于B，由选项A可知，设，
由，得，
所以，
所以，所以B错误，
对于C，点到直线的距离为，由选项B可知，
所以的面积为，所以C正确，
对于D，抛物线的准线为，设线段的中点为，则，
则点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，所以以为直径的圆与准线只有一个交点，所以D错误，
故选：C
23．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）
A．
B．
C．以为直径的圆与轴仅有1个交点
D．或
【答案】C
【分析】设直线，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可判断，再由弦长公式求出即可判断，利用抛物线的几何意义判断，求出，，由即可判断.
【详解】
依题意，设直线，，，
由，整理得，则，
所以，，
所以，
解得，所以，
又，解得，
所以，又，
所以，故错误；
因为，故错误；
因为，又线段的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故正确；
因为，若，则，解得或；
若，则，解得或；
即、或、，
所以或，故错误.
故选：.
24．已知抛物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】设直线与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得，，同理可得，，有，设直线与抛物线联立方程，建立等式计算可得，而在直线,上，建立等式计算可得，根据三角形面积公式计算即可.
【详解】设，
因为点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，
所以直线,斜率均存在，
故设直线，
则，
所以，因为，代入化简得，得，
所以直线，整理得，
设直线，同理可得，
所以，即，
设直线，
，
所以，，得，
因为抛物线的焦点为，
所以设直线恒过抛物线焦点，
而在直线,上，
所以，即是方程是方程的两实数根，
所以，解得，即
所以，
设到直线的距离为，则，
所以，当时，面积的最小为.
故选：B
25．已知抛物线的焦点为，准线为，过且斜率为的直线与交于两点，为的中点，且于点的垂直平分线交轴于点，四边形的面积为，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，然后通过计算得到四边形为平行四边形，进而根据面积公式计算即可.
【详解】由题意可知，，直线的方程为．
设，由．得．
所以，所以．由，得．
如图所示，作轴于点，则．
因为，故，
，又，
故．又，得四边形为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故答案为：．
26．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长.
【详解】
如图作垂直于准线，垂足为，可知设，
直线的斜率为得， ，
则，由勾股定理得：，
即，化简得：，解得，
再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得：
，设交点，
则，
而，
当时，解得，此时，
当时，解得，此时，
故选：D.
27．在平面直角坐标系中，已知过点的抛物线的焦点为，过点作两条相互垂直的直线，，直线与相交于，两点，直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
【答案】A
【分析】由点在抛物线上求出的值，即可求出抛物线方程，设直线方程为，则方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出、，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为点在抛物线上，所以，解得或（舍去），
所以抛物线，则，依题意直线的斜率存在且不为，
设直线方程为，则方程为，，，，，
联立直线方程与抛物线方程得，
则，，，同理，，
所以，
，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；
故选：A
28．双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得.
【详解】由题意可得双曲线的交点为，
所以，即，
设的横坐标分别为，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得，
故选：A.
29．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.
【详解】由得，，
由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为，
联立与可得，
设，则，故，
因此，当且仅当时取等号，
故选：C
30．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率.
【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线，
则的坐标为，而，则直线的斜率为.
故选：C．
考点04：抛物线的简单几何性质
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是．
离心率：．
抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄．
31．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离.
【详解】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．
故选：A．
32．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选．
33．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，且它们的公共弦过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线以及抛物线的对称性可推出它们的公共弦垂直于x轴，由此分别利用抛物线和双曲线方程求得公共弦长，可得的关系式，即可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为，
由题意知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，
可得，设它们的公共弦为,由题意知过点，
根据双曲线以及抛物线的对称性可知轴，
将代入中，得，故，
将代入中，可得，
则，所以，
即，（舍去），
故选：B
34．过抛物线C：的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作垂足分别为，计算得到，得到，得到直线MN的倾斜角是150°，从而得到直线l的倾斜角是60°，即可求得直线l的斜率.
【详解】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作垂足分别为，
因为直线l过抛物线的焦点，所以，
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以，
所以，则直线MN的倾斜角是150°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是60°，斜率是.
故选：D
35．已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，结合图形特征，用p表示三角形面积列式可求抛物线方程.
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
36．已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.
【详解】设，，，，，
，，，
所以，即，①
设直线:，联立抛物线方程，
得，得，，②，
将②代入①得，
所以，因为直线与垂足，则，
则四边形面积
，当时，等号成立，
所以四边形面积的最小值是8.
故选：B
37．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及相似三角形的性质即可求解.
【详解】设抛物线的准线为，过点作于点,过点作于点,过点作于点,交轴于点，如图所示，
由，得，解得，
所以，.
设，
因为，
所以,
又,
故，解得，
所以.
故选：A.
38．已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为；
②；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】对①，根据抛物线的对称性可得直线过焦点且与轴垂直，进而求得面积；对②，根据圆C′与x轴的负半轴交于点P判断即可；对③，设，联立直线与抛物线方程，根据判别式判断即可.
【详解】①抛物线C的焦点为，由对称性可知，，
于是直线过焦点且与轴垂直，故，圆的面积为，故①正确；
②因圆C′与x轴的负半轴交于点P，故，故②正确；
③设，由抛物线定义可知，，
所以，直线的方程为，与抛物线联立可得，
又，化简可得，故，
所以直线与抛物线相切，故③正确.
故选：D
39．已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．16 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.
【详解】解：由题意得，
故双曲线的渐近线方程为，
又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又，
故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：，
所以，所以.
故选：D.
40．已知点在抛物线的准线上，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据条件求出抛物线方程，由已知可设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程组可得根与系数的关系式，求得的表达式，由，得，将根与系数的关系式代入化简，即可求得答案.
【详解】由点在抛物线的准线上，可得，
故，焦点为，
则设直线的方程为，
联立，可得，，
设，
则，
则，
又，故,，
由，得，
整理可得，
即，
即，故，
故选∶D．
考点05：抛物线的中点弦问题
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2），
（3）直线的方程为．
41．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
由题意可知：直线的斜率不为，但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为，，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，即，
设的中点为，则，，
可知线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
则，可得，
联立方程，解得，
故选：B.
42．已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M向准线作垂线，取最大值即直线AB过焦点时，再结合点差法代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点，
则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，，
如图所示．
则，当直线AB过焦点时取等号，此时．
设、，直线AB的斜率为k，
由，两式相减，得，所以，
即，得，所以，又，所以．
故选：B．
43．已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设，
因为直线与相交于A，B两点，所以，
由题意得，
故选：D
44．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减得，
所以直线的斜率为，
又因为的中点为，可得，
所以，即直线的斜率为.
故选：C.
45．已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线与方程联立后得到与横坐标有关韦达定理后结合题意计算或者设出直线与抛物线相交两点坐标，借助三点共线计算得到为定值，即只需计算的范围即可，结合题意由中点公式计算即可得.
【详解】解法一：
因为直线恒过C的焦点F，所以，
则，抛物线C：，把代入C的方程，
得，设，，
则，，所以，
所以，，
则，
，所以，由，
得；
解法二：
因为直线恒过C的焦点F，所以，
则，抛物线C：，
设，，
由A，B，F三点共线得，得，
又，所以，
由直线AB的斜率为t得，
得，则，所以，
由，得.
故选: B.
46．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标.
【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，
故和直线垂直，
所以，故，
又，所以，
故中点坐标是，即
故选：B
47．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
48．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，利用基本不等式可求得直线斜率的最大值.
【详解】易知抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，则，
故点，，
若直线的斜率取最大值，则，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故直线斜率的最大值为.
故选：A.
49．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
50．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得的中点与的中点重合，设此点为，则，求出当面积最大时的长，结合此时列出不等式，解出，得出答案.
【详解】因为，则的中点与的中点重合，设此点为，
则
当，即，时，取最大值，
令，，，
,
由,得，
由，得，
.
故选：C．
考点06：直线与抛物线的综合问题
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率存在．
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
51．抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程；
（2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则；
（3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点．
【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，当时，,所以的方程为，
联立，得，则，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
，，，，
联立得，，
因此，．
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点．
52．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4.
(1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程.
(2)证明：线段的垂直平分线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）曲线，由题可得直线的斜率不为0,设直线方程为：，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直线的方程.
（2）设线段的中点为，利用中点坐标公式可得坐标，用表示.,利用点斜式即可得出直线线段的垂直平分线的方程，进而证明结论.
【详解】（1）∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，，
联立，化为：，
，
，，
解得，
，解得，
直线的方程为：，即.
（2）设线段的中点为，
，，
则线段的垂直平分线的方程为：，
化为：，
可得直线经过定点.
53．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在；
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，
∴点F的坐标为，∴，
∴．抛物线C的方程为．
（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，
设直线AB的方程为（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
当时，点M的坐标为，满足，，
∴存在定点．
54．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)(2)证明见详解；定点坐标为
【分析】（1）根据已知条件，设直线的方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案；
（2）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得到韦达定理，利用导数的几何意义，设出切线与的方程，两者联立，可求出，即可证得直线过定点，并得出该定点坐标.
【详解】（1）
由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设的方程为，,
联立，得，则，
则，
所以，
解得，
故抛物线E的方程为：.
（2）设直线的方程为，，，
联立，得，
，即，
所以，，
令，当时，
可化为，则，
则在处的切线的方程为：，
即，
同理可得切线的方程为：，
联立与的方程，解得，
所以，则，满足，
则直线的方程为，
所以直线过定点，该定点坐标为.
55．已知动圆过点，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、．
（i）证明：四边形为平行四边形；
（ii）证明：成等比数列.
【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）设出圆心，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；
（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.
【详解】（1）设圆心，由题意得：，
化简整理得：，所以曲线的方程为：．
（2）（ⅰ）设，，因为，所以，
∴直线的方程为：，即，令，得到，
同理可得直线的方程为：，令，得到，
∴，，联立，消解得，
所以，
又，∴，
所以四边形为平行四边形；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为，又，所以，即，
同理可知直线的方程为，又因为在直线，上，
设，则有，
所以直线的方程为：，故直线过点，
∵四边形为平行四边形，∴，，
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴
，
即，
故成等比数列．
56．在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
【答案】(1)或(2)①；②
【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解；
（2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果.
【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，
且,，
①当经过抛物线的焦点时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
57．如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x(2)证明见解析，8
【分析】（1）根据准线过点即可求出p，进而可知抛物线标准方程；
（2）假设直线的方程，与抛物线联立，进而可以得到与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中垂线方程，进而求点的坐标，再求即可.
【详解】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设，直线的斜率为
则直线方程为
将此式代入，得，
故
设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为
则
故直线m的方程为
令得点P的横坐标为
故
∴为定值8
58．已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程.
（2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明.
【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以，
故抛物线E的标准方程为.
（2）易知抛物线E的焦点，
设直线AB的方程为，、，
联立可得，
由韦达定理可得，，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为，
联立可得，即，即，
所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为，
同理可知，直线BD的方程为，
在直线AC的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，所以，直线的方程为，即，
设点、，联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故为定值.
59．已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.
①求直线的斜率：
②求面积的最大值.
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解；
（2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值.
【详解】（1）设动圆圆心，
当时，由已知得，即；
当时，点的轨迹为点，满足.
综上可知，点的轨迹方程为.
（2）①设.
由题意得，的中点在抛物线上，即.
又，将代入得，
同理可得，
可知为方程的两根，所以.
所以直线的斜率为0；
②由得，
所以，
又因为，
所以.
又因为点在圆上，则，且.
设的面积为S，则，
当时，S有最大值48.
所以面积的最大值为48.
60．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，
（i）求证直线过定点；
（ii）求与面积之和的最小值．
【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.
（2）（i）设出，利用给定条件建立方程求出，最后得到定点即可.
（ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】（1）抛物线，
其焦点为，准线方程为，
可得，且，
解得（另一个根舍去），，
则抛物线的方程为；
（2）
（i）
如图，设的方程为，，
联立，可得，
则，又，，
由，可得，解得（另一个根舍去），
所以直线恒过定点；
（ii）由上小问可得，不妨设，
则与面积之和为，
，
当且仅当，时，上式取得等号，
则与面积之和的最小值为
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