浙江省台州市玉环市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2025九上·玉环期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．（2025九上·玉环期末）抛物线y =（x + 2）2 1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（ 2， 1）
C．（ 2，1） D．（2， 1）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解 ：根据抛物线的顶点式 的顶点为（h，k），可直接求解为（-2，-1）．
故答案为：B
【分析】利用抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
3．（2025九上·玉环期末）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
4．（2025九上·玉环期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．个人中至少有2个人的生肖相同
B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对于选项A，个人中至少有2个人的生肖相同，是必然事件，不符合题意；
对于选项B，随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7，是必然事件，不符合题意；
对于选项C，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
对于选项D，从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】
根据事件的分类“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为不可能事件”逐项判断即可．
5．（2025九上·玉环期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B；
【分析】利用旋转可得，然后根据，即可得到即可.
6．（2025九上·玉环期末）反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，
∵，，都在反比例函数图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再根据函数的增减性解题即可．
7．（2025九上·玉环期末）已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
抛物线开口向上，
顶点为，
顶点纵坐标为：，
即，，
，
方程的根的判别式，
方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点坐标可得，，，再根据“方程的根的判别式”可得方程没有实数根。
8．（2025九上·玉环期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ）
A．20m B．12m C．10m D．8m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：，
设，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：C．
【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可．
9．（2025九上·玉环期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象的位置可得a、b的值的取值范围，再判断反比例函数的图象解题即可．
10．（2025九上·玉环期末）如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，，过点作于，
在中，，
，
在中，，
，
；
点是边的中点，
，
点是边上的动点，
当点与点重合时，有最大值，
，
当点与点重合时，有最小值，
；
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于，利用解直角三角形得到AH和AC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到的取值范围解题.
11．（2025九上·玉环期末）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解题．
12．（2025九上·玉环期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴，若的面积为6，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
∴，
∵由图可知，反比例函数的图象位于第一、三象限，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为解题即可.
13．（2025九上·玉环期末）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上的频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22
根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 .
【答案】0.22
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22。
故答案为：0.22。
【分析】根据表格提供的数据可知, 任意抛掷一只纸杯 ,杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右,利用频率估计概率即可得出答案。
14．（2025九上·玉环期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ．
【答案】27
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴=2=．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故答案为：27．
【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方解题即可.
15．（2025九上·玉环期末）如图，长方形的长为，宽为，以点为圆心，为半径作圆与的延长线交于点，以点为圆心，为半径作圆与交于点则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
所以
故答案为：．
【分析】利用计算即可．
16．（2025九上·玉环期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，
∵在菱形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴∥，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点、、都在直线上，
∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，
∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上，
∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，
∴，，
∴，
解得，
综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或；
故答案为：或或．
【分析】过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，根据菱形的性质和垂直得到为矩形，即可得到，，由旋转可得，即可得到，，然后得到，即可得到，可得、、都在一条直线上，即可得到点运动轨迹为直线，再利用点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上解题即可．
17．（2025九上·玉环期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段；
（3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）解：如图1所示，点即为所求；
（2）解：如图2所示，线段即为所求；
（3）解：如图3，连接，
∴，
∴的面积为8．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质作图解题；
（2）根据旋转的性质作图解题；
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
（1）解：如图1所示，点即为所求；
（2）解：如图2所示，线段即为所求；
（3）解：如图3，连接，
∴，
∴的面积为8．
18．（2025九上·玉环期末）一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ；
（2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
【答案】（1）；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中这2只球颜色不同的结果数为8，
所以这2只球颜色不同的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式计算；
（2）画树状图得到所有的等可能的结果，再找出符合条件的结果数，再利用概率公式解题．
19．（2025九上·玉环期末）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度．
【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为．
【知识点】相似三角形的应用
20．（2025九上·玉环期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接、，如图，
∵四边形为矩形，
∴，即，
∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∴；
（2）解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接、，利用矩形的性质可得，再由旋转的性质解题即可；
（2）先得到，即可得到，设，则，，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：连接、，如图，
∵四边形为矩形，
∴，即，
∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∴；
（2）解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
21．（2025九上·玉环期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接．若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，，得到，，然后根据，得到证明即可；
（2）先设，则，然后在中，利用勾勾股定理求出r的值，解题即可.
（1）如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（2025九上·玉环期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图象模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求出a，k的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
【答案】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出火箭运行的最高点，即可得到符合条件的点的横坐标，然后代入一次函数解析式解题即可.
（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
23．（2025九上·玉环期末）已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点．
（1）当时，
①若，求反比例函数的解析式；
②求k的最大值．
（2）当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围．
【答案】（1）解：①当时，一次函数解析式为，当时，点A的坐标为，
在中，当时，，
∴点A的坐标为，
把代入到中得，解得，
∴反比例函数解析式为；
②当时，一次函数解析式为，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
∵，
∴当，即时，k有最大值，最大值为；
（2）解：∵一次函数的图象上有一点，∴，
∴
把代入到中得，
∴，
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴，此时不符合题意；
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴；
综上所述，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式即可；
②先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式得到m表示k，然后求最值即可；
（2）仿照②用含a、m的式子表示k，然后根据二次函数的增减性解题．
（1）解：①当时，一次函数解析式为，
当时，点A的坐标为，
在中，当时，，
∴点A的坐标为，
把代入到中得，解得，
∴反比例函数解析式为；
②当时，一次函数解析式为，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
∵，
∴当，即时，k有最大值，最大值为；
（2）解：∵一次函数的图象上有一点，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴，此时不符合题意；
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴；
综上所述，．
24．（2025九上·玉环期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度；
（3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用两角相等的两个三角形相似证明即可；
（）连接，，即可得到得出，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，推导，得到，解题即可；
（）设，，则，，由（）得：，即可得到，然后得到，得到BC的长度，再根据勾股定理可得，再证明，得到，解题即可.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，
∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
浙江省台州市玉环市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2025九上·玉环期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·玉环期末）抛物线y =（x + 2）2 1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（ 2， 1）
C．（ 2，1） D．（2， 1）
3．（2025九上·玉环期末）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2025九上·玉环期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．个人中至少有2个人的生肖相同
B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球
5．（2025九上·玉环期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·玉环期末）反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·玉环期末）已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2025九上·玉环期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ）
A．20m B．12m C．10m D．8m
9．（2025九上·玉环期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·玉环期末）如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·玉环期末）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
12．（2025九上·玉环期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴，若的面积为6，则的值为 ．
13．（2025九上·玉环期末）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上的频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22
根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 .
14．（2025九上·玉环期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ．
15．（2025九上·玉环期末）如图，长方形的长为，宽为，以点为圆心，为半径作圆与的延长线交于点，以点为圆心，为半径作圆与交于点则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．（2025九上·玉环期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ．
17．（2025九上·玉环期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段；
（3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．
18．（2025九上·玉环期末）一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ；
（2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
19．（2025九上·玉环期末）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度．
20．（2025九上·玉环期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2025九上·玉环期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接．若，，求的长．
22．（2025九上·玉环期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图象模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求出a，k的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
23．（2025九上·玉环期末）已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点．
（1）当时，
①若，求反比例函数的解析式；
②求k的最大值．
（2）当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围．
24．（2025九上·玉环期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度；
（3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解 ：根据抛物线的顶点式 的顶点为（h，k），可直接求解为（-2，-1）．
故答案为：B
【分析】利用抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对于选项A，个人中至少有2个人的生肖相同，是必然事件，不符合题意；
对于选项B，随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7，是必然事件，不符合题意；
对于选项C，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
对于选项D，从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】
根据事件的分类“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为不可能事件”逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B；
【分析】利用旋转可得，然后根据，即可得到即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，
∵，，都在反比例函数图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再根据函数的增减性解题即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
抛物线开口向上，
顶点为，
顶点纵坐标为：，
即，，
，
方程的根的判别式，
方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点坐标可得，，，再根据“方程的根的判别式”可得方程没有实数根。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：，
设，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：C．
【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象的位置可得a、b的值的取值范围，再判断反比例函数的图象解题即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，，过点作于，
在中，，
，
在中，，
，
；
点是边的中点，
，
点是边上的动点，
当点与点重合时，有最大值，
，
当点与点重合时，有最小值，
；
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于，利用解直角三角形得到AH和AC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到的取值范围解题.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解题．
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
∴，
∵由图可知，反比例函数的图象位于第一、三象限，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为解题即可.
13．【答案】0.22
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22。
故答案为：0.22。
【分析】根据表格提供的数据可知, 任意抛掷一只纸杯 ,杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右,利用频率估计概率即可得出答案。
14．【答案】27
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴=2=．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故答案为：27．
【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方解题即可.
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
，
所以
故答案为：．
【分析】利用计算即可．
16．【答案】或或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，
∵在菱形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴∥，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点、、都在直线上，
∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，
∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上，
∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，
∴，，
∴，
解得，
综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或；
故答案为：或或．
【分析】过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，根据菱形的性质和垂直得到为矩形，即可得到，，由旋转可得，即可得到，，然后得到，即可得到，可得、、都在一条直线上，即可得到点运动轨迹为直线，再利用点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上解题即可．
17．【答案】（1）解：如图1所示，点即为所求；
（2）解：如图2所示，线段即为所求；
（3）解：如图3，连接，
∴，
∴的面积为8．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质作图解题；
（2）根据旋转的性质作图解题；
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
（1）解：如图1所示，点即为所求；
（2）解：如图2所示，线段即为所求；
（3）解：如图3，连接，
∴，
∴的面积为8．
18．【答案】（1）；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中这2只球颜色不同的结果数为8，
所以这2只球颜色不同的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式计算；
（2）画树状图得到所有的等可能的结果，再找出符合条件的结果数，再利用概率公式解题．
19．【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为．
【知识点】相似三角形的应用
20．【答案】（1）证明：连接、，如图，
∵四边形为矩形，
∴，即，
∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∴；
（2）解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接、，利用矩形的性质可得，再由旋转的性质解题即可；
（2）先得到，即可得到，设，则，，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：连接、，如图，
∵四边形为矩形，
∴，即，
∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∴；
（2）解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，，得到，，然后根据，得到证明即可；
（2）先设，则，然后在中，利用勾勾股定理求出r的值，解题即可.
（1）如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出火箭运行的最高点，即可得到符合条件的点的横坐标，然后代入一次函数解析式解题即可.
（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
23．【答案】（1）解：①当时，一次函数解析式为，当时，点A的坐标为，
在中，当时，，
∴点A的坐标为，
把代入到中得，解得，
∴反比例函数解析式为；
②当时，一次函数解析式为，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
∵，
∴当，即时，k有最大值，最大值为；
（2）解：∵一次函数的图象上有一点，∴，
∴
把代入到中得，
∴，
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴，此时不符合题意；
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴；
综上所述，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式即可；
②先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式得到m表示k，然后求最值即可；
（2）仿照②用含a、m的式子表示k，然后根据二次函数的增减性解题．
（1）解：①当时，一次函数解析式为，
当时，点A的坐标为，
在中，当时，，
∴点A的坐标为，
把代入到中得，解得，
∴反比例函数解析式为；
②当时，一次函数解析式为，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
∵，
∴当，即时，k有最大值，最大值为；
（2）解：∵一次函数的图象上有一点，
∴，
∴
把代入到中得，
∴，
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴，此时不符合题意；
当时，则当时，k随着m的增大而减少，
∵当时，k随着m的增大而减少，
∴，
∴；
综上所述，．
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用两角相等的两个三角形相似证明即可；
（）连接，，即可得到得出，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，推导，得到，解题即可；
（）设，，则，，由（）得：，即可得到，然后得到，得到BC的长度，再根据勾股定理可得，再证明，得到，解题即可.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，
∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
