综合专题 平行线综合(4)———多解画图
【方法归纳】注意点位置的变化结合文字叙述，画图分析.
1.如图1,AB∥CD,点E 在AB上,点M在CD上,点F 在直线AB,CD 之间,连接EF,FM,EF⊥FM,∠CMF=140°.
(1)直接写出∠AEF 的度数为 ;
(2)如图2,延长FM到G,点 H 在FG 的下方,连接GH,CH,若∠FGH=∠H+90°,求∠MCH 的度数;
(3)如图3,作直线AC,延长EF交CD 于点Q,P 为直线AC上一动点,探究∠PEQ,∠PQC 和∠EPQ的数量关系，请直接给出结论.(题中所有角都是大于0°小于180°的角).
2.已知∠BAM与∠ABN 的角平分线交于点 P，D 是射线BP 上一个动点，过点 D 的直线分别交射线AM、BN、AP 于点E、F、C.
(1)如图1,若∠BAC=70°,∠ABP=34°,AB∥EF,求∠AEF+∠BFE 的度数;
(2)如图2,若AC⊥BD,请探索∠AEF 与∠BFE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在点 D 运动的过程中，请直接写出∠AEF、∠BFE 与∠BPC 这三个角之间的数量关系为：
答案
1.(1)130°;
(2)过点 G 作GN∥EF,延长 EF 交 CD 于点 Q,∴∠FGN=∠EFG=90°,∴∠HGN=∠FGH-90°=∠H+90°-90°=∠H.∴GN∥CH.∵GN∥CH,GN∥EF,∴CH∥EF,∴∠MCH=∠EQC,∵AB∥CD,∴∠AEQ+∠EQC=180°,∴∠EQC.=50°,∴∠MCH=∠EQC=50°.
(3)当 P 在CD 下方时,∠PEQ+∠PQC+∠EPQ=130°;当 P 在AB 下方,CD 上方时,∠PEQ-∠PQC+∠EPQ = 130°; 当 P 在 AB 上方时,∠PEQ +∠PQC+∠EPQ=230°.
2.(1)∠AEF+∠BFE=152°.
(2)设∠BAM=x,∠ABN=y,∵AC,BD 分别平分∠BAM 与 过点 P 作 PG∥AB,∴ AC⊥BD,∴∠BPC=∠GPC+∠BPG=90°,∴ + y=90°,∴∠BAM+∠ABN=x+y=180°,∴AM∥BN,∴∠AEF+∠BFE=180°.
(3)∠AEF+∠BFE+2∠BPC =360°或∠AEF +∠BFE=2∠BPC.
