上海市奉贤区2025届高三上学期学科质量调研数学试题
1．（2024高三上·奉贤模拟）设全集，集合，则 ．
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集，集合，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和补集的运算法则，从而可得集合.
2．（2024高三上·奉贤模拟）若直线：与直线：互相垂直，则 ．
【答案】0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和两直线互相垂直斜率之积等于-1，从而求出的值.
3．（2024高三上·奉贤模拟）已知，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】利用二次函数的判别式的符号和开口方向，从而判断不等式恒成立，进而得出不等式的解集.
4．（2024高三上·奉贤模拟）设若，则 ．
【答案】1
【知识点】函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，解得：，满足题意；
当时，，方程无解，
所以.
故答案为：1.
【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况，再由代入法和已知条件得出满足要求的的值.
5．（2024高三上·奉贤模拟）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种.
【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种；
第二步：之间进行排列共有种，
根据分步计数原理可知：排法的总数共有种.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和元素相邻问题运用捆绑法，则根据分步乘法计数原理得出满足条件的排法种数.
6．（2024高三上·奉贤模拟）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
令，所以常数项为.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理得出二项展开式的通项，令的指数为，即可得出参数值，再代入参数值得出的二项展开式中的常数项.
7．（2024高三上·奉贤模拟）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为，
设点，则，由于点到准线的距离为，可得，
因为点到轴的距离为，则，所以，，解得，
故抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意求出点的纵坐标，再结合点到准线的距离可求出的值，从而可得出抛物线焦点的坐标.
8．（2024高三上·奉贤模拟）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ．
【答案】.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；复数在复平面中的表示；反三角函数
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
所以，
所以.
【分析】由复数乘法运算法则求得复数，从而得到，的坐标，再利用向量数量积运算和模长公式，从而求得的值，根据反三角函数得到的值.
9．（2024高三上·奉贤模拟）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分 元奖金才公平？
【答案】
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，
即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，
故甲的奖金为元.
故答案为：.
【分析】利用已知条件分别求出甲、乙最终获胜的概率，再结合频数等于频率乘以样本容量公式，即可求出甲应该分75元奖金才公平.
10．（2024高三上·奉贤模拟）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．
已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示）
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接，
则，，，
所以，
，
所以该图形的面积为.
故答案为：.
【分析】连接，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式，从而求出，与的关系式，进而用表示出该图形的面积.
11．（2024高三上·奉贤模拟）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的底面半径为，高为，
因为，
所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.
故答案为：.
【分析】已知条件结合锥体的体积公式，从而得出制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要的铜的重量.
12．（2024高三上·奉贤模拟）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ．
【答案】60
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由已知得，，
设，则，显然，
若，则，因此有，
由得或，对应，同理对应，
因为集合中已经含有点，
因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
所以的个数为；
若，则，
，或，，或，
对应点，
产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
中至少有一个，中至少有一个，的个数为，
综上所述，集合的个数为．
故答案为：60.
【分析】利用已知条件确定数列中最大值为1，最小值为，再根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，则由中对应点的情形确定集合个数．
13．（2024高三上·奉贤模拟）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：一方面：，
另一方面：，但，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和定理结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明，则找出正确的选项.
14．（2024高三上·奉贤模拟）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的定义域；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设，
由可得，
所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数不是偶函数，故A错、B错；
当时，
则，，
当且仅当时，
即当时，函数取最大值，故C对；
因为，
结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，故D错.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和偶函数的定义，则可判断选项A和选项B；利用二倍角的正弦公式和正弦函数的有界性，则可判断选项C；利用正弦型函数的周期性，则可判断选项D，进而找出真命题的选项.
15．（2024高三上·奉贤模拟）在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
对于选项A，若底面是平行四边形，
设，则，
因此，即，故A正确；
对于选项B，若，
则，故B错误；
对于选项C，若，
则，故C错误；
对于选项D，若，
则，
但平面，即不共面，
因此不可能成立，故D错误．
故答案为：A．
【分析】利用底面是平行四边形，则判断选项A；根据向量的线性运算与向量的共线定理与共面定理判断选项B、选项C和选项D，进而找出实数组可能的选项．
16．（2024高三上·奉贤模拟）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”；
②若等比数列是“可控数列”，则其公比．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差，
但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾），
故对时有，
这表明不是“可控数列”，故①错误；
对于②，若等比数列是“可控数列”，
由于数列不是常数列，，故公比，所以，
则，
则，
当时，则，
令，则可知当时，不成立；
当时，显然成立，而对于恒成立，
由于为严格增数列，且时，，
故问题等价于存在，使得，
记，随m的增大，减小，故，
故只需，解得，故②正确.
综上所述，①是假命题，②是真命题.
故答案为：C.
【分析】给出①的反例，则判断出 ① 是假命题，再结合可控数列的含义和等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案.
17．（2024高三上·奉贤模拟）已知函数，其中（常数且）．
（1）若函数的图象过点，求关于的不等式的解集；
（2）若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若函数的图象过点，则，
解得或（舍去），所以，
由，得，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）解：因为，
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，
所以，则实数的取值范围.
【知识点】指数函数的图象与性质；利用导数研究函数最大（小）值；等比中项
【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式求出的值，再解指数不等式可得关于的不等式的解集.
（2）根据数列是等比数列可得，令，再利用导数判断出函数在上的单调性，从而求出的值域，进而得出实数t的取值范围.
（1）若函数的图象过点，则，
解得，舍去，所以，
由得，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（2），
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，所以，
则实数的取值范围.
18．（2024高三上·奉贤模拟）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
（2）解：根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，
分别记为和，
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，
分别记为，，和，
从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，，，，，，，，，共15个，
记事件：至少有一件为航天级芯片，
则，，，，，，，，共9个，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率和为1求出的值，再根据平均数公式估计出乙型芯片该项指标的平均值.
（2）根据已知条件和分层抽样的方法，从而列举出样本容量和样本点的方法，再根据古典概率公式得出至少有一件为航天级芯片的概率.
（1）由题意得，解得.
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和，
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和，
从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，
，，，，，，，，共15个，
记事件：至少有一件为航天级芯片，则，，，，，
，，，共9个，
所以.
19．（2024高三上·奉贤模拟）如图为正四棱锥为底面的中心．
（1）求证：平面，平面平面；
（2）设为上的一点，．
在下面两问中选一个，
①若，求直线与平面所成角的大小．
②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．
【答案】（1）证明：因为底面是正方形，平面，
所以，平面，平面，
所以平面，，
由四棱锥是正四棱锥，
可得平面，平面，
所以，
由，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）选①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，
由，得，
，，
由，得，
所以，
因为平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
，
由，得，
所以直线与平面所成角为.
选②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，
设，得
，
，
由得
所以，，
设为平面的一个法向量，
则得，
令得，
所以，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，得，
由，
解得，即.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理可得平面；再利用已知条件结合线面垂直的判定定理可得平面.
（2）选①，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据求出点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出、平面的一个法向量，再根据数量积求夹角公式得出直线与平面所成角的大小．
选②，设，根据求出点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面、平面的一个法向量，再根据数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角，则由已知条件得出AP的长.
（1）因为底面是正方形，所以，
平面，平面，
所以平面；
，由四棱锥是正四棱锥，
可得平面，平面，所以，
由，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）选①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，由，得
，
，，
由得，
所以，
因为平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
，
由，得，
所以直线与平面所成角为；
选②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，设，得
，
，
由得，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则得，令得，
所以，因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，得，
由，
解得，即.
20．（2024高三上·奉贤模拟）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点．
（1）若椭圆的离心率，求的值；
（2）若，求；
（3）若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？
【答案】（1）解：若，则，解得：。
（2）解：若，则椭圆方程为：且，
由点在第一象限可知的斜率不为，
设直线的方程为：，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
因为，所以，则
解得：，
把代入，
得出，
把代入椭圆方程得：.
（3）解：若，则椭圆方程为：，且，
当且直线斜率存在时，
设直线的方程为：，，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，
所以，
整理得：，
当或时，
即或时，方程无解，所以不存在满足的直线；
当即时，方程只有唯一的解，
所以，存在一条满足的直线；
当时，即当时，
方程有两个不相等的实数解，所以存在两条满足的直线；
当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足，
综上所述：当或时，存在一条满足的直线；
当时，存在两条满足的直线；
当时，存在三条满足的直线.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和椭圆中a，b，c三者的关系式和离心率公式，从而得出实数a的值.
（2）将直线与椭圆方程联立，利用三角函数的知识表示出，利用弦长公式表示出，再结合向量数量积公式代入求出的值，则由代入法求出和的值.
（3）利用分类讨论，当直线斜率不存在时满足条件，当斜率存在时，先写出的表达式，然后对方程进行分类讨论，从而判断出符合要求的直线条数.
（1）若，则，解得：.
（2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为，
设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
因为，所以，
而，
解得：，把代入得：，
把代入椭圆方程得：.
（3）若，则椭圆方程为：，且，
当且直线斜率存在时，设直线的方程为：，，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
所以，整理得：，
当或时，即或时，
方程无解，所以不存在满足的直线；
当即时，方程只有唯一的解，所以，存在一条满足的直线；
当，即时，方程有两个不相等的实数解，
所以存在两条满足的直线；
当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足.
综上所述：当或时，存在一条满足的直线；
当时，存在两条满足的直线；
当时，存在三条满足的直线.
21．（2024高三上·奉贤模拟）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．
（1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；
（2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；
（3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程．
【答案】（1）解：令，其中，
则，
所以，函数为偶函数，且，
如下图所示：
由图可知，函数的一条切线方程为.
（2）解：因为，
该函数的定义域为，且，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
因此，不可能存在、且，使得，
因此，函数不具有点性质.
（3）证明：取点、、，
因为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，这三条切线重合，
则，
由上得，则，，.
（i）若，，，
则，所以，，
因为，则（舍去）；
（ii）若，，中至少有一个成立，
不妨设，则，
若，则（舍去），
所以，，
故或，
综上所述，点切线方程为和.
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，再由数形结合可得出该函数的一条切线方程.
（2）先求出，利用导数判断函数的单调性，即可得出函数不具有点性质.
（3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，再利用这三条切线重合可得出，再对、、的关系进行讨论，从而求出对应的切线方程.
（1）令，其中，则，
所以，函数为偶函数，且，如下图所示：
由图可知，函数的一条点切线方程为.
（2）因为，该函数的定义域为，且，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
因此，不可能存在、且，使得，
因此，函数不具有点性质.
（3）取点、、，
因为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，这三条切线重合，
则，
由上得，则，，，
（i）若，，，
则，所以，，
因为，则（舍去）；
（ii）若，，中至少有一个成立，
不妨设，则，
若，则（舍去），所以，，
故或.
综上所述，点切线方程为和.
上海市奉贤区2025届高三上学期学科质量调研数学试题
1．（2024高三上·奉贤模拟）设全集，集合，则 ．
2．（2024高三上·奉贤模拟）若直线：与直线：互相垂直，则 ．
3．（2024高三上·奉贤模拟）已知，则不等式的解集为 ．
4．（2024高三上·奉贤模拟）设若，则 ．
5．（2024高三上·奉贤模拟）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种.
6．（2024高三上·奉贤模拟）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
7．（2024高三上·奉贤模拟）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
8．（2024高三上·奉贤模拟）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ．
9．（2024高三上·奉贤模拟）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分 元奖金才公平？
10．（2024高三上·奉贤模拟）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．
已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示）
11．（2024高三上·奉贤模拟）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）
12．（2024高三上·奉贤模拟）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ．
13．（2024高三上·奉贤模拟）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024高三上·奉贤模拟）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
15．（2024高三上·奉贤模拟）在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024高三上·奉贤模拟）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”；
②若等比数列是“可控数列”，则其公比．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
17．（2024高三上·奉贤模拟）已知函数，其中（常数且）．
（1）若函数的图象过点，求关于的不等式的解集；
（2）若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.
18．（2024高三上·奉贤模拟）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
19．（2024高三上·奉贤模拟）如图为正四棱锥为底面的中心．
（1）求证：平面，平面平面；
（2）设为上的一点，．
在下面两问中选一个，
①若，求直线与平面所成角的大小．
②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．
20．（2024高三上·奉贤模拟）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点．
（1）若椭圆的离心率，求的值；
（2）若，求；
（3）若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？
21．（2024高三上·奉贤模拟）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．
（1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；
（2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；
（3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集，集合，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和补集的运算法则，从而可得集合.
2．【答案】0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和两直线互相垂直斜率之积等于-1，从而求出的值.
3．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，所以不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】利用二次函数的判别式的符号和开口方向，从而判断不等式恒成立，进而得出不等式的解集.
4．【答案】1
【知识点】函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，解得：，满足题意；
当时，，方程无解，
所以.
故答案为：1.
【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况，再由代入法和已知条件得出满足要求的的值.
5．【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种；
第二步：之间进行排列共有种，
根据分步计数原理可知：排法的总数共有种.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和元素相邻问题运用捆绑法，则根据分步乘法计数原理得出满足条件的排法种数.
6．【答案】5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
令，所以常数项为.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理得出二项展开式的通项，令的指数为，即可得出参数值，再代入参数值得出的二项展开式中的常数项.
7．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为，
设点，则，由于点到准线的距离为，可得，
因为点到轴的距离为，则，所以，，解得，
故抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意求出点的纵坐标，再结合点到准线的距离可求出的值，从而可得出抛物线焦点的坐标.
8．【答案】.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；复数在复平面中的表示；反三角函数
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
所以，
所以.
【分析】由复数乘法运算法则求得复数，从而得到，的坐标，再利用向量数量积运算和模长公式，从而求得的值，根据反三角函数得到的值.
9．【答案】
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，
即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，
故甲的奖金为元.
故答案为：.
【分析】利用已知条件分别求出甲、乙最终获胜的概率，再结合频数等于频率乘以样本容量公式，即可求出甲应该分75元奖金才公平.
10．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接，
则，，，
所以，
，
所以该图形的面积为.
故答案为：.
【分析】连接，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式，从而求出，与的关系式，进而用表示出该图形的面积.
11．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的底面半径为，高为，
因为，
所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.
故答案为：.
【分析】已知条件结合锥体的体积公式，从而得出制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要的铜的重量.
12．【答案】60
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由已知得，，
设，则，显然，
若，则，因此有，
由得或，对应，同理对应，
因为集合中已经含有点，
因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
所以的个数为；
若，则，
，或，，或，
对应点，
产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，
中至少有一个，中至少有一个，的个数为，
综上所述，集合的个数为．
故答案为：60.
【分析】利用已知条件确定数列中最大值为1，最小值为，再根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，则由中对应点的情形确定集合个数．
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：一方面：，
另一方面：，但，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和定理结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明，则找出正确的选项.
14．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的定义域；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设，
由可得，
所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数不是偶函数，故A错、B错；
当时，
则，，
当且仅当时，
即当时，函数取最大值，故C对；
因为，
结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，故D错.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和偶函数的定义，则可判断选项A和选项B；利用二倍角的正弦公式和正弦函数的有界性，则可判断选项C；利用正弦型函数的周期性，则可判断选项D，进而找出真命题的选项.
15．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
对于选项A，若底面是平行四边形，
设，则，
因此，即，故A正确；
对于选项B，若，
则，故B错误；
对于选项C，若，
则，故C错误；
对于选项D，若，
则，
但平面，即不共面，
因此不可能成立，故D错误．
故答案为：A．
【分析】利用底面是平行四边形，则判断选项A；根据向量的线性运算与向量的共线定理与共面定理判断选项B、选项C和选项D，进而找出实数组可能的选项．
16．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差，
但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾），
故对时有，
这表明不是“可控数列”，故①错误；
对于②，若等比数列是“可控数列”，
由于数列不是常数列，，故公比，所以，
则，
则，
当时，则，
令，则可知当时，不成立；
当时，显然成立，而对于恒成立，
由于为严格增数列，且时，，
故问题等价于存在，使得，
记，随m的增大，减小，故，
故只需，解得，故②正确.
综上所述，①是假命题，②是真命题.
故答案为：C.
【分析】给出①的反例，则判断出 ① 是假命题，再结合可控数列的含义和等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：若函数的图象过点，则，
解得或（舍去），所以，
由，得，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）解：因为，
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，
所以，则实数的取值范围.
【知识点】指数函数的图象与性质；利用导数研究函数最大（小）值；等比中项
【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式求出的值，再解指数不等式可得关于的不等式的解集.
（2）根据数列是等比数列可得，令，再利用导数判断出函数在上的单调性，从而求出的值域，进而得出实数t的取值范围.
（1）若函数的图象过点，则，
解得，舍去，所以，
由得，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（2），
若存在，使得数列是等比数列，
则，可得，
由可得，
令，，
当时，，所以，
可得在上单调递减，所以，
则实数的取值范围.
18．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
（2）解：根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，
分别记为和，
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，
分别记为，，和，
从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，，，，，，，，，共15个，
记事件：至少有一件为航天级芯片，
则，，，，，，，，共9个，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率和为1求出的值，再根据平均数公式估计出乙型芯片该项指标的平均值.
（2）根据已知条件和分层抽样的方法，从而列举出样本容量和样本点的方法，再根据古典概率公式得出至少有一件为航天级芯片的概率.
（1）由题意得，解得.
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和，
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和，
从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，
，，，，，，，，共15个，
记事件：至少有一件为航天级芯片，则，，，，，
，，，共9个，
所以.
19．【答案】（1）证明：因为底面是正方形，平面，
所以，平面，平面，
所以平面，，
由四棱锥是正四棱锥，
可得平面，平面，
所以，
由，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）选①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，
由，得，
，，
由，得，
所以，
因为平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
，
由，得，
所以直线与平面所成角为.
选②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，
设，得
，
，
由得
所以，，
设为平面的一个法向量，
则得，
令得，
所以，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，得，
由，
解得，即.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理可得平面；再利用已知条件结合线面垂直的判定定理可得平面.
（2）选①，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据求出点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出、平面的一个法向量，再根据数量积求夹角公式得出直线与平面所成角的大小．
选②，设，根据求出点坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面、平面的一个法向量，再根据数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角，则由已知条件得出AP的长.
（1）因为底面是正方形，所以，
平面，平面，
所以平面；
，由四棱锥是正四棱锥，
可得平面，平面，所以，
由，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）选①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，由，得
，
，，
由得，
所以，
因为平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
，
由，得，
所以直线与平面所成角为；
选②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系，设，得
，
，
由得，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则得，令得，
所以，因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，得，
由，
解得，即.
20．【答案】（1）解：若，则，解得：。
（2）解：若，则椭圆方程为：且，
由点在第一象限可知的斜率不为，
设直线的方程为：，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
因为，所以，则
解得：，
把代入，
得出，
把代入椭圆方程得：.
（3）解：若，则椭圆方程为：，且，
当且直线斜率存在时，
设直线的方程为：，，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，
所以，
整理得：，
当或时，
即或时，方程无解，所以不存在满足的直线；
当即时，方程只有唯一的解，
所以，存在一条满足的直线；
当时，即当时，
方程有两个不相等的实数解，所以存在两条满足的直线；
当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足，
综上所述：当或时，存在一条满足的直线；
当时，存在两条满足的直线；
当时，存在三条满足的直线.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和椭圆中a，b，c三者的关系式和离心率公式，从而得出实数a的值.
（2）将直线与椭圆方程联立，利用三角函数的知识表示出，利用弦长公式表示出，再结合向量数量积公式代入求出的值，则由代入法求出和的值.
（3）利用分类讨论，当直线斜率不存在时满足条件，当斜率存在时，先写出的表达式，然后对方程进行分类讨论，从而判断出符合要求的直线条数.
（1）若，则，解得：.
（2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为，
设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
因为，所以，
而，
解得：，把代入得：，
把代入椭圆方程得：.
（3）若，则椭圆方程为：，且，
当且直线斜率存在时，设直线的方程为：，，
直线与椭圆方程联立消去得：，
所以，，
所以，整理得：，
当或时，即或时，
方程无解，所以不存在满足的直线；
当即时，方程只有唯一的解，所以，存在一条满足的直线；
当，即时，方程有两个不相等的实数解，
所以存在两条满足的直线；
当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足.
综上所述：当或时，存在一条满足的直线；
当时，存在两条满足的直线；
当时，存在三条满足的直线.
21．【答案】（1）解：令，其中，
则，
所以，函数为偶函数，且，
如下图所示：
由图可知，函数的一条切线方程为.
（2）解：因为，
该函数的定义域为，且，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
因此，不可能存在、且，使得，
因此，函数不具有点性质.
（3）证明：取点、、，
因为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，这三条切线重合，
则，
由上得，则，，.
（i）若，，，
则，所以，，
因为，则（舍去）；
（ii）若，，中至少有一个成立，
不妨设，则，
若，则（舍去），
所以，，
故或，
综上所述，点切线方程为和.
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，再由数形结合可得出该函数的一条切线方程.
（2）先求出，利用导数判断函数的单调性，即可得出函数不具有点性质.
（3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，再利用这三条切线重合可得出，再对、、的关系进行讨论，从而求出对应的切线方程.
（1）令，其中，则，
所以，函数为偶函数，且，如下图所示：
由图可知，函数的一条点切线方程为.
（2）因为，该函数的定义域为，且，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
因此，不可能存在、且，使得，
因此，函数不具有点性质.
（3）取点、、，
因为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，这三条切线重合，
则，
由上得，则，，，
（i）若，，，
则，所以，，
因为，则（舍去）；
（ii）若，，中至少有一个成立，
不妨设，则，
若，则（舍去），所以，，
故或.
综上所述，点切线方程为和.
