综合专题 平行线综合(1)———角度计算
【方法归纳】作平行线解决拐角问题.
1.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠D,延长BA 至点E,连接CE,CE 交AD 于点F,若∠EAD和∠ECD 的角平分线相交于点 P.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠B=∠E=60°,求∠APC 的度数;
(3)若∠APC=m°,∠EFD=n°,请你探究 m 和n 之间的数量关系.
2.如图1,已知直线EF 分别与直线AB,CD 相交于点E,F,AB∥CD,EM 平分∠BEF,FM 平分∠EFD.
(1)求证:∠EMF=90°;
(2)如图2,若FN平分∠MFD 交EM 的延长线于点 N,且∠BEN与∠EFN 的比为4:3,求∠N 的度数；
(3)如图3,若点 H 是射线EA 上一动点,FG 平分∠HFE 交AB 于G,过点G 作GQ⊥FM于点Q,请猜想∠EHF 与∠FGQ 的关系，并证明你的结论.
答案
1.(1)略;(2)∠APC=60°;
(3)数量关系为 证明:过点 P 作PM∥CD,过点 F 作 FN∥CD,∵AB∥CD,∴AB∥PM,AB∥FN ∠EAP= ∠EAD,∴∠APC=∠MPC+∠MPA= 同理:∠AFC = ∠ECD + 又∠APC=m°,∠EFD=n°,
2.(1)过点 M 作MK∥AB,∵EM 平分∠BEF,FM 平 .AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠1+∠2=90°.∵MK ∥AB,∴MK ∥CD,∴∠EMK =∠1,∠KMF=∠2,∴∠EMF=∠EMK+∠KMF=∠1+∠2=90°.
(2)∵∠BEN 与∠EFN 的比为 4 : 3,设∠BEN 为4x,∠EFN 为 3x.∵FN 平分∠MFD,∴∠MFN = ∠MFD= ∠EFM,∴∠MFN=x,∠EFM=2x,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,即 12x=180°,∴x=15°,∠N=∠BEN+∠NFD=5x=75°.
(3)∠EHF =2∠FGQ,理由如下:∵AB∥CD,∴∠EHF+∠HFD=180°.∵FG 平分∠HFE,FM 平分 (∠1+∠2)=180°.∵AB∥CD,∴∠BGF+∠GFD=180°.∵∠GQF=90°,∴∠FGQ+∠1+∠2=90°,∴∠EHF=2∠FGQ.
