广东省阳江市高新区2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题
一、单选题
1．已知全集，，,则（ ）
A． B． C． D．
2．设为实数，则是的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
5．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A． B．2 C．5 D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，当时，．下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为.则
D．当时，若，则
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上有2个零点
C．的最大值为 D．在上是增函数
三、填空题
12．若正数满足，则的最小值为 .
13．已知函数的图象关于点对称，则 ．
14．已知，则 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为，且，，，求的最小值．
16．随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元．
(1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润．
17．已知函数是奇函数，
(1)求的值；
(2)若是区间上的减函数且，求实数的取值范围.
18．已知函数的最小正周期为.
(1)求的递增区间；
(2)当时，求函数的值域.
19．已知函数
(1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
(2)设在区间上最大值为，求的解析式.
《广东省阳江市高新区2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B D C A D AD AB
题号 11
答案 ABC
1．D
【详解】因为，所以，，
因为，所以，，
所以，，，
因为，所以.
故选：D.
2．C
【详解】，故解集为，
而在R内无解，解集为，
由于是任何非空集合的真子集，
故是的必要不充分条件.
故选：C.
3．D
【详解】，又，
故，即.
故选：D
4．B
【详解】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
5．D
【详解】原不等式即为即，故，
故，
故选：D.
6．C
【详解】集合，
故.
故选：C.
7．A
【详解】因为，
作出函数的图象，如图所示：
关于x的方程至少有两个不等的实根，
即关于x的方程至少有两个不同的交点，
所以，
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以，解得．
故选：A
8．D
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这两个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选：D
9．AD
【详解】定义在上的函数，，，且，
对于A，令，得，则，A正确；
对于B，令，得，则，
令，，B错误；
对于C，由，得不为上的减函数，C错误；
对于D，，则，因此，
函数为奇函数，D正确，
故选：AD
10．AB
【详解】对于A，由题函数定义域为，关于原点对称，
当时，，，；
当时，，，，
则函数为奇函数，故A正确；
对于B，若在定义域上是增函数，则，即，故B正确；
对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为，
当时，在区间上单调递增，此时值域为.
要使的值域为，则，即，故C不正确；
对于D，当时，由于，则函数在定义域上是增函数，
又函数是奇函数，故由，得，
则，且，且，
解得，故D不正确.
故选：AB
11．ABC
【详解】对于A，因为
，
所以是的一个周期，故A正确，
对于B，因为，
所以令，解得或，
当时，，故舍去，
当时，而，，
，，由余弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
综上可得在上有2个零点，故B正确，
对于C，令，故可化为，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
且，，
故最大值为，即的最大值为，故C正确，
对于D，由题意得，，
所以在上不可能是增函数，故D错误.
故选：ABC
12．
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13．
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
所以函数为奇函数，故，
所以，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】由题意得，
则，
故答案为：
15．(1)
(2)．
【详解】（1）解：由函数，
当时，由，可得，解得，所以；
当时，由，可得，解得，所以；
当时，由，可得，解得，所以，
综上可得，不等式的解集为.
（2）解：由（1）知，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
所以，所以，则，
又由，
所以，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
16．(1)
(2)时，取得最大值为1150万元.
【详解】（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元，
所以，解得.
当销售20万件衣服时，年利润为1145万元，
所以，解得.
当时，；
当时，
所以
（2）当时，，所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150，
综上可知，当时，取得最大值为1150万元.
17．(1)
(2)
【详解】（1）函数是奇函数，
，且，即.
（2），
.
是奇函数，，
是区间上的减函数，
，即有，
，则实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，且，则，
则，
由，得，
所以，函数的递增区间为.
（2）当时，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，
，
因此，当时，函数的值域为.
19．(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，易得单调递增；
当时，，
因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
综上，的单调递增区间为，.
（2）因为，
当时，，则，
根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，，则，显然在上单调递增，
所以；
当时，，
当时，单调递增，故，
当时，，
若时，则；若时，则；
所以当时，；
若时，，又，，
当，即时，，
当，即时，；
综上，.
