【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】在“欢乐周末 非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
【题组训练2】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶．
【题组训练3】如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图）
【题组训练4】如图，秋千在静止的时候，其踏板离地的距离米，当秋千摆到的位置时测得：此位置比原来静止时向前移动了米（米），高度比地面高了米（米），问：秋千绳索（或）的长度是多少米？
【题组训练5】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【题组训练6】某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即MD⊥DE，NE⊥DE）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求梯子的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长．
【题组训练7】小雪与爸妈在公园里荡秋千．如图，小雪坐在秋千的起始位置点A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求秋千绳子的长．
【题组训练8】如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？
【题组训练9】如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离为，喷泉到供水点的距离为．求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长．
【题组训练10】小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，在距地面高的处停止并回落，然后在处停止再回落．若、到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由．
(2)秋千的起始位置处距地面是多高？
【题组训练11】在参加社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉杆箱的示意图，箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处．请求出桂老师手的位置离地面的距离（假设点的位置保持不变）．
【题组训练12】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
【题组训练13】学习了勾股定理后，数学兴趣小组的同学想用所学知识测量某电杆的高度，如图，出于安全考虑，电杆的底端处和顶端处均不能到达，甲同学在地面上取点，用测距仪测得米，乙同学在的延长线上取点，测得米，已知于点，请你根据以上测量结果，计算该电杆的高度．
【题组训练14】我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米．
(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？
(2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
【题组训练15】十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等．
(1)请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？
(2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
【题组训练16】四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【题组训练17】如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度．
【题组训练18】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【题组训练19】某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在延安一博物馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移动到距离该门口时，门铃就会自动发出“延安欢迎您”的语音．如图，一个身高的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得门铃到地面的距离和门铃到该生头顶的距离相等（，）．请你计算门铃到地面的距离为多少米？
【题组训练20】现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？
(2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？
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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】在“欢乐周末 非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
【答案】(1)(2)不能成功，理由见解析
【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，，
在中，，
∴；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则，
∴，
在中，，
∵，余线仅剩，
∴，
∴不能上升，即不能成功．
【题组训练2】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；
(2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
【题组训练3】如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图）
【答案】作业车水平行驶的距离为米．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
答：作业车水平行驶的距离为米．
【题组训练4】如图，秋千在静止的时候，其踏板离地的距离米，当秋千摆到的位置时测得：此位置比原来静止时向前移动了米（米），高度比地面高了米（米），问：秋千绳索（或）的长度是多少米？
【答案】秋千绳索的长度为米
【详解】解：设米，
∵米，米，
∴（米），米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：．
则秋千绳索的长度为米．
【题组训练5】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【答案】(1)绳子的总长度为；
(2)滑块向左滑动的距离为．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得，，，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
【题组训练6】某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即MD⊥DE，NE⊥DE）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求梯子的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，
在中，，，
；
（2）解：在中，，，
，
．
【题组训练7】小雪与爸妈在公园里荡秋千．如图，小雪坐在秋千的起始位置点A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求秋千绳子的长．
【答案】
【详解】解：由题意可得，， ，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴，
即秋千绳子的长为．
【题组训练8】如图，一架5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为3米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端沿墙向上移动米，则底端向内移动多少米？
【答案】(1)这架梯子的顶端距离地面有高
(2)底端向内移动了
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，负值舍去，
答：这架梯子的顶端距离地面有高；
（2）解：，，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，负值舍去，
∴，
答：底端向内移动了．
【题组训练9】如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离为，喷泉到供水点的距离为．求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长．
【答案】
【详解】解：由题意知，．
在中，根据勾股定理，得，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
∴，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为175m．
【题组训练10】小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，在距地面高的处停止并回落，然后在处停止再回落．若、到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由．
(2)秋千的起始位置处距地面是多高？
【答案】(1)与全等，理由见解析(2)
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
由题意可知：，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，，
在中，由勾股定理得：，
由题意可知，，距离地面的高度为，
秋千的起始位置处距地面的距离为：．
【题组训练11】在参加社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉杆箱的示意图，箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处．请求出桂老师手的位置离地面的距离（假设点的位置保持不变）．
【答案】桂老师手的位置离地面的距离为．
【详解】解：如图所示，过作于，延长交于，则，
设，则，
由题可得，，，
∵中，，
中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴桂老师手的位置离地面的距离为．
【题组训练12】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析
(2)台风中心的移动速度是
【详解】（1）解：作于点D，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，
则，
∴台风在段上移动时A受到影响，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴台风中心的移动速度．
故台风中心的移动速度是．
【题组训练13】学习了勾股定理后，数学兴趣小组的同学想用所学知识测量某电杆的高度，如图，出于安全考虑，电杆的底端处和顶端处均不能到达，甲同学在地面上取点，用测距仪测得米，乙同学在的延长线上取点，测得米，已知于点，请你根据以上测量结果，计算该电杆的高度．
【答案】米
【详解】解：，
．
，，
．
，，
设，
，
，
解得，
即，
．
故电杆的高度为米．
【题组训练14】我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米．
(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度？
(2)为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
【答案】(1)教学楼墙面破损处距离地面的高度为；
(2)梯子底部需要向左移动．
【详解】（1）解：由题意得，，，，
由勾股定理得：，
∴教学楼墙面破损处距离地面的高度，
答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为；
（2）解：由题意得，梯子顶端离地面，
∴梯子底部离墙角处为，
∴梯子底部需要向左移动，
答：梯子底部需要向左移动．
【题组训练15】十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等．
(1)请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？
(2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意知，，，，，
过点作于点，如图1，
则，，
设迎宾门铃距离地面，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得：．
答：迎宾门铃到地面的距离等于；
（2）解：为该生向前走后的位置，如图2，
则，
，
由（1）可知，，
在中，由勾股定理得，
答：此时迎宾门铃距离该生头顶．
【题组训练16】四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】(1)(2)万元
【详解】（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
【题组训练17】如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米
【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点，
根据题意得米，米，米，米，
在中，由勾股定理得，
解得：，
∴旗杆的高度为米．
答：旗杆的高度为米．
【题组训练18】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】铺满这块空地共需花费3600元
【详解】解：∵，，，
∴，
同理可得，
∴，
∴（元）；
答：铺满这块空地共需花费3600元．
【题组训练19】某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在延安一博物馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移动到距离该门口时，门铃就会自动发出“延安欢迎您”的语音．如图，一个身高的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得门铃到地面的距离和门铃到该生头顶的距离相等（，）．请你计算门铃到地面的距离为多少米？
【答案】门铃到地面的距离为．
【详解】解：由题意知，，，，，
过点作于点，如图，
则，，
设门铃距离地面，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：．
答：门铃到地面的距离为．
【题组训练20】现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？
(2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，
所以，
在中，，
所以快艇距离岸边还有；
（2）解：因为在中，，
所以，
所以，
，
所以绳子被收上来．
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